книги из ГПНТБ / Богатырев Ю.К. Импульсные устройства с нелинейными распределенными параметрами

3

ГЕНЕРИРОВАНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ В ВОЛНОВЫХ СИСТЕМАХ С АКТИВНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Волновые системы, подобные рассмотренным в пре­ дыдущей главе, могут быть использованы не только для формирования, но и для генерирования разнооб­ разных импульсных сигналов нано- и субнаносекундной длительности. В этом случае системы с активными параметрами являются автоколебательными. Помимо общих свойств, присущих релаксационным нелиней­ ным системам с распределенными параметрами (силь­ ная нелинейность, слабая дисперсия, малые потери и т. п.) автоколебательные активные системы должны обладать дополнительными свойствами, отвечающи­ ми по крайней мере двум основным требованиям: вопервых, рабочая точка на статических или динамиче­ ских вольт-амперных характеристиках активных эле­ ментов должна быть выведена *на падающий участок (в область, где дифференциальное сопротивление эле­ мента отрицательное) *); во-вторых, в системе должны выполняться условия самовозбуждения (она должна быть неустойчивой). Этим требованиям удовлетво­ ряют автоколебательные системы, выполненные в ви­ де отрезков, разомкнутых или замкнутых с обеих сто­ рон линий передачи с распределенными или дискрет­ ными активными элементами (например, туннельными,

Автоколебательные волновые системы, по сущест­ ву, являются резонаторами, заполненными активным нелинейным материалом. При выполнении условий самовозбуждения в резонаторах (отрезках и кольцах

Характеристика активного элемента при этом может быть как N-, гак и 5-образной.

130

линий передачи) возбуждаются различные типы соб­ ственных колебаний с длинами волн, кратными длине резонатора. С увеличением амплитуды спектральный состав колебаний непрерывно обогащается за счет действия нелинейности активных элементов. Специфи­ ческие граничные условия и слабая дисперсия соз­ дают благоприятную ситуацию для фазирования и не­ линейного взаимодействия определенного дискретного набора эквидистантных спектральных составляющих. В результате в системе устанавливаются стационар­ ные колебания релаксационного вида, представляю­ щие собой стоячие или бегущие волны напряжения (тока). Режим возбуждения этих колебаний может

для различных мод. Параметры результирующих ре­ лаксационных волн, естественно, зависят от типа вза­ имодействующих волн. При этом под типом (модой) колебаний здесь понимаются колебания с разными периодами, кратными времени пробега волны вдоль резонатора.

Автоколебательные процессы в отрезке (или коль­ це) активной линии описываются системой нелиней­ ных дифференциальных уравнений в частных произ­ водных или нелинейными дифференциально-разностны­ ми уравнениями, дополненными граничными условиями (в случае отрезка) и условиями периодичности в случае кольца. Здесь будут рассмотрены тцкие ак­ тивные системы, в которых связь между переменными (уравнения связи) выражается не в интегральной или дифференциальной форме (как это имеет место, на­ пример, в ганновских распределенных системах), а только в виде простейших полиномов. По существу, это системы, нелинейные элементы которых имеют статические, а не динамические вольт-амперные ха­ рактеристики. Среди них наибольшее применение па практике получили волновые активные системы, вы­

полненные на основе распределенного туннельного р— «-перехода [60, 61J и линий передачи с периодическим включением туннельных диодов. Они используются как многовыходовые генераторы последовательностей импульсов различных видов в нано- и субнаносекундном диапазоне [78, 86J, как элементы быстродействую­ щих кодирующих и вычислительных устройств [107, 109] и т. п. Исследование и решение нелинейных урав­ нений, описывающих автоколебательные и волновые процессы в активных системах, а также получение расчетных соотношений, в основном, осуществляется здесь с помощью методов, использованных в предыду­ щей главе. Кроме того, рассматриваются методы, по­ зволяющие решить один из основных вопросов для автоколебательных систем — вопрос об устойчивости активных систем волнового типа.

3.1. УСТОЙЧИВОСТЬ ВОЛНОВЫХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

При исследовании устойчивости активных систем с распределенными параметрами (так же, как и си­ стем с сосредоточенными параметрами) обычно огра­ ничиваются рассмотрением их устойчивости по отно­ шению к малым возмущениям. Для нелинейных си­ стем такое исследование в большинстве практически интересных случаев можно провести на основе ана­ лиза линеаризованных уравнений, описывающих ав­ токолебательные процессы, в предположении, что ес­ ли линеаризованная система устойчива (или неустой­ чива), то устойчива (неустойчива) и исходная нели­ нейная система [1, 80].

Понятие устойчивости распределенных систем обычно определяется по отношению к тому или иному заданному классу возмущений. Учитывая это, будем считать, что распределенная система устойчива, если малые возмущения внешних сил (в том числе и рас­ пределенных), действующих на систему, вызывают

132

в ней малые возмущения, которые остаются малыми и при любом t— >-+оо. При этом во всех практически интересных случаях оказывается достаточным рас­ смотреть устойчивость системы по отношению к внеш­ ним возмущениям, изменяющимся во времени не бы­ стрее, чем по экспоненциальному закону exp at (а —

= const).

Как и в теории колебаний сосредоточенных систем, при анализе распределенных систем выделяется устой­ чивость двух типов: устойчивость по отношению к воз­ мущениям начальных условий по Ляпунову и асимп­ тотическая устойчивость [81]. Устойчивость по Ляпуно­ ву предполагает лишь ограниченность малых возмуще­ ний во времени, в то время как для асимптотической устойчивости необходимо неограниченное и равномер­ ное убывание начальных возмущений при t— >-+оо. Последнее-—весьма жесткое условие и в практически встречающихся задачах выполняется весьма редко. Поэтому при исследовании устойчивости систем с рас­ пределенными параметрами, как правило, пользуются понятием устойчивости лишь в смысле ограниченности возмущений, т. е. по Ляпунову.

В этом случае, как показано в работах [80, 83], во­ прос об устойчивости сводится к исследованию корней характеристического уравнения ограниченной распре­ деленной системы, т. е., по существу, к оценке всех собственных значений соответствующей краевой зада­ чи. Анализ корней характеристического уравнения приводит к определению места расположения на ком­ плексной плоскости пулей некоторого полинома (ква­ зиполинома), что, в свою очередь, является довольно трудной задачей. Аналитически ее удается решить до конца обычно лишь в случаях, когда дисперсионное уравнение распределенной части системы имеет до­ статочно простой вид. Примеры исследования подоб­ ных систем с пассивными распределенными звеньями содержатся в работе [80] и с активными звеньями в ра­

133

боте {77, 83]. Исследование устойчивости активных рас­ пределенных систем, выполненных в виде линий пере­ дачи с произвольными граничными условиями, прово­ дится в соответствии с результатами работы [83].

В общем случае линеаризованные волновые урав­ нения линий с активными параметрами в изображе­ ниях по Лапласу при нулевых начальных условиях имеют вид

di{p)ldz=—Y(p)u(p), du(p)/dz = —Z(p)i(p)

с граничными условиями для отрезка при 2= 0; I или

ы(0, p ) = —Z0i(0, р),

Здесь Z(p), Y(p), Z0(p), Zt(p) — параметры линии пе­ редачи (комплексные сопротивления и проводимости), эквивалентная схема которой представлена на рис. 3.1.

Как уже отмечалось, вопрос об устойчивости рассматриваемой линейной системы сводится к исследо­ ванию корней характеристи­

ческого уравнения

Д (р)=0, (3.4)

134

имеет корней с R ep> 0, и неустойчива, если имеется хотя бы один корень с R ep> 0 .

Для разбиения плоскости параметров на области устойчивости необходимо еще иметь дисперсионное

Воспользовавшись этим равенством и граничными условиями, легко написать полную систему уравне­ ний, определитель которой равен Д(р):

и{0, р)=А(р)+В( р),

du(0, p)fdz=*y(p)A (/>)—у(р)В(р),

и{1, р) =А (р) ехр[у (р)1] + В(р) ехр[—у (/?)/],

du(l, p)/dz=A(p)y(p) ехр[у(р)/]—

—В(р)у(р) ехр[—у (/>)/],

du(0, p)/dz =Z(p)u( 0, p)IZo(p),

du(l, p)fdz=—Z(p)u(l,p)/Zi(p).

Ее определитель имееет вид

135

Раскрыв А(р), находим характеристическое уравне­ ние для отрезка линии

Для определения условий самовозбуждения иссле­ дуем корни характеристических уравнений (3.7) или

ние его корней весьма затруднительно. Поэтому рас­ смотрим некоторые частные случаи значений гранич­ ных импедансов, характерные для большинства прак­ тически используемых распределенных автоколеба­ тельных систем.

Пусть Z0) Z; = 0 или оо (что соответствует актив­ ным отрезкам с короткозамкнутыми или разомкнуты­ ми концами); тогда коэффициенты отражения на гра­

несимметричной (здесь k — волновое число, %— длина волны собственных колебаний).

Нетрудно видеть, что для полученных значений у правая часть характеристического уравнения (3.7) является уже не квазиполиномом, а полиномом по р. Оценка места расположения корней этого полинома может быть проведена обычными методами, например,

136

С помощью D-разбиения по одному или двум пара­ метрам [84].

Воспользовавшись полученными результатами, определим условия самовозбуждения различных типов колебаний (мод) в генераторе, выполненном в виде отрезка полосковой (или коаксиальной) линии, по­ строенной на основе распределенного туннельного р—

L R ----W

«-перехода, эквивалентная схема которого представле­ на на рис. 3.2.

Дисперсионное уравнение разомкнутого или зако­

Учитывая, что характеристическое уравнение в этом случае имеет только мнимые корни, равные (3.9), по­ ложим в (3.10) р = /со и, разделив действительные и мнимые части (3.10), получим равенства

—A2(l+ /-g )-D g + cD2[LC +

137

+ LCi(\ -i-fg) + Г.РСС1]—О,

—kzrC—gL—RC—RCi (1 +rg) + u)zrLCCi— 0,

(3.11)

из которых после исключения со могут быть найдены границы областей возбуждения различных типов ко­ лебаний (мод) распределенного генератора.

Разбиение плоскости действительных параметров па области возбуждения колебаний, соответствующих различным т, произведем для двух случаев, соответ­ ствующих различным значениям потерь в линии. В первом случае положим г = 0 и Я ф 0, а во втором г т^О, R = 0. Это позволит раздельно выяснить влияние низкочастотных и высокочастотных потерь на условия

что при выводе рабочей точки на падающий участок вольт-амперной характеристики туннельного перехода в генераторе возникают и нарастают колебания, если проводимость туннельного перехода в рабочей точке превышает отношение сопротивления низкочастотных потерь к квадрату волнового сопротивления отрезка

линии.

В случае, когда низкочастотными потерями можно пренебречь (Я = 0), а учитывать только сопротивление растекания г туннельного перехода, области устойчи­ вости определяются аналогичным образом [77].

Из второго уравнения системы (3.11) находим зна­ чение со2 (при R = 0, г ф 0, k = 2nт/1) и подставляем его в первое уравнение. Затем на плоскости действи­

138

тельных параметров р£ и r/g (где р= l(L/C)i:2/n) строим (рис. 3.4) границы областей возбуждения раз­ личных типов колебаний, соответствующих разным

ного тока, граница области устойчивости определится

при т = 0 допускает лишь нулевые решения системы (3.1), (3.2). Для Z = 0 границе области устойчивости

139