книги из ГПНТБ / Богатырев Ю.К. Импульсные устройства с нелинейными распределенными параметрами

В этом случае функция t

ц (t) = — j1(LC)~l!2dt = In (1 — aty'aAB,

6

откуда ^ = 9 (т]) = [1— exp(— аЛВт^'а и согласно (4.27)

9тг

и (г, i) — U0exp (zABz) sin' — {1 — (1 — аI) ехр (аABz)}.

Из этой формулы следует, что форма импульса по ме­ ре его распространения в линии остается подобной на­ чальной, по основные параметры импульса претерпе­ вают существенные изменения: амплитуда импульса возрастает по экспоненциальному закону exp (aABz), а длительность уменьшается по тому же самому за­ кону. Оценку коэффициентов трансформации нетрудно провести, полагая, что за интервал времени от 0 до Г0 индуктивность и емкость линии изменяются от сво­ их максимальных значений L = Li, C=Ci до минималь­

т. е. коэффициент амплитудной трансформации им­ пульса, определяемый отношением U/Ua, будет равен

Ct/C2.

Длительность импульса по основанию изменится от величины tuo — Ta/2 до 71Т~0,57’ехр [—a(C)Li)1/2 Х] = = 0,5T0Cz/Ci, т. е. уменьшится в Ct/C2 раз. Мощность импульса возрастает максимум в 0,5Copi(Ci/C2)2 раз.

200

Важно отметить, что поскольку при ограниченной длине параметрической линии эффекты преобразова­ ния наиболее сильно выражены, если /ио = ^ (где t с£ — время прохождения импульса через линию), то,

во-первых, квазистатическое описание процессов, про­ исходящих в линии, делается непригодным, когда (,ю становится сравнимым с tc£, и, во-вторых, для сокра­

щения длины линии <££ необходимо, чтобы параметры среды изменялись достаточно быстро, хотя эффект параметрического преобразования имеет место и при сколь угодно медленных изменениях параметров ли­ нии (без потерь). Так, например, если отношение С%/С\ изменится в е^2,7 раза в течение времени t,,= = Лю=10-'9 ... 10~1Uс, то минимальная длина линии составит 18 ... 1,8 см.

4.4. ОПТИМАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ

Рассмотренные выше параметрические методы и системы могут быть полезны для решения задач ли­ нейного (подобного) преобразования длительности импульсных сигналов, представляющей, как уже отме­ чалось, существенный интерес, в частности, в совре­ менной сверхбыстрой осциллографии. В общем случае эта задача сводится к построению распределенной недиспергирующей линии передачи с управляемой по определенному закону задержкой импульсного сиг­ нала.

Если па вход такой липни поступает импульс, фор­ ма которого описывается произвольной функцией По(/), то на выходе линии после преобразования фор­ ма импульса должна быть представлена функцией Au(at + b), где А, а, b — постоянные величины, не за­ висящие от времени и характеризующие линейное изменение масштаба и положения импульса в одной и той же системе координат. Преобразование длитель-

201

ности импульса должно осуществляться за конечный

следовательно, времени ее задержки. При этом ско­ рость распространения сигнала, время преобразова­ ния и длина линии существенно зависят (при задан­ ном коэффициенте преобразования) от закона изме­ нения ее параметров. Поэтому большой практический интерес представляет отыскание оптимальных законов изменения скорости распространения импульсов, при которых заданное изменение длительности импульса происходило бы за наиболее короткий интервал вре­ мени в линии с минимально возможной длиной. Эта задача исследовалась в работе [97]. Вначале рассмо­

линии линейны (не зависят от амплитуды входного сигнала). Кроме того, отраженные волны в линии имеют малую амплитуду и их можно не принимать во внимание, а рассматривать параметрическое преобра­ зование длительности только прямого сигнала.

Если ti, ti — соответственно моменты времени вхо­

202

ff(at—b)—H(t) = Z;

частного решения Я0(/) данного трехчленного функ­ ционального уравнения и общего решения Hi(t) двух­ членного функционального уравнения с аналогичной исходной функцией tb(0 Ffl[\pi(t)] = F[i (t), где г(ц(^) =

= at + b, т. е. Я ( /) = Я 0( О + Я 1(О.

Частные решения HQ(t) и H\(t) находятся мето­ дом итераций. Промежуточные выкладки приведены в работе [97]. Они несложны, но громоздки, поэтому, опуская их, приведем окончательное выражение об­ щего решения Я(г):

H(t)=£6 F (t) + jvjsin [Al+ 2nnF(t)]+A2-,

П

F(t) ~\n{t + b!(a—l)]/ln a,

где n — произвольное целое число, A i;2 — произволь­ ные постоянные.

Выражение для скорости распространения сигнала v(t) находится дифференцированием Я (I) по времени и имеет вид

203

трической линии передачи длиною ££, необходимо так изменять во времени параметры линии, чтобы ско­ рость распространения импульса была близка к опи­ сываемой выражением (4.29).

Практическая реализация полученного закона за­ труднительна, поэтому отметим, во-первых, что линей­ ное преобразование импульсных сигналов обеспечи­ вается и изменением скорости, описываемым только первым слагаемым общего выражения (4.29) (что со­ ответствует частному решению H0(t)). Во-вторых, про­ веденное рассмотрение и, следовательно, формула (4.29) определяет класс решений для v(t), описывае­ мых непрерывными функциями времени. Однако еще существует и класс решений для v(t), описываемых разрывными функциями, который также позволяет получить линейное преобразование длительности им­ пульсных сигналов. Рассмотрим эти решения.

Наиболее простой закон изменения скорости u(t) имеет вид

(4.30)

где tiiQ— длительность входного импульса. При этом длина параметрической линии :v0tuQ. Следова­

тельно, скачкообразное изменение скорости от вели­ чины По до щ происходит только тогда, когда преоб­ разуемый импульс полностью находится внутри отрез­ ка линии.

Изменение параметров линии может происходить

или волны накачки (на фронте которой происходит быстрое изменение параметров линии). При этом

204

ii также возможно линейное преобразование импульс­ ного сигнала, если он поступает на вход отрезка ли­ нии в момент t„ при o(g) =0о и выходит из него в мо-

волны параметра совпадает с каким-либо участком импульса. При этом время взаимодействия волны па­ раметра с импульсом относительно фронта импульса, равное Ti, легко определяется с помощью рис. 4.9:

По аналогии время взаимодействия относительно спа­ да импульса равно

откуда получаем выражение для коэффициента преоб­

Отсюда видно, что операция параметрического преоб­ разования длительности ^ио входного импульса в дли­ тельность tn выходного импульса линейна в интервале {tu, ^к). В частности, при нр— Н-°о К— *~v0/vi.

Следует отметить, что преобразование сохранится

205

линейным и тогда, когда фронт волны параметра име­ ет конечную длину. Действительно, представив фронт в виде суммы ступенчатых функций и рассматривая общее преобразование на каждой из этих ступенек, в конечном итоге придем к формуле для коэффициен­ та преобразования длительности импульсного сигнала, полностью совпадающей с (4.34).

Рассмотренные выше законы изменения скорости v позволяют осуществить линейное преобразование им­ пульсных сигналов в отрезке параметрической линии с различной эффективностью. При конструировании таких линий возникает вопрос о выборе наиболее эф­ фективного закона.

Оптимальным для большинства практических случаев является, по-видимому, выбор таких законов изменения v(z, t), которые обеспечивают максималь­ ное значение коэффициента преобразования импульсов по длительности при одной и той же длине параметри­ ческой линии и равных максимальной и минимальной скоростям распространения импульсов в линии. Если же разные закономерности изменения v(z, t) дают практически одинаковое максимальное значение К, то,

шую по конструкции параметрическую систему и ее элементы.

Исходя из отмеченных выше предпосылок и срав­

же коэффициенте преобразования К он предполагает меньшую длину St. отрезка линии. Это объясняется тем, что в случае (4.31) длительность фронта волны параметра минимальная (равна 0).

Действительно, минимальная длина отрезка параметрической линии при скорости о, изменяющейся по закону (4.31), необходимая для преобразования

206

где S — v0/v1. Для получения больших значений коэф­ фициента преобразования можно последовательно со­ единить несколько взаимно синхронизированных от­ резков линии, каждый из которых управляется по за­ кону (4.31). Тогда общий коэффициент преобразова­ ния будет равен произведению коэффициентов преоб­ разования каждого отрезка линии: Кобщ= К\Кг ... Kn -

Тем не менее всегда выгодно ограничиться одним отрезком параметрической линии с длиной, обеспечи­ вающей коэффициент преобразования К = Кобщ, так как при этом система будет проще ввиду отсутствия согласующих элементов между линиями и дополни­ тельных усложнений цепей управления и синхрони­ зации.

Что же касается эффективности закона (4.29), то проиллюстрируем ее, учтя только первое слагаемое этого выражения. В этом случае минимальная длина параметрической линии, необходимая для преобразо­ вания в К раз импульса длительностью („о,

5 > К при К> 1 и S < К при К < 1.

При последовательном соединении N отрезков по­ добных параметрических линий минимальная длина

207

всей системы

£f„ = а \ + У, + . •. + П н = * .(* ■ '- 1>1<к - 1>•

сравнению с (4.29). Для пояснения физической сторо­ ны этого вывода рассмотрим частный случай измене­ ния скорости по (4.30). При ир->-оо коэффициент вре­

распространения импульса, а от отношения этих ско­ ростей. В связи с этим линейное преобразование дли­ тельности будет осуществляться и в том случае, когда различные участки исходного импульса входят в па­ раметрическую линию при разных начальных скоро­ стях оо(бю) и выходят из нее также при разных ко­ нечных скоростях уДЛ,), но таких, что отношение vo(tuo)/vi(tn) = /( = const. Нетрудно убедиться, что за­ кон (4.29) удовлетворяет этому условию. Но ввиду то­ го, что Уо(бю) Уо, а У1(/ц)г^Уь следует, что коэффи­ циент преобразования здесь будет меньшим или в луч­ шем случае равным (4.30). Следовательно законы изменения у (г, /) (4.30) и (4.31) более эффективны,

чем (4.29).

Следует также учитывать, что при изменении во времени только одного из параметров (индуктивности или емкости) линии, что обычно целесообразно с прак­ тической точки зрения, одновременно со скоростью распространения импульса будет изменяться и волно­ вое сопротивление параметрической линии. В случае использования закона (4.31) изменение волнового со­ противления линии эквивалентно появлению локаль-

208