книги из ГПНТБ / Богатырев Ю.К. Импульсные устройства с нелинейными распределенными параметрами
.pdfРис. 2.6. Фазовый портрет системы (2.10) для
v > ( L C ) ~ I/2.
Рис. 2.7. Фазовый портрет системы (2.10):
“ ) и<истац* б) v- vcJ3.n-
в) °>»стац-
= (0, |
Ui, U2), в |
которых |
I (и) обращается в нуль. |
||
Тип |
состояний |
равнове |
сия определяется видом кор ней Я1,2 характеристического уравнения
А.1,2— {— v (RC-hgoR) ±
±[v2(RC+g0L)2 +
+ 4 (1 -Р 2Т С )З Д 1/2}/2Х
X (1— v2LC), (2.11)
где g o = d I(и)/ди\и= 0, Uu2.
Из выражения (2.11) видно, что при выполнении неравенства v'lLC< 1 особые точки и = 0 и u=U2 являют ся седлами (для них go>0 и оба корня действительны и имеют разные знаки), а осо бая точка U1— неустойчи вый узел или фокус (в ней go<0 и оба корня имеют одинаковый знак).
При v2LC> 1, наоборот, точка U1— седло, а точки 0
иU2— узлы или фокусы. Качественный характер
фазовых портретов уравне ния (2.10) для обоих случа ев представлен на рис. 2.6, 2.7. Искомое решение пред ставляет собой распростра няющуюся вдоль линии вол ну переключения из состоя ния и — 0 в состояние u=U2
90
или обратно. Переход из и = 0 |
в 11=11% будем в даль |
|
нейшем называть п р я м ы м |
переключением |
линии, |
а из и = Ь \ в и = 0 — о б р а т н ы м . |
уравне |
|
Как следует из рис. 2.6, в случае vzLCl> 1 |
ние (2.10) не может иметь решений, соответствующих переходу системы из состояния и = 0 в состояние и =
=Uz или обратно, так как в этом случае особые точки
ы= 0 и u=U% лежат по разные стороны от сепаратри сы седла и = Uи Значит в линии не могут распростра
няться стационарные волны |
переключения |
со |
ско |
|
ростью o> (L C )”1'2, а лишь со скоростью v |
'(L C )-1/2. |
|||
Исследуем вначале свойства |
волн, распространяю |
|||
щихся со скоростью v<(LC) |
1,2 |
— «медленных» |
волн. |
Медленной волне на фазовой плоскости соответствует переход изображающей точки по сепаратрисе из од ного седла в другое (рис. 2.7,6). Волна имеет форму перепада с асимптотическим приближением и к вели чинам 0 и Uz.
Определим условия существования и форму мед ленной волны. Решить уравнение (2.10) при произ вольной функции I (и) аналитически невозможно, поэтому воспользуемся кусочно-линейной аппроксима цией функции 1 (и) (рис. 2.4) вида (2.7). Такая аппро ксимация позволяет легко найти аналитическое ре шение уравнения (2.10) и в то же время, как будет показано ниже, получить полное качественное описа ние процессов в линии и хорошие количественные сценки всех основных параметров волны *К
При принятой аппроксимации I(и) (2.10) превра
щается в линейное дифференциальное |
уравнение |
|
с решением |
вида |
|
_________ |
w(g) =А exp (Xi|) + В ехр (Я2е), |
(2.12) |
*) Аппроксимация с большим числом линейных отрезков дает лишь количественные поправки, ничего не добавляя качественно. Аппроксимация в виде гладкой функции I(и) =Ви(и—Ut)(u—U2), В = const была использована при численном решении данной за дачи на ЭВМ [63, 78]. Полученные решения качественно совпа дали с решениями при кусочно-линейной аппроксимации I (и).
91
где Xi,2 — корпи характеристического уравнения (2.11)
(при g = g0).
Для определения постоянных А и В необходимо задать очевидные граничные условия:
|
и = 0 при | |
u=U2 при I— )— оо |
|
||
для волны прямого переключения из 0 в 1)2 и |
|
||||
|
u=U2 при I— |
ц= 0 при £— Д) |
|
||
для волны обратного переключения из U2 в 0. Следо |
|||||
вательно, искомое решение, описывающее |
изменение |
||||
и от |
будет иметь вид |
|
|
|
|
|
1£/,ехр(Я2£) |
при ы < Д , (0 < |
£<С + |
°°), |
|
и (£) = | U2— (U2— t/,) exp (Я,£) |
при и > |
Ul |
|||
|
[ |
|
(0 > |
S > — оо) |
|
|
|
|
|
(2.13) |
|
для волны прямого переключения и |
|
|
|
||
|
1Д1ехр(Я,$) |
при « < Д Д 0 > £ > — оо), |
|||
и ( |
— | U2 — (U2 — U,) ехр (Яа£) |
при и > |
/7, |
||
|
I |
|
(0 < Д < + |
оо) |
|
|
|
|
|
(2.13а) |
|
для |
волны обратного переключения, |
где Яя |
соответ |
ствует знаку плюс перед квадратным корнем в фор муле (2.11), а А,2 — знаку минус и, кроме того, поло жено для простоты, что и= Ui при | = 0.
Как следует из (2.13) и (2.11), в полученных ре шениях остается неизвестной скорость распростране ния стационарной волны о. Для ее определения мы воспользуемся условием непрерывности тока i при u=U 1 или 1= 0.
Заметим, что это справедливо при условии конеч ности (ограниченности) dufd%, которое следует из не явно сделанного предположения о непрерывности и.
92
Необходимость непрерывности и не вытекает, вообще говоря, из уравнений линии, поэтому, делая это пред положение, мы возможно, теряем какие-то решения (2.10), содержащие скачки функции u(z, i). Ниже будет показано, что такие разрывные решения (2.10) существуют. Дальнейшее изложение касается лишь непрерывных решений (2.10).
Из уравнений (2.1) найдем выражение для ста ционарной волны тока в линии:
m = — {l — v*LC) (dufdt)— vLI(u).
Приравнивая значения i при |= 0 |
(или u=U\) для |
|
и < 0 1 и и> Uи получаем уравнение относительно у: |
||
—(1—i»2IC)A*tfi—vLh = |
|
|
= — (1—v*LC) {Ui— U i^i + vLh |
(2.14) |
|
для волны прямого переключения и |
|
|
— (1—v^LtykiUi—vLIi = |
|
|
= — (1—vzLC) (Ui—U2 ) Ад-ЬvLIz |
(2.14a) |
|
для волны обратного переключения, где |
значение |
|
функции I(и) при подходе к u —U1 |
слева (для u<.Ui), |
|
а /2 — значение при подходе к u = U1 справа |
(для и> |
>Ui).
Подставляя в (2.14) значения Ал,2 из (2.11), полу чаем окончательное уравнение для нахождения скоро
сти: |
|
М—yi~v (RC—gL) —[vz(RC+gL) + |
|
+ 4gR(l—v*LC) ]'/*, |
(2.15) |
где знак минус соответствует волне прямого переклю чения, а плюс — волне обратного переключения и па раметр А равен
А = 2 - 1= (5, — S2)/(S, + St), |
(2.16) |
где Si и S2 — соответственно площади треугольников О/1У1 и Vihvz (рис. 2.4).
93
Изменение параметра Л соответствует изменению величины тока смещения в линии, поэтому знак и ве личина А соответствуют знаку и величине энергии, рассеиваемой на нелинейном элементе. В соответствии с этим А может изменяться от значения Л = + 1, кото рому соответствует отсутствие в схеме тока смещения
исоответственно активной области (нелинейный эле мент только поглощает энергию сигнала), до значения А = — 1, которому соответствует величина тока сме щения, равная максимальному значению тока на вольт-амперной характеристике нелинейного элемента
иотсутствию пассивной области (нелинейный элемент
не поглощает энергии, а отдает ее сигнал). Значение А — 0 соответствует такому току смещения, при кото ром площади активной и пассивной областей равны (нелинейный элемент как поглощает энергию, так и отдает ее проходящему сигналу).
Из уравнения (2.15) вытекает одно важное следст вие, а именно: ни при каких значениях параметра А невозможно одновременное существование волн пря
мого и обратного переключения. Действительно, |
так |
|
как левая часть (2.15) всегда |
положительна (берет |
|
ся арифметическое значение |
корня), то волна |
пря |
мого переключения возможна, т. е. возможны дейст
вительные значения v соответственно |
неравенствам |
|
лишь при |
|
|
Л ^О , |
если v(RC—g L ) ^ . О, |
(2.16а) |
а волна обратного переключения при |
|
|
Л ^О , |
если v(RC—glL) ^ 0 . |
(2.166) |
Таким образом, в линии ни при каких значениях тока смещения невозможен стационарный импульсный сиг нал, состоящий из следующих одна за другой волн прямого и обратного переключения. После прохожде ния одной из стационарных волн переключения воз вращение в исходное состояние возможно лишь при изменении тока смещения или параметров линии.
94
Скорость распространения стационарной волны,
найденная из (2.15), |
равна |
|
|
1 f |
4A * R C / g L |
(2.17) |
|
L C 1 (1 — А 2) (1 — R C / g L ) 2 |
|||
|
Границами области существования стационарной волны, на которых v = (ЬС)~^2, являются соответст венно для волн прямого переключения кривые:
R C |
__ 1— А |
(2.18) |
||
g L |
1 |
А |
||
|
||||
для волн обратного переключения кривые |
|
|||
R C |
\ + А |
(2.18а) |
||
gL — 1- |
А- |
|||
|
||||
Условия (2.18) и (2.18а) |
совместно с (2.16а) и |
(2.166) позволяют полностью решить вопрос об обла стях существования волн прямого и обратного пере ключения, т. е. найти, при каких соотношениях пара метров линии и тока смещения возможен тот или иной стационарный сигнал. Эти области показаны на рис. 2.8 (области 1 и 2 существования стационарного сигнала прямого переключения заштрихованы гори зонтально, а области 3 и 4 стационарного сигнала об ратного переключения заштрихованы вертикально).
Отметим, что скорость распространения и области существования стационарных сигналов зависят лишь от одного обобщенного параметра линии RCifgL и то ка смещения, выраженного через величину А.
График зависимости скорости распространения стационарной волны прямого переключения от пара метров А и RC\/gL показан на рис. 2.9. Форма волны
напряжения определяется уравнениями |
(2.13), |
в кото |
|
рые нужно подставить значения |
kii2 из |
(2.11) |
и а из |
(2.17). Амплитуда стационарной |
волны |
всегда |
равна |
и %.
95
Для исследования структуры фронта волны, а так же определения его длительности рассмотрим вели чины А.1,2 и —1^ 1,2. Подставляя значения v из (2.17)
Рис. 2.8. Области суще |
Рис. 2.9. График зависи |
||
ствования волн |
прямого |
мости относительной ско |
|
и обратного |
переключе |
рости волны прямого пе |
|
ния (линия |
с |
низкоча |
реключения от парамет |
стотными потерями). |
ра А. |
-------- |
экспериментальная |
|
кривая. |
в выражение (2.11) и производя несложные алгебраи |
||||
ческие преобразования, |
получаем |
|
|
|
Я ,и = _ (^ )1 Д [1_Л2)1й/(1± р)]; |
(2.19) |
|||
- УА,,3 = 2 |
[В/( 1 i |
?) (1 |
+ 1/а)] |
(2 .20) |
(р = Л ( 1 + а ) /( 1 - а ) , |
а = |
RCjgL), |
|
где для А.1 надо взять знак плюс, а для к2 — знак ми нус. Значения параметра р лежат в пределах 1> р>0. На границе области существования, определяемой формулой (2.18), р=1. В соответствии с выражения ми (2.13) ширина фронта стационарной волны на
96
уровне (0,1 ... 0,9) Uz равна |
|
|
|
0,Ш2 |
? |
(2.21) |
|
U2—L't |
|||
|
|
||
а длительность ее фронта |
|
|
|
тф= А ? /р . |
|
(2.22) |
|
Видно, что ширина фронта A |
(Rg)~i/2 w |
почти |
|
не зависит от параметров линии L, |
С. График зависн |
ет 9
Рис. 2.10. График норми рованной зависимости ширины фронта стацио нарной волны прямого переключения от пара
метра А.
Рис. 2.11. График отно сительной зависимости длительности фронта стационарной волны пря мого переключения от
параметра А.
—----- экспериментальная кривая.
мости ширины фронта А| от тока смещения (парамет ра Л) показан на рис. 2.10, для граничных значений
7 -0 7 4 |
97 |
параметра а. Для других значений а соответствую щие значения Д£ лежат между этими двумя кривыми. Как видно из рис. 2.10, минимально возможная ши
рина фронта |
составляет |
величину Д£ппп = 3,2 (Rg)~m |
|
и достигается |
при А — 0, |
когда |
скорость распростра |
нения V---Я). |
|
волны |
пропорциональна от |
Длительность фронта |
ношению C/g, как и в большинстве импульсных устройств с дискретными туннельными диодами, и почти не зависит от параметров линии R, р, L.
На рис. 2.11 показана зависимость Тф от тока сме щения и параметра а. Как видно из этого рисунка, при фиксированных значениях атф достигает мини мальных значений при значениях параметров, соответ ствующих границе области существования стационар ных волн, причем значения тф тем меньше, чем боль ше |Л |. При А ——1 Тфтгп~2,3 C/g, что приблизителыю совпадает с значением времени переключения одновибратора на дискретном туннельном диоде. При уменьшении |Л| величина Тф заметно увеличивается, стремясь к бесконечности при А— >-0.
Как следует из (2.13), (2.19), (2.20), стационарная волна напряжения имеет симметричную форму толь
ко при |
Л = 0. |
По мере увеличения |
тока смещения |
|
(Л— >— |
1) основание (начальный |
участок) |
волны |
|
уменьшается, |
фронт становится круче и на |
границе |
области существования, определяемой формулой
(2.18), |
превращается в скачок напряжения от нуля |
|
до U1. |
Верхняя (большая) часть волны |
от Ui до U2 |
ведет |
себя по-разному, в зависимости |
от того, рас |
сматриваем ли мы профиль волны в пространстве или изменение напряжения во времени. В первом случае верхняя часть волны растягивается по мере увеличе ния |Л | , а во втором случае, наоборот, сжимается, достигая наименьшего значения на границе. Характер изменения формы волны напряжения показан на рис. 2.12.
98
Асимметрия фронта волны связана с использова нием кусочно-линейной аппроксимации /(«). Правиль
но |
отражая |
основное |
свойство системы — тенденцию |
к |
появлению |
разрыва |
при стремлении параметров |
к границе области существования стационарной вол ны, такая аппроксимация не позволяет точно описать
Рис. 2.12. Форма стационарных воли напряжения и тока.
ее форму при значениях параметров, далеких от грани цы. В реальных линиях с туннельными диодами, как показывают численный расчет и эксперименты, в этом случае волна всегда имеет форму, близкую к симмет ричной, даже при весьма больших значениях тока смещения.
Сравнение теоретических и экспериментальных данных (см. кривые рис. 2.9, 2.11) показывает, что формулы (2.17), (2.19) — (2.22) могут с успехом ис пользоваться для практических расчетов параметров стационарной волны в линиях с туннельными диода ми, если вместо постоянных А и g в них подставить
7* |
99 |