Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Суровцев Ю.А. Амортизация радиоэлектронной аппаратуры

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

8.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

действующими в плоскости, перпендикулярной оси 1 (положительное направление действия сил показано на рис. 4.1).

Поскольку система имеет две плоскости симметрии, то ее колебания в направлении оси У будут несвязанны ми, а линейные колебания вдоль оси X и вращательные колебания около оси Z будут связанными, поэтому уравне ния могут быть записаны в

виде

				iny + 4kvy = Fv sin Ш;			(4.1)
				mx + 4kx(x—act) =FXcos			Qt\
Рис. 4.1. Система		амортиза					(4.2)
				Jza—4kxax+4kxaza+4kyb2a=
ции с четырьмя амортизато
рами, возбуждаемая гармо				=	—FxecosQt.		(4.3)
ническими	силами	Fx,	Fy	В уравнении (4.3)		не	учте
в плоскости		XY.
				ны связи, возникающие в ре
зультате	боковых		деформаций		амортизаторов.		Пол
ное решение системы				уравнений	(4.1) —(4.3)	содержит

члены, выражающие как переходные, так и установив шиеся колебания. Однако в реальных системах всегда присутствует некоторое демпфирование, поэтому переход ными колебаниями можно пренебречь.

Амплитуда линейных колебаний в направлении						У по
лучается	непосредственно		из	решения	уравнения	(4.1):
		yo=Fy/4ky	(1 —Q2 m/4£y )		=
		= Fv/4kv (1 —Щц>\)		=FV (y'o) /4kv,
где (fit y	=	T/fey//n — угловая		частота	собственных ко
лебаний	в	направлении	оси	У; ky — жесткость		одного

амортизатора в направлении оси У;

Из уравнений (4.2) и (4.3) следует, что линейные колебания в направлении оси X и вращательные коле бания около оси Z не могут существовать независимо. Эти формы колебаний связаны, и выражения для соот ветствующих амплитуд перемещения могут быть полу-

чеиы

только

при

одновременном

решении

уравнении

движения

{Аа2кх -f- 4b-ky — Amkx

— / г

2 2

(4.4)

OT/ZS'

— 4(Jxkx

+ ma2kx +

mb2ky) 2 2

+ m2kxkv'

F B

( / / Z E 2 2

— 4е^ я +

4flfea)

(4.5)

: /n/,Q'1 — 4 (Jtkx

+ / и а г А я

/716%) 2=+ 1 6 6 % V

где

Jz = mp — момент

инерции;

рг

— радиус

инерции от

носительно оси 2.

После несложных

преобразований

уравнения (4.4) и

(4.5)

могут быть записаны в виде

х д 2

6 а

"72"

„2

(4.6)

4/е„

2 2

, хб 2

J 5 " - * + - Г + - Г — + PZ

e22

\ 1 T

Р*ш,>

~p7

(4.7)

4 p z £ H

х б 2

L 4 '

где

[ =

4kxlm;

Aky/m;

v.=kxlky — отношение ко

эффициентов жесткости амортизаторов в осевом и по

перечном направлениях.

Перемещение амортизаторов в вертикальном направ лении будет

8у=уо sin Qt+bao cos Ш,

соответствующая горизонтальная составляющая переме щения амортизатора будет

8х=(хо—аа0) cos Ш.

Кинематическое возбуждение. Колебания системы амортизации, показанной на рис. 4.1, возникают в ре зультате движения основания. Система имеет те же усло вия симметрии и те же направления главных упругих осей и осей инерции, что и в предыдущем случае. Счита ется, что основание совершает колебательные движения как в вертикальном, так и в горизонтальном направле нии с общей частотой, вращательные колебания отсут ствуют.

6—391

Система может быть описана следующими дифференцнальными уравненнями:

ту = Щ (s — у);	(4.8)
mx — 4:kx(u — Л'-f-aa);	(4.9)
Jza ~4akx (и — х - j - ах) — 4kyb2a.	(4.10)

Уравнение (4.10) не учитывает моменты, возникаю щие в результате боковых перемещений амортизаторов. Так как система симметрична, то движение амортизи рованного объекта вдоль оси У не связано с движения ми по другим координатам, т. е. колебания по оси У могут существовать независимо и одновременно с коле баниями по другим координатам. Решение уравнения (4.8) имеет вид

		и —		s°
			(I — Q2/co5)
где	Шу — круговая	частота собственных							колебаний		в на
правлении оси У.					х0
Выражения для колебаний					х0	и ао получаются из со
вместного решения уравнений					(4.9)		и (4.10):
г	_	4д. ( 4 Ь » М и - W )								,	. . .
0	— т!г& — 4 (та*кх		+	mb*ky	+ Jzkx)		Q2	+	I Qb*kxkv	'	^-ll>
			4makxQ?u0							.	. ~
a°	mJjQ* — 4 (ma2kx		+ mb2ky		+ Jtkx)		2 2	+	I6b2kxky	' ^	>
Выражения (4.7) и (4.8) после несложных преобра
зований удобнее записать в виде
				/ б 2	2 2	\
		/ х а 2		Ьг		\ 2 2			хЬ2	(4.13)
		/ х а 2		Ьг		\ 2 2			хЬ2
	и	( „2 + „2 - + х				) ,.2 + „2
	и	V	P Z	Pz		/	%		Pz
			х д 2 2			"о	\
			Р*<4			Р*	/			(4.14)
	2*		Р*<4			\ 2 г		, хб2		(4.14)
	2*	, х я 2		, б2		\ 2 г		, хб2
									Рг
где	<n_ = 4kxjm;	u>y — Akyjm.

Теперь можно определить амплитуду колебаний в любой точке амортизированного блока, например в точ ке А (рис. 4.1), координаты которой аА и ЬА. Верти кальная и горизонтальная составляющие перемещения точки

уА — у + ЬАа, хА = х + аАа.

(4.15)

Так как решение уравнений рассматриваемой системы отыскивается в синусоидальной форме, т. е. принимает ся, что

x=A'osin (QH-ip.x-)'> y = y0s'm (Qt + tyy); a = a0 sin (Qt+ Фа),

то уравнения (4.15) могут быть записаны в виде

yA = y0s'm	(Ш + уи) -fftA'aosin	(Q/ +	Фа);	(4.16)
xA=x0sin	(Qt+tyx)—aAaos\n	(Qt+	фа ).

Предполагается, что для фазовых углов справедливо соотношение т|).г-= Фа = 0 и -ф^=чр, поэтому максимальные значения перемещения из уравнения (4.16) можно запи сать в виде

(уА)о=v^o+(W+2^a»yocost;							( 4 - 1 7 )
		(хА)	о=Хо—а А схо-
Очевидно, что	максимальная			величина		вертикально
го перемещения уА	является функцией				фазового		угла \\>
между вертикальной		и	горизонтальной		составляющими
движения основания.
Следует отметить, что на величины уА						и хА	влияют
знаки координат аА	и ЬА.
5. Частоты собственных колебаний систем						амортизации
с двумя		плоскостями		симметрии
Частоты собственных			колебаний недемпфированной
системы с двумя плоскостями симметрии						определяются
из условия, что перемещения ее				колебаний Хо и			а0 при

этом обращаются в бесконечность. Это требование мо

жет быть соблюдено, если знаменатели	в	выражениях
для х0 (уравнения (4.6), (4.13)) и для	а0	(уравнения


(4.7), (4.14)), которые во всех четырех				с л у ч а я х	явля
ю т с я о д и н а к о в ы м и , б у д у т у д о в л е т в о р я т ь р а в е н с т в у
а*/»;	- М 7 р * + Ь*/Р\ - f x ) (Q'/i )-№/Р\			= о-
Э т о в ы р а ж е н и е		является	к в а д р а т н ы м у р а в н е н и е м от
носительн о	£22/<в21/, корни которог о
	(шс /шу )2 = 0,5 [к (1 + а?1?1) + &7р* Н -
±	] / " [ x ( l + a 7 P ; ) +		6 7 p 2 / - 4 x 6 7 P 2 j	l ,	(4.18)
г д е шс — частота		с в я з а н н ы х	собственны х	к о л е б а н и й .

Рис. 4.2. График отношения связанной частоты соб ственных колебаний шс к несвязанной частоте собствен ных колебаний со„ в 'зависимости от безразмерного

отношения жесткостей K=kxlkv.

После преобразования уравнение (4.18) можно запи сать в виде

WcPz/myb = (1 / у ~ 2 ) (к?1 (1 +	а*[?\) /б3 +	1 ±
	4х?.	1/2
У +	1	(4.19)
У +	1

Две связанные частоты собственных колебаний сос теперь могут быть определены через несвязанную часто


ту собственных колебаний о)у							в виде	функции	аргумен
тов a, b, pz и безразмерного					отноше
ния жесткостей			% = kx/kv.		Такая за			+ fi	+
висимость частот собственных							коле
баний	позволяет		представить			ее гра		J!*		«о
фически		в виде	семейства			кривых
(рис. 4.2).								+ \кУ	А
Приведенный			анализ дает				воз	ъ
можность		определить		частоты			соб	Рис. 4.3.	Схема	рас
ственных		колебаний,		возникающих
вдоль	оси У и в плоскости симметрии							положения	амортиза
								торов в четырех		ниж
XY. Связанные			собственные				коле	них углах объекта.
бания	в плоскости XY могут						быть
найдены		аналогично. Таким				образом		определяют		пять

из шести частот собственных колебаний, остается неизве стной частота вращательных собственных колебаний от носительно оси Y.

Обозначим расстояние от амортизаторов до главных плоскостей инерции через Ь, с (рис. 4.3), а жесткости амортизаторов в направлении осей Л', Z—соответствен но через kx и kx. Дифференциальное уравнение движе ния для этого случая имеет вид

/„р == - 4|362Ь - 4$czkx.

Решение этого уравнения может быть записано в ви

де

(5=Л sinto^ +В cos uy?,

где А и В зависят от начальных условий, а частота вра щательных собственных колебаний относительно оси У равна

ш;=2у~(ь*к;+сгкх)/1у.

			Если kx—kz=Yiklh				то	послед
		нее выражение может быть пре
		образовано				к виду
				со,,			У
				шу	=
	Ь,	где				У4/г у /т .
			На практике иногда не удает

Рис. 4.4.	Схема располо	ся	получить			симметричное			распо
		ложение			амортизаторов,				тогда
жения	амортизаторов
в четырех нижних углах		в общем случае получается							систе
блока	несимметрично	ма	амортизации,				изображенная
относительно координат		на рис. 4.4. Если жесткости							амор
ных осей.		тизаторов в направлении оси У
		пропорциональны					статической			на
грузке, то система удовлетворяет требованиям								для		не
связанных линейных колебаний вдоль оси Y. Математи
чески это может быть выражено					отношением
				6.					(4.20)

Приняв, что выполняется				условие
		а1 —		а2=а,
уравнение движения можно записать в виде
	Jza = Ali^ax — 4kxa~a —
	2а (р\ /гу, -f- b\ ky„) — F^s cos						Qt,		(4.21)
или, приняв во внимание			условие			(4.20),	преобразовать
к виду
Jza =	4ckxax — Akxa2oL — 2а6,62 (1гУг - j - кУ2)						— F0s	cos Qt.

Таким образом, это уравнение эквивалентно уравне нию (4.3), и кривые, показанные на рис. 4.2, могут быть использованы для системы амортизации, изображенной на рис. 4.4, если удовлетворяются следующие отноше ния:


УЬХ=Ь\	2 (kyi	+ ky2) =	Aky\	а, = а2'=		а.
Пр и м е р	4.2. Необходимо определить			величины		горизонталь
ных составляющих колебаний в двух			точках		блока, установленного
на четырех амортизаторах		(рис. 4.5),	которые		расположены		симмет
рично на расстоянии Ь = ± 5 4 мм по			обе	стороны от		оси	У и на

расстояний d=—108

мм ниже оси X. Жесткость амортизаторов

8 го

ризонтальном

направлении

составляет 50%

от их жесткости

в вер

тикальном

направлении-.

x=kx/ky=0,5.

Радиус

инерции

блока

относительно осп Z составляет р2

= 57мм.

Точки А и В, в которых

требуется

определить амплитуды

колеба

ний,

находятся

на расстояниях о л = — 6 3 мм и ад =76 мм от оси X.

основании,

на

котором

установлен

блок, возбуждается

гармоническая

виб

рация в направлении оси А': м = «о sin £2/.

В дальнейшем

нам потребуются сле

дующие

безразмерные

величины:

u/pI

= ±0,947;

й2 /р2 2

= 0,895;

а/рг =—1,895;

а2 /р2

г =3,58;

au/pz=—1,105; aB/pt= 1,332.

Частоты собственных

колебаний, ко

торые возникают в плоскости AT, могут

быть теперь выражены в виде функцио

нальных

зависимостей,

в которых

в ка

честве аргумента

является

частота

соб

ственных колебаний, возникающих в на

правлении

оси Y.

По

формуле

(4.19)

или графику, изображенному

на рис. 4.2,

Рис. 4.5. Схема монтажа

находим

Шср2/со„6 =

0,4;

1,86.

Разделив

эти

значения

на

=Ьрг/Ь,

блока на четырех

амор

получим

шс /соу = р,378;

1,75.

При

этом

тизаторах,

расположен

знак при Qzjb следует

брать таким же,

ных в двух

плоскостях

что и знак у внешнего

радикала

в пра

симметрии.

войчасти,

тогда

отношение

частот бу

дет всегда величиной положительной. Таким образом, три частоты собственных колебаний в плоскости XY равны: 0,378шу ; l,75wv.

Чтобы определить перемещения точек А и 5, необходимо вос пользоваться уравнениями (4.13) и (4.14). В результате получим величины Л'0/«о и aopjito в зависимости от отношения частот Q/cOy.


Подставляя полученные значения л'о/и0 и aopz /«o вместе с соответ
ствующими		значениями ал и ав в уравнение (4.17), можно					получить
численные		выражения	(х'л)о/"о, (хв)о/"о в виде функций,				зависящих
от Q/mu.			что горизонтальные перемещения				( Х А ) О или
Следует заметить,
[хв)а	включают-в себя как линейную				составляющую Хо, так и вра
щательные		составляющие		алО-о или aB ao. Величины ал		и ав		имеют
противоположные знаки,				поэтому перемещения {хл)о и		(л'л)о		также
имеют	противоположные			знаки, когда	ао~^>х0.

6. Частоты собственных колебаний системы амортизации с одной плоскостью симметрии

Когда система амортизации имеет только одну пло скость симметрии, движения амортизируемого блока в плоскости, параллельной плоскости симметрии, содер жат три связанные формы колебаний, каждая из кото-

рых имеет вертикальную, горизонтальную и вращатель ную составляющие. Частоты собственных колебаний при этом определяются аналогично тому, как было показано

для систем

с двумя

плоскостями симметрии (§ 4).

Пример

системы

амортизации

У,

с одной

плоскостью

симметрии

показан

на

рис. 4.6. Примем

сле

M0s\.nat\

дующие

обозначения:

X, Y, Z— главные оси инерции,

проходящие

через

центр

тяжести

объекта;

<kyu

kvz,

...,

kyn

— коэффициенты

жесткости амортизаторов в

направ

лении

оси Y;

kxu

kxz

kxn—

коэффициенты

жесткости амортизаторов в

направ

/WWW'

лении

оси X;

аи

а2

ап

— расстояния

до

Рис. 4.6.

Схема рас

каждого

амортизатора

от

плоско

сти

XZ;

положения амортиза

b2,

bn — расстояния

до

торов

симметрично

bit

плоскости XY,

прохо

каждого

амортизатора

от

плоско

дящей

через

центр

сти

YZ;

тяжести блока.

— момент

инерции

амортизуе-

мого блока относительно оси Z.

Дифференциальное уравнение

движения

системы по

лучится при соответствующем приравнивании действую щих сил и моментов. Внешние силы и моменты образу

ются в результате упругих перемещений	амортизаторов
и приложенного момента M—Mos'mQt.	Внешние силы

и моменты приравниваются внутренним силам и момен там, при этом нужно внимательно соблюдать согласова ние знаков. Дифференциальные уравнения движения си стемы имеют вид

Jza=-a(2а2п	кхп + 2Й* kyn) +
+ xLankxn	— yfLbJiyn -f- М0 sin Qt;	(4.22)
mx = —xHkxn + dI,ankXn;		(4.23)
my =—yUkyn + a'Zbnkyn.		(4.24)

Из совместного решения уравнений (4.22) .. . (4.24) можно получить выражение, описывающее колебания по

координате а:
	AQS	+ 52" + C2J		+ D	(4.25)

где	/1 = -		Jzm2;		(4.26)

B = ms {Zbl kyn	+ Sa* A™) +			( S £ w -} • Щ,.,,);	(4.27)
C— — m (Zkm	+ £/ey„)		£ y n + Ха* kxn) -
- Jz-Lk^kyn	- f /л (Xankxnf		+	m (E6,A„)2 ;	(4.28)'
D = ЪкхпЪкт		(Eft; / г у л + la* £,n ) •
— E £ y n	(Sa„fe.xn)a — £ & w			(Zbnkyny.	(4.29)

Приравнивая нулю знаменатель в уравнении (4.25), можно получить кубическое уравнение относительно

аргумента Q2. Найденные таким об
разом		три значения			Q соответству
ют трем частотам собственных коле-									•
баний		амортизированного					блока
в трех связанных формах						колебания.
Поскольку формы колебаний связа
ны, то каждое			колебание			включает
вертикальную,				горизонтальную и
вращательную			форму. .
Используя предшествующий								ана
лиз, можно определить необходимые
характеристики				системы		амортиза-			^		тяг
ции, показанной на рис. 4.7. Систе

ма симметрична				относительно				глав	Рис.	4.7.	Схема рас
ных	плоскостей			инерции,			которые
расположены перпендикулярно								осям	положения амортиза
X и	У. Тогда		расстояния				Ьп	всех	торов	внизу и ввер
										ху	блока.
амортизаторов				равны и ~2bnkyn				= 0.
Таким образом, уравнения (4.22) .									(4.24)		принимают
вид
Jza	=	- о [Еа* kxn+			Lb2n kyn\		- f xXankn		+ M0	sin Qt; (4.30)
			mx=		— xlkxn		-\- a?jankXn;				(4-31)
					my — — y£kyn.						(4.32)

Уравнение (4.32) имеет единственную переменную, поэтому частота несвязанных собственных колебаний в направлении оси У может быть определена непосред-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ