книги из ГПНТБ / Богатырев Ю.К. Импульсные устройства с нелинейными распределенными параметрами

Это особые случаи. Действительно, если предста­ вить скачок параметра в виде перепада конечной дли-

то на нем всегда будет точка, двигающаяся со скоро­ стью v = vp. Особенность такой точки в первом случае (4.8) заключается в том, что все отраженные волны как до, так и после нее могут лишь удаляться от нее и, следовательно, процессы слева от этой точки (об­ ласть 1) не связаны с процессами справа от нее (об­ ласть 2) (рис. 4.3,а). Поэтому для корректного реше­ ния задачи о преобразовании импульса на скачке параметра нужно дополнительное условие, учитывавд-

180

щее отмеченную выше особенность. Это условие сво­ дится к заданию величин L и С в точке v = vv. Опуская несложные промежуточные преобразования, получим формулы, аналогичные (4.6), (4.7):

Во втором случае (4.8«) импульс u+i(z, t), бегущий навстречу и взаимодействующий со скачком параме­ тра, порождает также лишь один прошедший импульс u \(z , t). Значит существует только одна неизвестная величина, для определения которой имеются два урав­ нения граничных условий (4.3). Задача становится неоднозначной и неопределенной.

Причина неоднозначности заключается также в особенности точки v = vp, которая теперь является не «отталкивающей», а «группирующей» отраженные от скачка импульсы как из области 1, так и из области 2 (рис. 4.3,6). Плотность энергии в этой точке неогра­ ниченно возрастает, а потому конечное стационарное решение (перепад конечной величины) удовлетворяю­ щее граничному условию (4.3), здесь не существует, а сами равенства (4.3) становятся неприемлемыми. Необходимо учитывать дополнительные факторы в ис­ ходных уравнениях (нелинейность, дисперсию и т. п.). Так, учет нелинейности, обусловливающей зависимость

181

преобразуемого сигнала от скорости распространения скачка параметра, в простейшем случае приводит к задаче о взаимодействии сигнала с фронтом ста­ ционарной ударной волны. Для электромагнитных волн в неограниченной нелинейной среде эта задача решена методом возмущений в работе [92]. Результаты этой работы без труда распространяются и на рассма­ триваемый нами случай волн в линии передачи с нели­ нейными параметрами. В конечном итоге формулы, характеризующие изменение амплитуды и длительно­ сти преобразованного импульса, имеют вид

Из них следует, например, если индуктивность линии L(z, t) под действием перепада волны накачки изме­ нится (уменьшится) в 100 раз (что для ферромагнит­ ных сред достигается без особых трудностей), а ем­ кость останется той же самой, то амплитуда прошед­ шего импульса станет равной U+z~ (U0p2/pi) (Li/4L2) ^

уменьшится в 5 раз. При увеличении индуктивности

(4.10) верны до тех пор, пока длительность преобра­ зуемого импульса значительно больше длительности перепада волны накачки. В противном случае необхо­ димо знать и учитывать структуру этого перепада.

Учет слабой пространственной (или частотной) дис­ персии значительно усложняет проведенное рассмо­ трение (необходимо учитывать начальные условия, дисперсионные зависимости линий и т. и.). Качест­ венно картина при этом, однако, полностью сохранит­

182

ся, а количественные оценки практически изменятся незначительно. Что же касается линий с сильной дис­ персией, то они практически непригодны для параме­ трического преобразования коротких импульсов.

Нелинейные эффекты. В общем случае учет влияния нелинейности элементов линии на процесс параметри­ ческого преобразования импульсов приводит к чрезвы­ чайно сложной нелинейной задаче, решение которой аналитическими методами не представляется возмож­ ным. Поэтому с самого начала максимально упростим эту задачу, поставив своей целью выяснение наиболее характерных эффектов, связанных с нелинейностью элементов. Будем по-прежнему считать, что дисперсия и диссипативные потери в системе отсутствуют. Систе­ ма содержит две полуограниченные нелинейные линии, например с индуктивной связью *>. Погонная емкость— линейная, а индуктивность имеет нелинейную квазистатическую связь с током линии. Этот случай рас­

форму прямоугольного импульса тока i(2) длительно­ стью (и0 и распространяется в линии со скоростью Vi<vp. Таким образом, спустя некоторое время сигнал

в i±(2), которое будет линейным до тех пор, пока маг­ нитное поле в катушке Uz\ создаваемое током сигна­ ла, будет много меньше магнитного поля в катушке И 1\ создаваемого током накачки, т. е. пока выполня­ ется неравенство №wl= №w2, (где хю\,2— соответствен­ но число витков катушек индуктивностей LW и № ).

*> Взаимная электромагнитная связь между линиями пред­ полагается компенсированной, что достигается, например, спосо­ бом, описанным в § 4.5 (см. рис. 4.10).

183

В этом случае (аналогичном (4.66)]

; + (2) __ ;(2) Pi Ч~ Рг 1 — (vt / vi)

2Рг 1— (Щ/иг) ’

Предположим далее, что отношение <§ +(2)/ <§ _(2)<С1, поэтому отраженный импульс в первом приближении можно не принимать во внимание. В этом случае <g+(2>«: (§2^ио/^и2+, а энергия <§+<2> преобразованного импульса Ж2> существенно превышает энергию <§2 входного импульса. Разница энергий Л<§ = <§+(2)— <§2, естественно, отбирается у управляющего сигнала /(1) и

потому уменьшает его амплитуду. Уменьшение ампли­ туды происходит в течение времени взаимодействия импульса с фронтом скачка параметра, равного ^и+(2) (рис. 4.4). Так как потери в системе отсутствуют, то энергия Л<§1, «перекачанная» из управляющего сиг­ нала, равна энергии Л<§2, приобретенной преобразуе­ мым импульсом. Из равенства A<gi = Л<§2= <§г(Х—1) легко определить изменение амплитуды управляющего сигнала £(1), где Х=^ио/^и2+ — коэффициент преобразо­ вания длительности исходного импульса.

184

По мере увеличения /(2) амплитуда Ж2) будет так­ же возрастать, a Ж уменьшаться, поэтому условия линейного рассмотрения задачи можно приближенно считать выполненными лишь до тех пор, пока напря­ женности магнитных полей в катушках Li и L%не ста­ нут равными (izWz = iiWi) . При этом наступает насы­ щение амплитуды преобразуемого импульса Ж2>и па­ раметрические процессы перекачки энергии из первой линии во вторую прекратятся. Величина тока насы­ щения при этом равна

(4.12)

где А0=г pj2) w\ /Pj(1> w\ ^ const.

Из (4.11), (4.12) можно найти коэффициент вре­ менной трансформации

К=[Ао2+ (1 + Ап) (i^wL/ i W p * ) ^ / 2 ( l + A 0),

откуда видно, что при увеличении тока г(2) (№ = const) К уменьшается, а длительность входного импульса увеличивается. Значение входного сигнала начи­ ная с которой наступает насыщение и, следовательно, нарушаются условия линейного приближения, будет равно /(2) = Ж2)/р*/(0, где Ко— коэффициент временного преобразования длительности импульса в линейном режиме работы линии, а величина р*= (рг(2)— —pi(2))/2p2(2).

Естественно, что в режиме насыщения коэффици­ енты временного и амплитудного преобразования бу­ дут изменяться. Однако пределы изменения амплиту­ ды преобразованного импульса гг+(2) будут конечны и

Это значит, что пр_и изменении амплитуды входно­ го сигнала в р*/Со V 2 раз амплитуда выходного сиг­

185

нала в режиме насыщения будет в лучшем случае ме­

няться не более чем в V 2 раз, т. е. практически оставаться постоянной, что, по существу, соответст­ вует режиму ограничения амплитуды входного им­ пульса.

Таким образом, простейший качественный анализ распределенной нелинейно-параметрической системы показал, что помимо параметрических эффектов из­ менения длительности и энергии преобразуемых сиг­ налов, предсказываемых линейной теорией, при опре­ деленных условиях возможны и нелинейные эффекты: а) насыщение и ограничение амплитуды преобразуе­ мого импульса; б) ограничение амплитуды управляю­ щего перепада; в) специфическое амплитудно-времен­ ное преобразование импульсов переменной амплитуды и постоянной длительности в импульсы с постоянной амплитудой и переменной (изменяющейся по извест­ ному закону) длительностью *\

4.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В КЛЮЧЕВЫХ ЛИНИЯХ

Определенный практический интерес представля­ ют волновые системы, в которых быстрое изменение реактивных параметров, необходимое для эффектив­ ного преобразования спектра видеоимпульсных сигна­ лов, достигается путем подключения (или отключения) дополнительных реактивных элементов с помощью переключающих (ключевых) устройств [10, 90]. Клю­ чевые устройства обладают потерями, и, несмотря на то, что эти потери, как привило, малы, когда ключи находятся в стационарном состоянии (вдали от скач­ ка), влияние их необходимо учитывать при работе ключей (т. е. в области скачка параметров). Это зна­ чит, что необходимо учитывать дополнительный ток,

*> Эти эффекты, естественно, присущи и линиям с нелинейной емкостной связью.

180

появляющийся в области скачка при включении, пли изменение энергии волны при отключении активных элементов ключевых устройств. Граничные условия (4.3), полученные для линий передачи без потерь, ока­ зываются здесь несправедливыми, поэтому процессы в таких волновых системах требуют особого рассмо­ трения.

В общем случае с помощью ключей можно скачко­ образно изменять как погонную индуктивность, так п

X

Рис. 4.5. Эквивалентные схемы ключевых параметрических линии:

а) с переключаемой емкостью; б) с переключаемой индуктивностью.

погонную емкость линии (рис. 45). Однако последнее оказывается более удобным из конструктивных сооб­ ражений, поэтому в качестве примера рассмотрим линию, эквивалентная схема которой изображена на рис. 4.5,о. Если внутреннее сопротивление R при включении и выключении ключа Кл быстро изменяет­ ся от малой до большой величины (в идеальном слу­ чае от 0 до оо), то общая емкость линии уменьшится на величину С* или увеличится на ту же самую ве­ личину, если R примет прежнее значение. Как в том, так и в другом случаях в линии имеет место скачок реактивного параметра. Этот скачок может передви­ гаться вдоль линии, когда ключи последовательно переключаются с определенной скоростью, или мгпо-

187

tiemito с областью характерного изменения величин I и и вне этой области. Однако имеется особенность, связанная с изменением величины R, т. е. с диссипа­ цией энергии в линии. Действительно, интегрируя пер­ вые два уравнения (4.13), получаем

/2-/1 = vpC(Uг— U0 + ОрС* (U2* ~ Ui*).

(4.156)

Что же касается третьего уравнения (4.13), то оно специфично для линии с потерями и его интегрирова­ ние не приводит непосредственно к соотношению типа

(4.15а), (4.156), а дает [90]

А

Конечный результат получается, если сделать следую­ щие предположения: пусть сначала величина R всюду не равна пулю. Тогда при ширине фронта перепада, стремящейся к нулю (А— ИЗ), правая часть равенства (4.16) равна нулю, так как и* и и — конечные величи­ ны и из (4.15а), (4.156) следует непрерывность зна­ чений напряжений и токов на скачке:

от бесконечности до конечного значения) искомые на­ пряжения и токи непрерывны. Это значит, что измене­ ние и и i не может произойти быстрее, чем за время заряда емкости С*, определяемое постоянной времени

C*Rmin-

Для получения простых расчетных соотношений большой практический интерес представляет, однако, случай идеальных ключей, когда значение R = Ri на­

189