книги из ГПНТБ / Богатырев Ю.К. Импульсные устройства с нелинейными распределенными параметрами

как и в аналогичной по структуре неограниченной формирующей линии. Поэтому для нахождения ха­ рактерных параметров фронта (спада) волны целесо­ образно использовать не условия периодичности, а приближенные граничные условия на фронте волны в предположении, что кольцо имеет неограниченные размеры *).

Так, например, укороченное уравнение стационар­ ной волны напряжения для рассматриваемого случая

где go= po2M l + C/C„). Это уравнение без труда инте­ грируется в квадратуре:

Е(ы) = Ы 2)-*'М [/(«) + B l}-^du + B2.

(3.21)

Постоянные интегрирования Вi>2 находятся из иде­ ализированных граничных условий: при — оо, «->

-*Ui, du/d^-^О; при I— >-+оо и— *-Uz, du\d\— »-0.

Если, например, 1(и)——g ( l—(Зы—а и2) и, то инте­ грал в левой части является эллиптическим от мнимо­ го аргумента. В частном случае, когда Uz— 2Ui***\ интеграл вычисляется относительно

***) I(u)=ag(u.—Ui)(u—2lh).

150

или [если выразить произведение ga через параметры туннельного диода, a vm положить примерно равным

где ^ р 0= (С 0С1)1/^з//м — величина, характеризующая быстродействие дискретной схемы с туннельным дио­ дом, общая емкость которой C=(CiC0)1/2. Коэффици­ ент (3,5г1м/из)1/2, таким образом, показывает, во сколько раз длительность фронта стационарного им­ пульса генератора (или формирующей линии) меньше длительности фронта импульса, генерируемого ди­ скретной схемой с одним туннельным диодом той же марки. Величина Uз определяется при этом по харак­ теристике диода (см. рис. 2.2).

В линии без потерь, но со слабой пространственной дисперсией, уравнение для стационарной волны на­ пряжения имеет вид

- |р - + Л £ - < л р | - - - 1| ^ / ( я ) = 0 (3.25)

v по своей структуре аналогично уравнению (1.30), исследованному в первой главе. Анализ этого уравне­ ния при кусочно-линейной аппроксимации 1(и) ничем не отличается от анализа линеаризованного уравнения (1.30). Стационарной волне напряжения соответствует квазиразрывный предельный цикл в фазовом про­ странстве, характер состояний равновесия в котором определяется корнями характеристического уравнения третьей степени. По этим корням можно оценить и основные параметры генерируемого (или формируемо­ го) импульса. Не приводя громоздких вычислений, от­ носящихся к общему случаю, отметим лишь, что если скорость стационарных колебаний v —1/У = (LaC0) ~1!Z,

151

вследствие влияния пространственной дисперсии) за фронтом па вершине импульса

а время их затухания t3^0,25tH*\

Таким образом и здесь влияние пространственной дисперсии на длительность фронта аналогично влия­ нию высокочастотных потерь, и мерой этого влияния является величина pog, что хорошо подтверждают экс­ перименты [63].

3.3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ВОЛН

Бегущие стационарные релаксационные волны мо­ гут существовать лишь в кольцевых распределенных генераторах. В генераторах, выполненных в виде от­ резков активных линий, закороченных или разомкну­ тых с обоих концов, импульсные колебания представ­ ляют собой релаксационные стоячие волны, которые возникают в результате нелинейного взаимодействия бегущих навстречу друг другу волн (также релакса­ ционных), отраженных от концов отрезка.

Строгий анализ волновых процессов взаимодейст­ вия в этом случае не представляется возможным, а приближенный удается провести, как правило, толь­ ко в случаях, когда нелинейность мала (т. е. когда ток через нелинейный активный элемент мал по срав­ нению с токами в пассивных элементах линии). Одна­

152

громоздким, либо носит, в основном, качественный характер (см., например, § 2.3) [73, 85].

Несомненный интерес представляют результаты ра­ боты М. И. Рабиновича [85], в которой излагается метод исследования нестационарных и стационарных процессов взаимодействия периодических стационар­ ных волн. Этот метод основан на усреднении по про­ извольным (в том числе и релаксационным) периоди­ ческим функциям, являющимся решением задачи о стационарных бегущих волнах в рассматриваемой нелинейной слабодиспергирующей системе*). С по­ мощью метода можно получить приближенные устано­ вившиеся релаксационные процессы в активном отрез­ ке линии. Кратко изложим суть метода, проиллюстри­ ровав его применение на простом примере [85].

Нелинейность активного элемента аппроксимируем функцией

( - § г ) ‘} ( - з г ;

Решение уравнения (3.28) ищется в виде двух встречных, взаимодействующих между собой волн, распространяющихся с одинаковыми скоростями v :

*> В среде с сильной дисперсией форма стационарных волн квазигармоническая, а в среде без дисперсии стационарные волны в виде импульсов не существуют.

**) Такой линия выбрана потому, что наряду с теоретическим анализом она подвергалась экспериментальному исследованию [79] и, следовательно, существовала возможность сравнения тео­ ретических и экспериментальных данных.

153

Поскольку нелинейность мала, то предполагается, что огибающая

конкретная форма f 1,2 определяется параметрами линии, характе­

ром нелинейности и длиной стационарной волны (ее периодом), что хорошо видно из результатов § 3.2.

Для получения укороченных уравнений относительно медлен­ ных переменных A t<2 и фц.2 в >(3.28) подставляется искомое реше­ ние (3.29). Учитывая, что f1,2 являются решениями (3.28), полу­

чаем уравнение, в котором сгруппированы все члены первого по­ рядка малости (т. е. пропорциональные малому параметру). По­ сле перехода к координате g это уравнение запишется в виде

и в случае ЬхФи2.

154

членов и членов с первыми производными от медленных амплитуд

в (3.30), нормированный на 2it/Г, представляет среднее от подын­

функции г и /, их преобразование к координате % не произво­ дится.

**> При равных скоростях o1= o2= o функция Д = /2, что учте­ но при последующем интегрировании.

155

а символ < . . . > — среднее от периодической функции по ее аргументу g.

Для исследования стационарных во времени или в .простран­ стве решений в системе (3.30а) надо положить, соответственно,

dAiX, Ф1,z/dt=0 или dAix, ф1,г/Дг=0.

Применительно к отрезку линии систему (3.21) необходимо дополнить усредненными граничными условиями. Полагая, напри­ мер, нагрузки на концах чисто активными:

и(0, t ) = —R0i(Q, t), и (l, t) =Rii{l, t)

и учитывая медленность изменения переменных Лi,2 и фцг, нахо­ дим из (3.2) и (3.29) граничные условия для амплитуд встречных волн:

в (3.30) d/dt=0, получим системы уравнений в полных производ­

Уравнения интегральных кривых на фазовой плоскости в этом случае легко получаются интегрированием стационарных уравне­ ний для амплитуд и записываются в виде

Л1М 22 |1 _ (Л 12_Л22)|9-1=£»0 (£>0>0).

Характер фазового портрета существенно зависит от величи­ ны и знака параметра q —a2/oi. Можно показать, что для всех

(а именно эти периодические волны образуют решение в отрезке) параметр q>0. В частности, для синусоидальных волн q = 2, для

156

релаксационных q<2. и тем меньше, чем более релаксационны ко­ лебания *>.

Фазовый портрет системы стационарных уравнений представ­

(3.32)] пространственный период функций, образующих стацио­

нарное решение

I

А = 21/т — (ix.3o.ga3/m3vC,) 21 — ^ (А\ - f А\) dz

и частота стационарного колебания \ = v/X. Изменение формы ре­ лаксационных колебаний вдоль линии находят непосредственным интегрированием фазовых уравнений.

Для короткозамкнутого (или разомкнутого) с обоих концов

Это значит, что форма установившихся импульсных колеба­ ний в отрезке активной линии может быть определена (аналити-

*> Расчет q производился по осциллограммам стационарных бегущих волн, наблюдавшихся в кольцевой линии той же длины, что и исследуемый отрезок [78, 79].

157

включения активных элементов в резонатор генера­ тора различными способами.

В начале наносекундного диапазона длительностей генерируемых импульсов резонатор генератора обычно выполняется на основе линий передачи (линий за­ держки) с дискретными параметрами. Поэтому сугце-

Lq R

В

Рис. 3.11. Схемы включения туннельных диодов в ли­ нию-резонатор.

ствует возможность включения активных элементов в звено линии двумя очевидными способами: парал­ лельно индуктивности или параллельно емкости звена. В зависимости от способа включения активного эле­ мента будут различными, во-первых, схема подачи постоянного напряжения смещения для выбора рабо­ чей точки на вольт-амперной характеристике нелиней­ ного активного элемента и, во-вторых, форма импульс­ ных колебаний в резонаторе генератора (при одинако­ вых граничных условиях). Когда активные элементы (например, туннельные диоды) включены параллель­ но с индуктивностью звена, схема подачи напряжения смещения может быть построена так, как это показано

159