книги из ГПНТБ / Каргу Л.И. Системы угловой стабилизации космических аппаратов

Заметим, что приведенные соотношения справедливы для электрического двигателя с независимым возбужде­ нием, управляемым по цепи якоря.

Передаточные функции маховика и объекта регули­ рования (КА) можно представить следующим образом:

Структурная схема канала тангажа, составленная на основании выражений (3.25) — (3.30) и функциональных

j ^2

11—I |Дд

і J»J

Рис. 3.2. Структурная схема линейной системы

Данное выражение позволяет найти статическую ошибку системы

которая совпадает с аналогичной формулой, полученной в работе [1].

Системы с двигателями-маховиками среди всех ти­ пов СУС отличаются очень сильными гироскопическими и инерционными перекрестными связями. Поэтому сов­ местное исследование трех каналов не дает возможности получить простых аналитических зависимостей, описыва­ ющих характер движения КА. В работе [1] сделана по­ пытка такого исследования. Однако такие задачи удоб­ нее всего решать с применением вычислительной техни­ ки, имея конкретные параметры системы и объекта стабилизации.

3.3. Нелинейные системы с двигателями-

маховиками

Допустим, что чувствительные элементы СУС имеют релейные характеристики (см. рис. 1.11), а двигательмаховик в состоянии прикладывать к аппарату только три значения момента +МД, —Мт, 0. Будем также счи­ тать, что |Л4д| = |Л1Т |, т. е. моменты одинаковы по вели­ чине как при разгоне, так и при торможении.

Нелинейный закон управления зададим в виде

Исследование выполним методом фазовой плоскости. В соответствии с заданным законом управления и стати­ ческими характеристиками чувствительных элементов на рис. 3.4 изображены линии переключения маховика.

Учитывая сделанные допущения, уравнение движения КА запишем в виде

отстыковки его от ракеты-носителя. Данным начальным условиям соответствует уравнение движения

(3.44)

Интегрируя числитель и знаменатель этого выражения получим уравнение фазовой траектории

Таким образом, изображающая точка будет двигать­ ся параллельно оси абсцисс до встречи с линией пере­ ключения ф = Фі. Физически это соответствует вращению КА по инерции с выключенным приводом маховика. На линии переключения ИКВ включит двигатель маховика на торможение с таким расчетом, чтобы создать ускоре­ ние — Гд.

Точке 2 с координатами (0ч, Фо) будет соответство­ вать уравнение движения

и удалена от начала координат на величину &1 -f-&0 2 /2Wa " В точке 3 по команде ДУС маховик будет выведен из режима торможения и далее КА будет двигаться с по­ стоянной угловой скоростью Ьа = —$4- В точке 4 ИКВ даст маховику команду на разгон и изображающая точ­

Если в такой же последовательности проследить дальнейшее движение изображающей точки, то можно убедиться в том, что в итоге наступит автоколебательный процесс, которому на рис. 3.4 соответствует контур abed.

Период автоколебаний может быть найден из фор­ мулы

Определим энергию, затрачиваемую маховиком за один цикл автоколебаний. Будем считать, что при тормо­ жении маховика (участок ab) двигатель не переключает­ ся в генераторный режим. В противном случае полная энергия без учета потерь была бы равна нулю. Переклю­ чение двигателя в режим торможения осуществляется коммутационной аппаратурой. Очевидно, что расход энергии при этом можно также не принимать во внима­ ние по сравнению с энергетическими затратами, потреб­ ными для разгона маховика на участке cd.

Уравнение движения для этого участка имеет вид

откуда с учетом начальных условий, соответствующих на фазовой плоскости точке 4, после интегрирования найдем

Расход энергии существенно зависит от зоны нечув­ ствительности датчика угловой скорости, которая долж­ на быть минимальной.

Средний расход энергии за период автоколебаний мо­ жет быть найден из формулы

Вращению маховика всегда препятствует момент со­ противления Мс, обусловленный силами трения. В усло­ виях невесомости моменты трения значительно меньше, чем в земных условиях. Однако при угловых эволюциях аппарата в опорах Д М возникнут моменты сил сухого трения, пропорциональные динамическим реакциям, дей­ ствующим на эти опоры. Если маховик разгоняется, то момент М с направлен против момента Мл, а если тормо­ зится, то согласно с моментом Мя.

Рассмотрим, каким образом изменится фазовый порт­ рет и параметры идеального автоколебательного цикла при наличии момента Мс. Уравнение движения КА для данного случая имеет вид

где Wc =

Интегрируя это уравнение при начальных условиях, соответствующих точке / (рис. 3.5), получим

ft2 — V = —2 Wc(b + Q0).

Это уравнение параболы с вершиной в точке [ft0 2 /2 Wc —

— ft0, 0]. Следовательно, на участке /—2 момент сопро­ тивления способствует уменьшению скорости ft0-

а вершина параболы 2—3 будет отстоять от точки 0 на величину \% + 02 2 /2 (Wn + Wc).

Так как -<Ь<г%, a W}l+WC>WR, то по сравнению с идеальным случаем вершина параболы 2—3 будет ле­ жать ближе к началу координат.

На участке 3—4 уравнение фазовой траектории имеет

вид

& — = —2 Wc($ — т}4 ).

Вершина этой параболы будет лежать на положитель­ ной полуоси т). В данном случае момент Ме направлен согласно с —Ф и ухудшает условия входа системы в ав­ токолебательный режим.

Рассуждая точно таким же образом, можно убедить­ ся, что на участке 4—5 парабола, соответствующая иде­ альному автоколебательному циклу, окажется внутри па­ раболы, построенной с учетом момента Мс.

В итоге автоколебательный цикл по сравнению с иде­ альным будет несколько деформирован. Отрезки парабо­ лы при торможении маховика будут короче, чем при раз­ гоне. Это вполне соответствует сущности протекающих физических процессов. Действительно, силы сопротивле­ ния облегчают условия торможения маховика и препят­ ствуют его разгону.

Если проследить дальнейший путь изображающей точки, то можно придти к выводу, что автоколебания бу­ дут с течением времени затухать. При MZ=Q силы сопро­ тивления приведут КА в неопределенное положение, ко­ торое на фазовой плоскости соответствует положению точки на отрезке линии переключения •& = —-Оч (см. рис. 3.5).

Необходимо отметить, что затуханию автоколебаний будут также способствовать силы вязкого трения, неиз­ бежно присутствующие в рассматриваемой механической системе.

В реальных системах МЛ^МС, поэтому процесс зату­ хания автоколебаний будет очень длительным. Данное обстоятельство позволяет при вычислении периода авто­ колебаний пользоваться формулой (3.49). Очевидно, что наличие момента Мс должно привести к дополнительным энергетическим затратам.

На участке разгона маховика по аналогии с выраже­ нием (3.52) его угловая скорость определяется формулой

Подставив в это выражение значение сом (0 и проинте­ грировав в пределах от ^ = 0 до h = ^JWR— Wc, получим

Ч

приближенную формулу для определения расхода энер­ гии за один период затухающих автоколебаний:

Тогда, опуская промежуточные этапы построения фазо­

ны bud соответствующих парабол удалены от линии переключения на различные расстояния:

Если № г < № д , то G d >G b .

В соответствии с рис. 3.6 период автоколебаний мож­ но определить как

Определим время насыщения маховика СУС с нелиней­ ным законом управления. Интегрируя уравнение движе­ ния маховика

/м(сам — Ъ) =МД при начальных условиях

Режим насыщения наступит при

где п — число циклов автоколебаний,

Дим = <% — Юм 6-