книги из ГПНТБ / Богатырев Ю.К. Импульсные устройства с нелинейными распределенными параметрами
.pdfамплитуда U и параметр Q (U) которой медленно из меняются во времени (а следовательно, и вдоль ли нии) за счет малых потерь.
Для определения зависимости U (т) можно перейти от (5.11) к еще более простому укороченному уравне нию, следуя приему, примененному, например, в § 1.3 для нахождения закона изменения амплитуды негар монического колебания за фронтом ударной волны, или используя метод усреднения по квазистационарным несинусоидальным волнам, описанный в работе
[ 101].
Здесь для получения укороченного уравнения отно сительно U (т) используем иной, более простой, под ход, исходя из энергетических соотношений, справед ливых для рассматриваемой системы, т. е. из уравне ний энергетического баланса системы. Действительно, при распространении уединенного импульса вдоль ли нии поток энергии через ее звено равен мощности, по глощенной при переходе. Следовательно, имеет место равенство
д_ |
(ui) |
_ Q' (д) |
ди2 . I 0 |
di2 |
Ri2-j- ri |
d 2Q |
дп |
2 |
1 Г ' ~ 2 |
дГ |
dndt ’ |
||
|
|
|
|
|
|
(5.12) |
адекватное уравнению энергетического баланса систе мы. Используя приближенное соотношение между на пряжением и током в линии и ~ pot, сведем (5.12) для квадратичной зависимости Q(u) к уравнению относи тельно только переменной и(п, t). Далее, подставим вместо и(п, t) выражения для уединенной волны (5.10а) и проинтегрируем каждый член уравнения поп в интервале, равном пространственной длительности уединенного импульса. На уровне отсчета по основа нию импульса его ширина и, следовательно, интервал интегрирования изменяются в пределах —о о < п < + оо.
В результате после несложных упрощающих преоб-
230
разований получим равенство
~ г< и -щг (с°и ~ D iU 2) >
+ 00
(где < ( ...) > = | (...)dn). После вычисления [с уче
—00
том (5.10а)] интегралов оно запишется в виде нели нейного дифференциального уравнения первого по рядка:
Это уравнение и его решение
(5.13)
H0=const = U (t—О) совпадают с полученными в [103], где аналогичная задача рассмотрена методом мало го параметра. Естественно, что в реальных ограничен ных системах длительность импульсов и, следователь но, интервал интегрирования также ограничены, однако для удобства вычислений с достаточной для практики точностью их можно считать бесконечно большими.
Таким образом, в линии с малыми потерями будет распространяться волна в виде затухающего уединен ного импульса, амплитуда которого изменяется по за кону (5.13).
Интересно отметить, что для уединенного импульса затухание, обусловленное низкочастотными и высоко частотными потерями, имеет различную закономер-
16* |
231 |
ность. Так, если г = О, а ЯфО, то изменение амплиту ды импульса происходит по экспоненциальному за кону
причем быстрее, чем у такого же импульса в линей ной линии без дисперсии. Если же г ф О, а ^ = 0, то
U(t) |
\6rvlDIU0 |
1 |
|
||
15 |
|
|
|
|
Затухание волны происходит по другому закону, со гласно которому по истечению достаточно большого промежутка времени дальнейшее изменение амплиту ды импульса не зависит от ее начального значения U0 и определяется только параметрами линии и нелиней ности U(t) ~ (rv02DiU) [103].
Влияние неоднородности. Когда нелинейная ем кость звена линии медленно меняется вдоль продоль ной координаты, то квазистационарной волной в ли нии будет по-прежнему уединенная волна (импульс). Амплитуда импульса при этом медленно изменяется, например, вдоль линии без потерь по закону [103]
U («) = AD1/ 3 (п)!С0(п) (Д = const),
который нетрудно вычислить, используя метод усред нения или условия сохранения энергии уединенной волны.
Проведенное рассмотрение позволяет сделать важ ный для дальнейшего вывод: в линии передачи с нели нейными реактивными параметрами, слабой прост ранственной дисперсией, неоднородностью и малыми потерями может существовать и распространяться квазистационарная волна в форме одиночного импуль са с медленно меняющейся скоростью распростране ния (а следовательно, амплитудой и длительностью). Критерий малости соответствующих параметров при
232
этом имеет вид
Я/ро< 3 (2/d0) |
г/р0< |
0,05 (do) |
др/дп <С 0,01р0 (do)3/2, |
||
где d0—2DiU/Со. |
|
импульсов. Процесс |
Взаимодействие уединенных |
взаимодействия между собой импульсов, имеющих форму уединенных волн (солитонов), в нелинейной линии весьма интересен и своеобразен. Теоретический анализ этого процесса достаточно сложен, поэтому ограничимся здесь его качественным описанием. Прежде всего отметим, что из законов сохранения энергии следует, что параметры уединенных импульсов остаются одинаковыми до и после взаимодействия [114]. Однако сам процесс взаимодействия может про исходить качественно различным образом в зависимо сти от вида взаимодействия (попутное или встречное) и от соотношения между амплитудами взаимодейст вующих импульсов.
Наиболее интересен случай попутного взаимодей ствия распространяющихся в одном и том же направ лении уединенных импульсов, имеющих разную амп литуду и, следовательно, скорость. В отличие от срав нительно кратковременного встречного, попутное взаимодействие длится большее время и его картина существенно отличается от суперпозиции уединенных импульсов ввиду взаимного обмена энергией между ними. Теоретический анализ, проведенный в [115], по казал, что если уединенный импульс, например с амп литудой и и догоняет другой, с амплитудой U2 (Ui>' >U2), то процесс взаимодействия между ними будет происходить качественно различным образом в зави симости от соотношения их амплитуд UifUz. Так, при Ul/U2>2,62 картина взаимодействия следующая: пер вый уединенный импульс догоняет второй, а затем они сливаются, образуя один нестационарный импульс, ко торый в дальнейшем распадается на два исходных им
233
пульса с амплитудами Ui и U2. При этом импульс с амплитудой {Д оказывается теперь уже впереди (т. е. «обгоняет» первый) и продолжает самостоятельное движение, удаляясь от импульса с амплитудой U2. Если же Ui/U2<2,62, то взаимодействие происходит иначе: первый импульс с амплитудой Ui>U2 догоняет второй и по мере приближения к второму его ампли туда Ui начинает уменьшаться, а амплитуда первого импульса U2 возрастать. В некоторый момент времени амплитуды импульсов выравниваются, после чего им пульс, движущийся впереди, продолжая расти по амп литуде, удаляется от первого, получив часть его энер гии. Слияния импульсов (и следовательно, «обгона») здесь не происходит. В результате такого своеобраз ного обмена энергией (обменного взаимодействия) амплитуды импульсов как бы меняются местами. Пер вый уменьшается по амплитуде с Ui до U2, а второй наоборот, с U2 до Ui. Механизм такого своеобразного взаимодействия уединенных импульсов физически не трудно объяснить, если рассмотреть его как парамет рический процесс [103]. Действительно, электрическое ноле каждого импульса, изменяя величину скорости участка линии, на котором он располагается, совер шает некоторую работу над полем другого импульса. Эта работа положительна на участке фронта импульса (где dC/dt<0) и отрицательна на срезе (где дС/сД>0). При встречном движении импульсов эта работа в те чение всего процесса взаимодействия для обоих уеди ненных импульсов имеет одинаковые знаки, поэтому обмена энергией практически не происходит. При по путном движении спад первого импульса перекрывает ся фронтом второго: импульсы совершают друг над другом работу разных знаков, в результате происходит перекачка энергии в импульс, движущийся впереди.
Описанное наглядно иллюстрируют осциллограм мы, приведенные на рис. 5.4,а, б. На рис. 5.4,а показа но попутное взаимодействие уединенных импульсов
234
мых импульсов. Кроме того, невелика и абсолютная величина амплитуды волны накачки, поэтому парамет рическое изменение погонной емкости резонатора мало и резонатор можно считать слабонестационарной вол новой системой по отношению к генерируемым им пульсам, а форму импульсов — близкой к форме уеди ненных импульсов*). Поэтому параметрическую гене рацию импульсов можно приближенно рассматривать как процесс непрерывного взаимодействия волны на качки с уединенным импульсом. Такой подход позво ляет провести достаточно полный анализ различных режимов работы параметрического генератора, а так же получить расчетные соотношения с достаточной для практических целей точностью (104, 105].
Предположим, что резонатор генератора имеет не ограниченную длину или кольцевую форму. Вдоль ре зонатора (линии) распространяются уединенный им пульс и волна накачки. Волна накачки слабо изменяет параметры линии, поэтому уединенный импульс имеет вид (5.10а) и приближенно описывается уравнением (5.11). В этом случае закон изменения амплитуды им пульса во времени можно определять, так же, как ранее, путем сведения уравнения энергетического ба ланса системы к укороченному уравнению и его реше нию. Однако прежде чем перейти к исследованию уко роченного уравнения, необходимо задать закон изме нения сигнала накачки (волны параметра) и написать уравнение связи между накачкой и импульсом.
Пусть волна накачки изменяет погонную емкость резонатора по гармоническому закону, что практиче
ски вполне осуществимо: |
|
|
(5.14) |
|
С(п, |
t) = С 0[1 + 2т cos k(n—уп£)], |
|||
где m — Cif2C0, |
к = 2л/Хи |
(v„ и |
31н— соответственно, |
|
скорость и длина волны |
накачки, |
причем vu, Хп — по- |
*> Это тем более справедливо, чем больше отношение периода волны накачки к длительности импульса.
236
стоянные величины). Далее предположим, что измене ние емкости С(п, I) во времени и пространстве доста точно медленное (период волны накачки много больше длительности импульса, такой, что выполняются нера венства сон^и^Зд; 2nDiU/mC0) , поэтому параметриче ский обмен энергией между накачкой и импульсом происходит в основном на небольшом (по сравнению с периодом) участке волны накачки, равном длитель ности уединенного импульса. Кроме того, полагаем, что глубина модуляции нелинейной емкости волной накачки незначительна (параметр т<^1). В этом слу чае уравнения линии, написанные относительно напря жения и(п, t) и тока i(n, t) волны уединенного им пульса, с учетом изменения емкости волной накачки будут иметь вид
(5.15)
Уравнения (5.15) являются приближенными, по скольку непосредственно не учитывают, на первый взгляд, нелинейность емкостного параметра линии и пространственную дисперсию. Тем не менее, такая запись уравнений вполне допустима, так как система (5.15) записана относительно уединенной волны (им пульса), несущей в себе информацию и о влиянии не линейности, и о влиянии дисперсии линии.
Умножив первое из уравнений системы (5.15) на и, а второе на i, сложив их и проделав некоторые про стые преобразования, получим уравнение для потока энергии в линии, создаваемого уединенным импульсом (уравнение энергетического баланса):
(5.16)
237
В этом уравнении первый член правой части харак теризует изменение энергии волны в энергоемких (ре активных) элементах линии; второй — мощность по терь на сопротивлении R, а последний — мощность, затрачиваемую волной накачки на параметрическую перекачку энергии из накачки в уединенный импульс.
Заменим в уравнении энергетического баланса ток
на напряжение, используя |
равенство i= u/po [ро2 |
= |
= L0/C(/)], и подставим в |
него выражение для и |
= |
= t/(*I).sch2[Q([/) (п— J vdt)]. Затем, интегрируя (5.16)
по координате п, на участке длины линии, много боль шем пространственной ширины импульса *1, получим уравнение, описывающее изменение амплитуды им пульса U(t) при его распространении вдоль линии в заданном поле волны накачки. Это уравнение имеет вид
(5.17)
В процессе распространения между волной накач ки и импульсом происходит параметрическое взаимо действие, в результате которого не только амплитуда импульса U(t), но и фаза ф=k(n—vHt), определяющая положение импульса относительно волны накачки (рис. 5.5), медленно изменяются во времени. При этом скорость движения импульса относительно скорости распространения волны накачки определяется произ водной
а абсолютная скорость распространения импульса v выражением (5.8), в котором параметр v0 будет теперь не постоянным, а зависящим от значения емкости
*> Практически, в этом случае пределы интегрирования удоб нее брать равными ±оо.
238
в месте расположения импульса, т. е. от фазы <р:
° = ”• « ( ' — |
й « ( 1 + 4 - г) • <5-19> |
где ",(rt = |i.C(T)rl,!.
Таким образом, равенство (5.18) можно рассматри вать как кинематическое уравнение связи между вза имодействующими квазиуединенным импульсом и на качкой. В целом уравнение (5.18) совместно с (5.17)
Рис. 5.5. Положение импульса на волне сигнала накачки:
-------- волна накачки; ------- |
волна параметра. |
образует систему, описывающую в первом приближе нии процессы параметрического взаимодействия квазистационарных импульсных колебаний с волной на качки. Эту систему можно незначительно упростить. Подставляя в (5.17), (5.19) выражения для С(ф) и ц(ср) соответственно равенствам (5.14), (5.19) и учи тывая, что изменение емкости волной накачки мало (параметры т\ m cosqx^l), в окончательном виде по лучим систему уравнений [104]
dAJdx= ---- 1- (т sin <р+ ^)71; |
(5.20) |
rfcp/rfx — А — mcos<p — Д, |
(5.21) |
где A=DiU/3C0— безразмерная амплитуда |
импульса; |
T = kvHt = wnt — безразмерное время; Д - = ( у„/уо) —1 —
239