книги из ГПНТБ / Суровцев Ю.А. Амортизация радиоэлектронной аппаратуры

ственно из него. Горизонтальные и вращательные коле­ бания, однако, остаются связанными, так как оба урав­ нения (4.30) и (4.31) содержат переменные как х, так и а. Поэтому частоты собственных колебаний могут быть определены из совместного решения этих двух уравне­ ний.

А =—2,86(4,58- Ю - 3 ) 2 = — 6,02• Ю-''; В=(4,58 - Ю - 3 ) 2 - (1002 • 4.5+2002 • 2,7+ +3002 • 4,5+300г • 2,7 + 180'- • 3,6) +

+286 • 4,58 • 10-3 (4,5+2,7+3,6+4,5+2,7) =42,9; С=—4,58- 10-3 (4,5+2,7+3,6+4,5+2,7) X

+ 4,58 • Ю-3 (—300 • 4,5—300 • 2,7+180 • 3,6)2 + + 4,58 • I О-3 (—100 • 4,5+200 • 2,7)2=—87,38 • 103;

D= (4,5+2,7+3,6) (4,5+2,7) (ЮО2 • 4,5+ + 2002 • 2J+3002 • 4,5 + 3002 • 2,7+ +1802 • 3,6)—(4,5+2,7) (—300 • 4,5— —300-2,7+180-3,6)2—(4,5 + 2,7+

+3,6) (—100 • 4,5+200 • 2,7)2=54,94 • 10°.

Подставляя значения коэффициентов в знаменатель уравнения (4.25) и приравнивая его нулю, получаем уравнение

—6,02 • 10-5 шв +42,9т4 —87,38- 103 ш3 + +54,94 .;10«=0,

90

которое является кубическим относительно со2. Три частоты собствен­ ных колебаний системы трех связанных форм колебаний, возникаю­ щих в плоскости XY, определяются как корни этого уравнения:

Ш[ = 64,5; ш2 =40,7 и со3 =36,9 рад/с,

или

/,= 10,25; /2=6,47; /3 =5,87 Гц.

7. Система амортизации с наклонным расположением амортизаторов

Пусть в системе, в которой амортизаторы расположе­ ны под углом (рис. 4.8), координатные оси X и У распо­ ложены параллельно главным осям инерции блока, но при этом цеНтр координат выбран на оси упругости,

быть представлено компонентами в направлениях обеих главных осей упругости w, и амортизаторов. Величины упругих сил и моментов, возникающие в амортизаторах в результате их перемещения, могут быть определены, если известны перемещения амортизаторов в направле­

91

Для системы, показанной на рис. 4.8, упругие оси лежат в плоскости XY и пересекают ось У. Точка пере­

сечения с осью У есть та точка, в которой к объекту может быть приложена статическая горизонтально на­ правленная сила и в которой сумма всех моментов, дей­ ствующих на объект, обращается в нуль. Таким образом, можно составить уравнение

—4bkw6x sin 9 cos Q + 4bka8x sin 0 cos 9 + + 4akw8x cos2 9 + 4 ^ 6 * sin2 9 = 0,

которое решается после несложных преобразований:

Выражение (4.33) может быть представлено графи­ чески в виде семейства кривых (рис. 4.9). Они опреде-

92

ляют положение упругой оси системы, выраженное через координаты амортизаторов, отношение их жесткостей и угол наклона их главной упругой оси.

Теперь можно получить выражения для более слож­ ных случаев. Пусть сила Fv, действующая в направле­ нии оси Y, приложена вдоль оси упругости, при этом возникает перемещение бу , и уравнение статического равновесия может быть записано в виде

Аналогичное выражение можно получить, если в на­ правлении оси упругости приложена сила Fx:

Угловая жесткость относительно оси упругости мо­ жет быть определена в результате действия положитель­ но направленного статического момента Ма и возника­ ющего при этом положительного углового перемещения а. Упругий восстанавливающий момент получается из условия статического равновесия

Ма =4aft2 (fe№ sin2 e+AuC0s2 6) —

Вращательная жесткость ka определяется из послед­ него уравнения в результате деления на а:

X г ^ - (sin 0 - t g Ф cos б)2-}- (tg Ф sin 8 + cos 8)3

где tgQ>=a/6.

93

Из уравнения (4.33) можно получить

(1 —kjkw) sin 9 cos 8 cos2 8 + (kjkw) sin 2 6 *

Теперь выражение для вращательной жесткости при­ нимает вид

Если на амортизированную систему (рис. 4.8) дейст­ вует переменная внешняя сила M=Mas'm Ш, то диффе­ ренциальные уравнения движения будут

получим уравнения связанных колебаний в направлении координат х и а:

Из совместного решения уравнений (4.40) и (4.41) по­ лучим

„— Af„//ир.

(22 -со2)

Эта величина обращается в бесконечность при усло­ вии, если знаменатель равен нулю:

[ 1 - (е /Р е )2 ] Q4 - (ш2а + ш2 ) + «£ со9; = 0.

94

Из последнего уравнения получаем значения двух частот собственных колебаний

1 / (<*l +<*l)± V ("а + 4 ) 2 ~ 4(0» <й\ [1 - (в/Ре)*]

(4.42) Если ввести обозначение А, = соа/со0 то выражение

(4.42) может быть переписано в виде

Используя формулы (4.35) и (4.39) и обозначая шю = = YAkwjtn, можно получить выражение

шЛ./ш№ == ]/ku sin2 bjkw + cos2 б,

из которого определяется частота собственных колебаний амортизированной системы в направлении оси X.

Частоты собственных колебаний в направлении коор­ динат У и а могут быть получены в результате анало­ гичных преобразований:

и>у/">ш= j/shf 8 + ku cos2 6//гш; «/(&/Р . К = cosa8 + sin2 8 ] - , / 2 .

8. Системы амортизации с нелинейными характеристиками

Жесткость амортизатора численно равна углу накло­ на его силовой характеристики при соответствующей на­ грузке. В линейных системах прогиб амортизатора про­ порционален нагрузке, поэтому угол наклона кривой и, следовательно, жесткость амортизатора постоянны. В не­ линейных системах такая пропорциональность на всем деформируемом участке обычно д е соблюдается.

Если известно аналитическое выражение силовой ха­ рактеристики нелинейного амортизатора, то его жест­

Однако на практике характеристика жесткости нели­ нейного амортизатора обычно бывает представлена гра-

95

фически. В таких случаях частота собственных колеба­ ний может быть найдена численным или графическим анализом.

Следует заметить, что частота собственных колеба­ ний нелинейного амортизатора будет таким способом определена тем точнее, чем меньше амплитуда колеба­ ний. Если амплитуда колебаний велика, то жесткость амортизатора изменяется в течение всего колебательного цикла и частота собственных колебаний становится функ­ цией амплитуды колебаний.

Предполагается, что как статическая, так и динами­ ческая жесткости амортизатора равны и что поэтому динамические параметры системы амортизации могут быть получены из статических характеристик. Такое предположение в основном справедливо для металли­ ческих пружин.

Г л а в а 5

Расчет системы амортизации на воздействие постоянного ускорения

1. Амортизатор с линейной характеристикой

Рассмотрим влияние внезапно приложенного ускоре­ ния iim в момент /о=0, которое в дальнейшем остается неизменным по знаку и величине. Дифференциальное уравнение движения линейной амортизированной систе­ мы в общем случае перемещения точки крепления амор­ тизатора с ускорением |, как известно, имеет вид

то для случая малого сопротивления соо>т> при началь­ ных условиях

У(О) = 0о. у(0) = у9

96

получим решение уравнения (5.1) в относительных коор­ динатах:

Если теперь предположить, что

6(/) = 0 f f < 0 f

то можно получить величину относительного смещения при нулевых начальных условиях в соответствии с реше­ нием (5.2):

Отсюда находим максимальное значение перемещения:

У . = - » ' т ( 1 + е - ( а / ш П К .

Если затухание отсутствует, то из последнего выра­ жения получим

Максимальное ускорение, передаваемое аппаратуре, для системы без трения, как следует из (5.1), может быть представлено в виде

(5.4)

Из (5.3) и (5.4) находится отношение

Применение амортизаторов с линейными характери­ стиками не обеспечивает защиту аппаратуры от инер­ ционных нагрузок, возникающих при внезапном воздей­ ствии постоянного ускорения. Максимальное ускорение, передаваемое на аппаратуру, при любой жесткости амор^ тизатора в два раза больше приложенного ускорения, Увеличение демпфирования, как показывают расчеты, большого эффекта не приносит.

Кроме того, применение амортизаторов с низкой соб­ ственной частотой при их номинальной нагрузке требу­ ет недопустимо большого свободного хода. Таким обра­ зом, для предотвращения больших ускорений, переда­ ваемых на аппаратуру, более выгодно ее крепить жестко, без амортизации.

Применяя амортизаторы с нелинейными характери­ стиками, можно снизить максимальное относительное смещение и, следовательно, величину свободного хода

Многие из современных конструкций бортовых аморти­ заторов имеют упругие огра­ ничители хода, ограничиваю­

щие перемещения при чрезмерном увеличении деформа­ ции основного упругого элемента.

Предполагая, что сила упругой деформации для огра­ ничителей хода и основного упругого элемента следуют по отдельности линейному закону (рис. 5.1), дифферен­ циальные уравнения движения массы т при воздействии ускорения в форме скачка (ит=0 при ^ < 0 и ii m =const при ^>0) можно записать следующим образом:

уравнения (5.5) — (5.7) можно переписать в виде

98

Выполняя условие непрерывности решения и его про­ изводной, запишем

j/i(r)/co = —4^sin cufi+B2 cos coti. Отсюда получим

99