книги из ГПНТБ / Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие
.pdfМИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УССР
УЖГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ' УНИВЕРСИТЕТ
К а ф е д р а |
а л г е б р ы |
А. А. Б О В Д И
Г Р У П П О В Ы Е |
К О Л Ь Ц А |
( учебное |
пособие ) |
У Ж Г О Р О Д - 1Ш4
Печатается по решению редакционно-издательского
совета Ужгородского государственного университета
Гпу5.” чная
Жчно-ть-'н - оеиая
>лиоте-а ОЭСР
ЭКЭМПЛЯР
t ЧИТАЛЬНОГО « 4 ДД
Jty' Ш б 3
Ответственный редактор ~ доц. В,С J p o 6oTeHKO
|
А. |
А. |
Б О В |
Д |
И |
|
|
Г Р У П П О В Ы Е |
К О Л Ь Ц А |
|
|||||
|
( |
учебное |
пособие |
) |
|
||
Подписано к |
печати |
21.03.1074 |
г.Разреш ено к печати |
26,03.1974 г. |
|||
ББ00473. |
■' |
|
Зк.299. |
|
Тир. 500. |
||
Формат бумаги 00 X 84 |
1/16. |
|
Об"ем |
7,375 пл. |
|||
|
Цена одного |
экэ. |
51 |
коп. |
|
Печатная лаборатория УжГУ ,г.Ужгород,ул.М.Горького,46.
- 3 -
|
В В Е Д Е Н И Е |
|
|
|
Пусть G - группа |
относительно операции умножения |
и К |
- |
произ- |
вольвое аосоциативное кольцо. Групповое кольцо ( г р .к .) |
JU? |
группы G- |
||
над кольцом К соотоит из всевозможных формальных сумм вида |
|
, |
||
в которых лишь конечное |
число коэффициентов J .^ ( K отлично от |
нуля, |
причем такие суммы считается равными тогда и только тогда, когда у них
совпадают коэффициенты |
J L |
м я |
воех |
|
G |
. Операции в |
К & |
оп |
|
||||||||
ределяются |
так: |
если |
|
|
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|||
т .е . коэффициенты |
/ у . |
перестановочны с |
элементами |
группы |
G |
, |
а ум |
|
|||||||||
ножение в |
K G |
|
индуцируется |
умножением в |
( ? . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Еоли |
кольцо |
К |
является |
полем, то |
г р .к . |
K G |
называется |
группо |
|||||||||
вой алгеброй ( г р . а . ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Элемент. *>"’ Х |
а с К € можно рассматривать |
как |
функцию на группе |
<? |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
„ |
• которая |
на |
элементе |
л . |
группы |
|
Г |
|
||||
со значением в кольце К |
|
v |
|
||||||||||||||
принимает |
значение |
jCj. . Тогда групповое |
кольцо |
К б |
можно отождест |
||||||||||||
вить с кольцом тех функций из |
G |
в К |
. |
KOToptie |
приншают ненулевые |
|
|||||||||||
значения лишь на конечном подмножестве |
группы |
G |
, |
е |
обычной операци |
||||||||||||
ей сложения и умножением типа |
свертки, |
т .е . умножение |
функций |
~f(*0 |
■ |
||||||||||||
Y t y < Z e G |
) |
определяется |
формулой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Групповые алгебры были введены Фробеииусом и Шуром в начале |
наше |
||||||||||||||||
го века и до 50-ых годов их воспринимали как формальный объект, |
прис |
|
|||||||||||||||
пособленный к |
задачам |
теории |
представлений |
конечных |
групп, |
В начале |
|
50-ых годов появляется интерес к групповым кольцам бесконечных групп, чему в значительной мере способствовали проблемы по групповым кольцам, поставленные Капланским £2,3] , применение целочисленных групповых ко лец в топологии и использование методов теории групповых колец прк изучении строения групп. Несмотря на обилие результатов ио групповш кольцам произвольных групп, в настоящее время, по существу, закладыва ются только основы этой теории.
- 4 -
Основные направления исследований по теории групповых колец следующие:
1) теоретико-кольцевые свойства группового кольца;
2) проблема изоморфизма н инварианты групповых колец;
3)полупростота и радикал групповых колец;
4)строение мультипликативной группы группового кольца»
Впредлагаемой Вам первой части пособия излагаются результаты, полученные в первых двух направлениях. Исследования, относящиеся к третьему направлению, хорошо освещены в недавно вышедшей книге Паесмана "Бесконечные групповые кольца" и также в его обзорной ста
тье б . Во второй части пооос&я мы надеемся подробно остановиться на строении мультипликативной группы группового кольца» Подробный обзор по теории групповых колец, а также доказательства некоторых результатов приводится в статье А.Е.Вадесского и А .В .Михалева Щ .
Для понимания основной части пособия от читателя требуется оп ределенная математическая культура и знакомство о основными понятия ми теории групп и аппаратом теории колец с условием минимальности.
Пособие предназначено для студентов старших курсов» Поэтому материал изложен лаконично, но со всеми необходимыми подробностями, Читатель должен быть готов к тому, чтобы не просто читать доказательства, а доказывать теоремы по намеченной схеме. Для удобства читателя, мы приводим без доказательства все необходимые нам результаты из теории групп к теории колец. Подробное изложение этих'фактов можно найти в монографиях: й,Г.Курош "Теория групп", Ламбек "Кольца и модули", Херстейн "Некоммутативные кольца". Автор отнюдь не претендует на ис черпывающую полноту библиографии, где, в основном, указаны работы, которые непосредственно упоминаются в тексте, Более подробную библи ографию можно найти в обзорных статьях А.Е.Залесского и А.В.Михалева Ш и Паосмана ЛбЗ .
|
|
|
|
- |
5 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ И ТЕРМИНОВ |
|
|
|
|
|
|||||||||
Н а с |
- И -нормальная подгруппа группы |
G |
, |
|
|
|
|
||||||||||
п |
ш |
- |
полная система представителей левых (правых) смеж |
||||||||||||||
IGI |
|
ных классов группы |
G |
|
по подгруппе |
Н |
. . . |
. . |
. . |
7 |
|||||||
- |
порядок группы |
G |
или мощность множества |
G |
, |
|
|||||||||||
1 с м ] |
- |
индекс подгруппы (подмножества) Н |
в |
G . . . . . |
16 |
||||||||||||
с # ( ? ) |
- |
централизатор |
элемента |
у |
в |
группе |
G |
, |
|
|
|
||||||
A = A ( G ) = { ip £ |f G :C &(?)]<oo} |
_ А-подгруппа |
группы |
б |
|
, 20 |
||||||||||||
A *“ A * (G 9 -{9eG |fG :C e ty)]<«e} |
|
........................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
||||||
|
|
|
[Н :С и (ф " } |
|
........................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
|
*7 |
|||
т |
|
- |
Д -радикал группы С |
|
......................................... |
|
|
|
|
|
|
|
**7 |
||||
№ |
|
- |
центр группы |
G |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( $ ’&) |
- |
коммутатор |
элементов |
<j. |
и "ft |
группы |
G . |
|
|
||||||||
G |
|
- |
коммутант |
группы G . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ш ) |
- |
взаимный коммутант |
подгрупп Н |
и L |
группы |
G |
, |
||||||||||
|
|
- |
класс сопряженных |
элементов группы |
G |
. содержа |
|||||||||||
|
|
|
щий элемент |
ф |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
( с ) |
- |
К -й член TYl-ряда |
группыG ................................ |
|
|
|
|
|
73 |
|||||||
КкА |
- |
центральный,ряд |
Цассенхауза-£азара |
группы |
G |
|
ъ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г |
_ |
кольцо целых рациональных чисел, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Zf |
- |
кольцо тснассов вычетов |
помоtip* |
, |
|
|
|
|
|
к- ассоциативное кольцо с единицей,
KG |
- |
групповое |
кольцо группы G |
над кольцом |
К |
|
|
X |
_ |
элемент группового кольца |
KG |
, |
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
окрещенное |
произведение группы |
0 и кольца К |
51 |
||
* 5 * * |
- |
элемент кольца (С ,Я ,$ ,е ) |
..................................... |
|
. |
51 |
|
S u p p E - |
|
|
- носитель |
элемента |
х . . . . |
7 |
|
^ S u^ jX> |
„ |
подгруппа |
носителя элемента ж |
............. |
-«............ |
2ь< |
|
|
|
|
|
|
- |
6 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1%х,ж£i |
•„ след .элемента sc- .................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|||||||
ЗгШ) |
|
- левый идеал гр.к. |
JCG |
, |
порожденный элементами |
|
|||||||||||
|
|
|
|
вида &-i (ktG ) |
................................KG |
, |
|
|
|
.. .. |
......... |
|
7 |
||||
•АЛ"' |
|
- |
правый идеал гр.к. |
порожденный элементами |
|||||||||||||
чей ) |
|
|
вида ^ |
|
, ................................... |
порожденный элементами.............вида |
7 |
||||||||||
|
|
|
_ идеал гр.к. KG |
|
|||||||||||||
А (К Г ) |
|
|
^ |
|
* г д е Н 4 С |
........................................... |
|
|
|
|
|
.. |
|
|
8 |
||
Mwviv |
_ фундаментальный идеал гр.к. Кб |
........................ |
|
|
II |
||||||||||||
[ я ,у ] - |
с с у -у х |
|
|
|
|
- лиевьсй (аддитивный) |
комму- |
|
|||||||||
_ |
. |
|
|
татор |
элементов ос. |
|
и ц. |
|
гр.к. |
KG . |
|
|
|
||||
LA,yj |
|
- |
К-подмодуль гр.к. |
Кб |
|
, |
порожденный лиевыми |
|
|||||||||
|
|
|
|
коммутаторами |
[x,yj |
(осеХ,^€ |
У) |
, |
|
|
|
||||||
в6(К6) |
|
_ коммутаторный |
К-подмодудь гр.к. |
KG .......... |
|
12 |
|||||||||||
$(KG) |
|
- |
центр гр.к. KG |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
^(KG) |
|
.. радикал Джекобсона гр.к." |
|
КО |
, |
|
|
|
|
||||||||
x&d-KG |
|
_ первичный радикал гр.к. |
KG |
, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
_ вес |
элемента ж гр.к. KG |
................................ |
|
|
|
64 |
|
|||||||
£•£,/» |
|
|
- |
К-подмодуль г р .к . |
KG |
................................................ |
|
|
|
|
|
64 |
|||||
|
|
|
- |
К-подмодуль гр.к. |
КО |
|
..................................... |
|
|
|
67 |
|
|||||
£>n(KG) |
- д-ая |
размерная подгруппа гр.к. |
KG .................. |
|
69 |
||||||||||||
з с - х с ( |
^ |
% |
? |
Л |
|
|
- гомоморфам |
в |
К . |
32 |
|||||||
e - a ( s s 4 ? ) - x : x » f |
|
|
- |
Й Д -гом ом орфам |
|
20 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ...................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
- |
отображение КО |
в |
КН |
|
........................................... |
|
|
|
|
87 |
|
|||
LL0CG) |
|
- |
мультипликативная |
группа |
г р .к . |
КО ................... |
|
86 |
|
||||||||
VUCG) |
|
- |
нормированная мультипликативная группа г р .к .Кб |
86 |
|||||||||||||
II |
|
|
- конец (или отсутствие) доказательства, |
|
|
|
|||||||||||
Базисная |
подгруппа |
группового |
кольца KG |
|
|
|
...................... |
86 |
|
||||||||
Канонический |
базис |
группы G |
................... |
|
|
................ |
|
|
............................. |
|
|
62 |
|||||
Терминал, группы G |
|
относительно |
кольца |
|
К |
................................... |
|
|
|
62 |
|
-7 -
ГЛ А В А I
ТЕОРЕТИКО-КОЛЬЦЕВЫЕ СВОЙСТВА ГРУППОВЫХ КОЛЕЦ
§1. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПОДГРУППАМИ И ИДЕАЛАМИ ГРУППОВОГО КОЛЬЦА
Пусть |
Н |
- |
подгруппа группы |
С |
. Образуем |
подмножество г р .к . |
|||||||||||||
К С ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, |
что |
Ш ) |
- |
левый идеал г р .к . |
КС |
, |
порожденный элемента |
||||||||||||
ми вида |
/ь- i |
( |
& «Я |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть ( щ ) - полная система представителей левых смежных классов |
|||||||||||||||||||
группы |
С по подгруппе Ц |
(ради |
удобства, |
в |
дальнейшем |
это множество |
|||||||||||||
будем обозначать |
через |
/7 ( % ) |
) . Тогда элементы вида |
u - J t - i ) |
об |
||||||||||||||
разуют |
базис |
К -модуля |
$ t (H) |
, |
что |
непосредственно |
следует из |
пред |
|||||||||||
ставления |
tf.€ G в виде |
'U t'/l |
и из |
равенства |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Аналогично |
определяется |
пралый идеал |
|
|
|
г р .к . |
К С . |
|
|
||||||||||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если |
Х = 5 3 о С ^ , |
то |
подмножество |
S u ^ x ^ t C r l X ^ b |
|||||||||||||||
называется |
носителем |
элемента х |
, |
а |
число |
элементов |
подмножества |
|
|||||||||||
S u p p X |
называется |
длиной |
элемента |
|
х . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Докажем |
некоторые |
свойства |
идеала |
3 |
/ и ) . |
|
|
|
|
|
|||||||||
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
I . |
|
|
i£U ) |
тогда |
и только |
тогда, |
когда |
Н |
- |
|||||||||
нормальная |
подгруппа |
группы |
G • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. |
Из равенства |
|
|
|
|
|
следует, |
что |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
для |
всех Ч е И |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
~ Ui x 1 + U.bOCt + ...+ |
tlgVCg , |
|
|
( I ) |
|||||||||
где iiie rj(G /u ) |
и |
х ; £ К Н |
. |
Тогда |
длина |
элемента |
uCi |
не менее |
2 |
||||||||||
и при |
|
S uppU i'X i |
и |
HuppUjXj |
лежат в различных левых |
омеж- |
|||||||||||||
ных классах по подгруппе Ц |
. |
Значит, |
правая |
часть ( I ) может иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ 8 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
длину 2 лишь при условии, |
когда |
s = i |
|
и |
|
|
|
|
|
|
. |
Сравни |
||||||||||||
вая |
элементы в ( I ) , |
|
получим |
соотношения: |
Л ^ .~ щ Л , |
, |
^ ,* г 14/ьа |
> |
а |
|||||||||||||||
отсюда |
|
|
. |
|
Следовательно, |
Ц л С |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Обратное |
утверждение непосредственно следует из равенства |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
так как |
|
|
? -‘. н |
. . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Бели U a G |
, |
|
то |
двусторонний |
|
идеал ш |
|
будем |
обозначать |
че- |
|||||||||||||
|
ПРБДДСЖЕНИЕ 2 . Правый аннулятор |
■ъ0 ?t <m ) |
левого идеала |
й < Н ) |
||||||||||||||||||||
отличен от нуля тогда и только тогда, когда И |
конечная |
подгруппа и в |
||||||||||||||||||||||
этом |
случае |
ъ ( |
Уе(Н )) — ( |
Л 2 |
A |
) K |
G . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что |
|
у |
fc X ( t ^ ( H ) ) |
*=* |
|
|
|
0 |
|||||||||||||||
для |
всех |
Л е И |
. |
Пусть |
y . = X 1U i +Xt u J+ |
+ х * Ч е |
( |
Щ * П (в/я) ) , |
||||||||||||||||
OCi fc К Н |
) . |
Если |
a |
|
|
|
, |
то из |
условия |
A l t = Ц |
следует |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
* |
|
|
|
|
|
'z u S i - 'r .J i •ЛЛ |
Для всех |
|
A c U |
. Однако |
это возможно толк |
|||||||||||||||||||
у й |
* |
*ЧН |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ко при условии, что |
|
Н |
конечная |
группа, так |
как в правой |
|
части |
равен |
||||||||||||||||
ства |
встречаются |
все |
элементы группы |
Н |
• |
Более |
того, |
мы можем подоб |
||||||||||||||||
рать |
А |
так, |
чтобы |
|
Л Л |
совпадал |
с |
наперед |
заданный |
элементом |
группы |
|||||||||||||
]■! |
. Поэтоиу в |
записи |
ас* |
rice |
коэффициенты |
|
равны и |
элемент |
у , |
|||||||||||||||
имеет вид |
( ^ Z A - ) z |
, |
где |
X |
- |
произвольный |
элемент |
из |
K G |
. |
ш |
|
||||||||||||
|
ПРЩ10ДЕНИЕ 3 . Пусть |
М |
- |
ядро |
гомоморфизма |
(г*— |
. |
Тогда |
||||||||||||||||
отображение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является |
гомоморфизмом |
K G |
|
|||||||||
на К С , |
, ядром |
которого |
есть у ( н ) |
и |
к с г /щ ц ') - |
к о , . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. |
пусть |
ml = |
2 |
3 |
, / ^ |
и |
|
|
A |
|
. |
Тогда |
|
|
|
||||||||
|
|
- / ( ^ ) = i ( я + у . ) |
|
и |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
tG
Поэтому, если £ t # . то
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
9 - |
|
|
|
|
^£K ctf |
|
|
|
|
|
||
Чтобы доказать обратное включение, представим |
в виде |
|
|
|
||||||||||||||||||
а д о + .- . + а д а |
, |
где |
x ^ JZ Jifk |
. Щ * П (% ) |
. Тогда |
|
|
|
||||||||||||||
0 - ? W |
~ f a |
n |
щ ) * ...*f f s g / f e - j - f g j C |
j f ) Л ч ) + . . . + ( д л ? ) Л й |
||||||||||||||||||
Так |
как |
элементы |
|
|
|
|
|
попарно различны, то для всех |
i |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
*«W |
* |
|
|
|
& tU |
л |
А*Н |
* |
|
|
|
||||
является |
элементом из |
C/(W) |
, |
Следовательно |
^ с У ( Н ) |
. |
я |
|
|
|
||||||||||||
|
|
Отметим, |
что если |
и Я * |
подгруппы группы |
(? |
и Я = Я £ГШг , |
|||||||||||||||
то |
1400п урлд з |
% (ю |
|
, но |
обратное |
включение |
не воегда |
име |
||||||||||||||
ет место. Однако справедливо |
|
) Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ИРЩСКЕШЕ 4 . (Левин, I |
|
Р |
- |
подгруппа, |
порожденная |
H j |
||||||||||||||
И Я * |
, |
то |
|
/ |
7 |
|
) |
|
тогда и только тогда, |
когда |
|
Р |
|
|||||||||
является |
свободным |
произведением |
Wt |
и |
Я , |
|
о объединенное подгруп |
|||||||||||||||
пой |
Я |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если |
Р |
- |
подгруппа, |
порожденная |
Mi |
и Я * |
, |
то |
|||||||||||||
каждый элемент |
§ ^ Р \ Я |
допускает запись в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
f - k A v - K |
( k i t H ) , |
|
|
|
|
(2 ) |
|||||||||||
где любые дан соседние элементы |
kiA in (у=1Л>—А-1) |
лежат |
в разных |
|
||||||||||||||||||
подгруппах. Если разложение (2 ) |
для всякого |
g.tP\M |
единственно, |
то |
||||||||||||||||||
Р |
является свободна* произведением |
Ht |
|
и |
Я* |
с объединенной |
под |
|
||||||||||||||
группой |
я . |
|
|
|
t докажем единственность |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
t * i |
Методом индукции |
по |
записи |
( 2 ) , Для |
|
|||||||||||||||||
|
утверждение очевидно. |
Если существует |
элемент из P \ / j |
> ко |
||||||||||||||||||
торый двумя способами записывается в виде |
(2 ), то |
некоторый |
|
|
|
|||||||||||||||||
также |
записывается в виде |
(2 ), |
причем |
c p * iti4 (Ю . |
Положим |
* |
|
|||||||||||||||
|
|
|
к^ |
(0 4 l& t-l) |
|
И |
|
|
|
|
, Так как |
подгруппы |
Ц |
|||||||||
и Hz равноправны, то предположим, что |
k t&Ui . |
Тогда |
к^ еИ г |
|
, |
|
||||||||||||||||
кцц г Я i |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
i ' t * ( k r Q f i + < k r l ) lb + < k e l) 9 s * " ' е |
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Ъ ъ * ( к ,г 1 ) 2 ъ + ( к г i)< f> ,+ (kz-i)$ e+- |
€ |
|
|
|
|
|
|
I