Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Золотухин Н.М. Нагрев и охлаждение металла

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

8.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 206 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Д л я температуры центра

6ц

< V x p ( - u 2 F o ) .

(99)

и = 1

Обозначения

уравнениях

(98)

(99)

аналогичны обозна

чениям

в уравнении

(86).

Если

в формуле

(97) принять

/оц=^ои, то она совпадет

с фор

мулой (86).

Решение

задачи,

описываемой

уравнением

(97),

дано

Н . Ю. Танцем (83)

в виде

поправки ф ^Fo,

Bi, -— '] к основному

решению 0 , ^ F o ,

Bi , -—^j

т. е. к

уравнению

(86).

Решение уравнения теплопроводности для типовых участков

и V I I . Д л я неограниченного

цилиндра имеем следующую си

стему уравнений:

дифференциальное

уравнение

(83)

теплопроводности

5т

V дг"

дг /

граничное

условие

q = X - | - =

с с с у м

[(t0c

6т) -

/];

(100)

начальное условие (79):

t т==0

t'Q — const.

Автором

настоящей

книги

дано

решение

уравнения

(83) в

краевых

условиях

(79)

и (100) [ 2 7 ] :

e - + M { F — г [ (' +

-Іт)-(тЛі +

оо

у ) (т" ~ 1 ) е х р

( _ £ F o )'

+ 2 4Л

( 1 0 1 )

где Ра =

критерии,

аналогичный критерию

Предводите-

а (tc —

/0)

лева,

характеризующий

относительную

ско

рость подъема (понижения) температуры сре

ды;

Ь — скорость

изменения

температуры

среды,

град/ч.

Д л я

температуры поверхности

e n = i + P d ( F o — L [ ( l + A ) _ i " | }

оо

+ У л В У 0	( ц я ) ( - ^ - Л е х р ( - 1 4 Р о ) .		• (102)
i d	U «	і

Д л я температуры центра

		О ц = 1 + Pd J F o - - ^ [ (			Ві
					Ві
		со
		+ J]	л / ^ - А е х р С - ^ о ) .
Если	в	уравнении	(101)	принять	Ь = 0, то оно	становится
уравнением		(86) для типового участка			/.
Уравнение (101) выведено				из условия, при котором темпера
тура среды со временем повышается. При снижении						температу
ры среды	решение будет аналогичным. Решение д л я					этого ус
ловия в другой форме дано Н. Ю. Тайцем [83] .
Решение уравнения теплопроводности для типовых участков
V, VI , V I I I		и IX. Д л я	неограниченного		цилиндра имеет следую
щую систему уравнений:
дифференциальное уравнение теплопроводности
		Ы		дч	ді_
		дт		дґ-	дг

граничное условие

q=X&-=acsN[(toe±br)-t]; дг

начальное условие

a = o = ' u - ( - j r ) 8 ( ' u - ' n ) .

После	решения этой			системы	уравнений получим			[27):
со						• в'	— • 2	Pd
	АЛ)	( ц „ - ^ - )	е х	Р (— l^Fo)		• в'	— • 2	Pd
	АЛ)	( ц „ - ^ - )		Р (— l^Fo)			Ві	9
п = 1
		— Pd I Fo				_2_		(104)
		— Pd I Fo				Ві		(104)
						Ві
Д л я	температуры		поверхности
Є п = У		Л Л ( ^ я ) е х р ( - ^ Р о ) 1 — 0 7 -					~	Pd
Є п = У		Л Л ( ^ я ) е х р ( - ^ Р о ) 1 — 0 7 -					~	9

п = 1

P d l F o - - L [ ( l - ^ ) - l

(105)

для

температуры

центра:

со

1 _ 0 '

Ві

Pd J Fo — —

Ві У J I

•

Если в

уравнении

(104)

принять

9' = 0,

то

оно становится

уравнением

(101) .

Р е ш е н ие

уравнения

теплопроводности

для

типового

уча

стка

X. Д л я

неограниченного

цилиндра имеем

следующую

си

стему

уравнений:

уразнение

(83) теплопроводности;

граничное

условие

=• ^

{[Л« — (Лп — /о) е - * т ]

-',,);

(107)

начальное

условие

|т=о=

c o n s t >

•где

значение

температуры,

которой

асимптотически

стремится

температура

среды, ° С ;

— начальная

температура

заготовки, ° С;

— показатель

экспоненты

изменения

температуры

среды

/c = ' m - ( ' m - ' o ) e - f r l

•или

tc = tm

— {tm

— to) e.Xp (— kx).

Автором

данной

книги решена

у к а з а н н а я

система

уравне-

«ий

в виде:

( 1 - Э ) У в ^ Р ( 1 ' — j e x p ( - P d ' F o )

j	-	2	-Ц-Ап^		Un-j)		exp ( - Fo).	(108)
		'1=1 1 _	^"
			Pd'
Д л я	температуры		поверхности
			(1 — Э) J 0 ( / P d 7 )			exp (—Pd' Fo)
			Jo (y Pd') -		L n	- h	(l Pd')
	_	^	Pd	A,Jo	(n„) exp (— lll Fo) ;
				A,Jo	(n„) exp (— lll Fo) ;

Pd'

д л я

температуры

центра

• '

„

( 1 - a ) e x p ( - P d ' F o ) '

°Ц

/ 0 O'Pd7 )

- - L

B J — Л

(/Pd/ )

оо

1 _ ft

Л " е х Р

( ~

И« Fo),

(110)

•где

і> = — •

симплекс

начального

распределения

темпера-

тур

(t0

— начальная

температура

среды) ,

° С ;

п і /

•

Pel

критерии,

определяющий

интенсивность

изме-

нения

температуры

среды.

Решение дифференциального уравнения для других тцповых

участков.

Решения

уравнения

теплопроводности

для

типовых

участков

XII

нагрева

охлаждения

получаются,

очень

сложными и поэтому здесь не приводятся.

Решения

дифференциального

уравнения

теплопроводности

д л я

типовых

участков

XIII—XVI

даны

работах

А. В. Л ы к о в а

[53], Н. Ю. Тайца

[83] и

других.

Решение

для

постоянного

теплового

потока

при

граничных

условиях III-го рода (типовой

участок

X V I I )

дали

Г.

П.

Иван -

нов,

А.

В.

Л ы к о в

[53],

кроме

того,

оно

приведено

работе

Н. Ю. Тайца

[83] .

Решение для

типового

участка

X V I I I

дано

Н . Ю. Тайцем

[65,

83];

д л я

типовых

участков

X I X

XX — в

работе

С. И. Аверина

и других

[ 1 ] .

13. ВЛИЯНИЕ ОКАЛИНЫ

НА ТЕПЛОПЕРЕДАЧУ СТАЛЬНЫХ

ЗАГОТОВОК

. -При

нагреве

стальных

заготовок

на

их

поверхности

появ

л я ю т с я

окислы

железа,

образующие окалину. О к а л и н а

состоит

из трех слоев, содержащи х разные окислы

ж е л е з а .

Теплофизические

свойства

окалины

резко

отличаются

от

свойств металла . Например, теплопроводность окалины в де- •сятки раз меньше теплопроводности металла . В процессе на грева толщина слоя окалины на поверхности металла увеличи

вается, значительно	з а м е д л я я теплопередачу.	После	извлечения
нагретой заготовки	из печи слой окалины,	являясь	хорошим

теплоизолятором, замедляет охлаждение металла, особенно в начальный период охлаждения .

Возникает вопрос, можно ли использовать решения диффе ренциального уравнения теплопроводности д л я однослойных ци-

лп н др ов и пластин при расчете температуры двухслойных з а готовок, т. е. заготовок, покрытых слоем окалины? Все решения

дифференциального	уравнения	теплопроводности справедливы
и д л я двухслойных	заготовок.	При этом	коэффициент теплооб
мена м е ж д у нагретым металлом		и средой

« „ =	,	О")'
	о
1 + ОСок "г
где «ок, б и Аои— соответственно	коэффициент	теплообмена
между окалиной	и средой, толщина окалины
и ее теплопроводность.

Все приведенные решения дифференциального уравнения т е п лопроводности для различных условий представляют собой бес

конечные	ряды, с о д е р ж а щ и е		тригонометрические и	бесселевы
функции	и сложные	характеристические уравнения. Д л я исполь
зования	указанных	решений	в практических расчетах	нагрева

и охлаждения твердых тел их обычно рассчитывают для опре деленных численных значений входящих в них параметров с применением счетно-решающих устройств, а затем составляютграфики, номограммы и таблицы этих расчетов.

14. ГРАФИКИ, НОМОГРАММЫ И ТАБЛИЦЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ. РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Типовой участок I. Существует много графиков и номограм м классического решения дифференциального уравнения теплопро

водности	(для типового участка / ) .
Впервые графики для расчета температуры твердых тел				были
составлены в 1923 г. Генри и Лури, они имели всего четыре				з н а
чения критерия Bi и д л я практических расчетов		непригодны.
Графики д л я классических тел в осях критерий		Буссинеска —
относительная температура составлены В. А. Куроедовым				[50]..
Самое	большое число значений критериев Bi	(38	значений)і
и самую	растянутую ш к а л у значений критерия Fo (с		изменяю

щимся масштабом) имеют номограммы Д . В. Будрина, пред ложенные им в 1948 г. [33] . Эти номограммы приведены во многих книгах . и учебниках по металлургическим печам и печ ной теплотехнике. В номограммах даны приближенные значения относительной температуры, так как при расчетах этих графиков-, сумма бесконечного ряда заменена его первым членом. Это при вело к большим погрешностям в области небольших значений' критерия Fo (табл. 2).

Как видно из табл . 2, использование указанных номограмм1 д л я критериев Fo, составляющих 0,002—0,01 (применяют при

тепловых расчетах	поковок)	и критерия	В і > 0,2	приводит	к не
допустимым погрешностям.		Е щ е один	недостаток этих		номо
грамм — большая	плотность	кривых в	области	относительной

						Таблица		2
Погрешность относительной температуры поверхности неограниченного
	цилиндра от замены суммы ряда (87) его первым членом
		Погрешность		в % при значениях		критерия Fo
В і	0 ,002	0,01	0,1		0 ,2	0 , 5	1	,о
	0 ,002	0,01	0,1		0 ,2	0 , 5	1	,о
0,01	0,18	0,151	0,031		0,007	0		0
0,1 .	1,96	1,68	0,319		0,0725	0		0
0,2	3,90	3,03	0,642		0,147	0		0
1,0	28,7	14,3	3,17		0,712	0,0085		0
2,0	32,2	25,8	5,74		1,21	0,0117		0
3,0	42,3	34,2	7,55		1,67	0,10		0
т е м п е р а т у ры 8 = (1,0-=-0,6), т. е. в					области,	которую	используют
д л я тепловых		расчетов	поковок.
Из имеющихся таблиц наиболее подробными являются таб
лицы,	составленные		Т. Русселем и приведенные				в	книге
Г. П. Иванцова [33] . Однако				в них мало		цифрового	материала
д л я ^расчетов		поковок. Кроме		того,	в данных таблицах дл я			тем

пературной области, близкой к 0=1,0, много ошибок. Например,

для

цилиндра

относительная температура

центра при Fo = 0,06

и В і = 1,0 равна 0,99937, а при том ж е значении Fo и Ві =

0,8она

р а в н а

0,99784, т. е. с уменьшением

критерия Ві

относительная

температура

снижается . А на самом

деле

она

д о л ж н а

повы

шаться .

Графики для остальных типовых участков. В 1955 г. В. Н . Со

колов

[79] предложил графики д л я расчета

относительной

тем

пературы при теплообмене лучеиспусканием

по закону Стефана -

Б о л ь ц м а н а

при неравномерном распределении

температуры в

начальный момент

(типовые участки

/ / и / / / ) . Графики

выпол

нены

з координатах

критерий Буссинеска — относительная

тем

пература. Эти графики нельзя использовать

д л я расчета

о х л а ж

дения

заготовок, та к ка к они рассчитаны только д л я одного

зна

чения

начального температурного условия

0' = О,2.

Широко

пользуется графиками

при расчетах

нагрева

метал

л а

.Н. Ю . Тайц. В его капитальном

труде

по технологии

нагре

ва

металла

приведены графики д л я расчета

температуры

клас

сических тел, призм квадратного сечения и ограниченных ци


линдров при линейном		изменении		температуры			поверхности
(граничные условия I		р о д а ) ;	графики дл я		расчета		относитель
ной 'температуры поверхности и центра неограниченных								цилинд
ров и	пластин, нагреваемых		при постоянном			тепловом		потоке
в случаях равномерного и неравномерного распределения								темпе
ратуры	в начальный	момент	(граничные		условия		I I	р о д а ) ;
графики дл я определения относительной температуры в								различ
ных точках сечения неограниченных				пластин		и цилиндров, на-

греваемых в среде с постоянной температурой при равномерном начальном ее распределении (типовой участок / ) , а т а к ж е графики относительной разности температур в пластинах и ци линдрах при указанных условиях нагрева и графики для учета начальной разности температур; графики для расчета относи тельной разности температур в полом цилиндре при односторон нем и двустороннем нагреве и др. [83].

Д л я малых и больших значений критерия Ві графики клас сического решения рассчитаны П. Шнейдером и приведены в книге А. В. Лыкова [53]. Однако они содержат очень мало зна чений критерия Ві :15 для пластин и 18 для цилиндра.

15.РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ГРАФИКИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ТИПОВЫХ УЧАСТКОВ

НАГРЕВА И ОХЛАЖДЕНИЯ

Анализ решений дифференциального	уравнения	теплопрпгшд-
кости. Д л я графической интерпретации	аналитических решений
дифференциального уравнения теплопроводности		необходима,

установить наименьшее число критериев и симплексов, опреде

ляющих

процесс

теплопередачи

принятых

краевых

условиях .

Д л я

анализа

используем

теорию

подобия, в

частности,

л-теог-

рему.

Найдем наименьшее число критериев и симплексов приме

нительно к решению дифференциального уравнения

(97)

тепло

проводности

для

типовых

участков

/ /

/ / / :

9 =У

[ l - 9 ' f J - .

JmJ

Ві

л=1

у р а в н е

Найдем минимальное число критериев для данного

ния.

На

границе цилиндр — среда

теплообмен происходит

п а

закону:

— Я

+ aAt

0 '

или

aAt

f[R,

а,

т,

(ta-tn),

(te-t„)].

(112)

Уменьшим

метр,

секунду

градус

соответственно

в L ,

Т,

8 раз и запишем

уравнение (112) в

виде:

aAt

RL,a-^,x,

Т,

( / Д - * П ) Є ,

( * е - / п ) 1

(ИЗ)

Выберем новые основные единицы так, чтобы обеспечить ус ловия:

Тогда уравнение (113) примет вид

ai\t R

г f ,	от	п
		п
		•п

ИЛИ

			R			(114)
						(114)
•Учитывая,	что
		\t	= t—t		— = Bi,
	JE. = FO,		Azzk =	_L o'
	Л 9		fc-'n		2	П
уравнение	(114)	можно записать		в	виде
		е	= - ^ ^ ( Р о ,		0').	(115)
			і
Выражение		(115) есть решение нашей				задачи по определе

нию наименьшего числа критериев и симплексов, описывающих

процесс теплопередачи дл'я типовых участков

/ / и

/ / / .

Таким

образом,

решение д л я

типовых участков / /

/ / /

на

грева зависит от критериев Bi, Fo и симплекса

9'.

Аналогично можно показать, что наименьшее число

крите

риев для классического решения дифференциального

уравнения

(тип

будет два

(Bi, Fo), для

и VII участков — три

крите

рия

(Bi, Fo,

Pd),

для

VI,

VIII

— три

критерия и

симп

л е к с

(Bi, Fo,

Pd, 0')

и т. д.

Нсзые

графики

для

типового

участка I. Графики

рассчиты

в а л и с помощью электронной цифровой

вычислительной

маши

ны «Минск-22» с точностью до пятой

значащей

цифры

после

запятой.

Д л я

неограниченной

пластины графики решений представле

ны на рис. 10 и 11. Графики построены в виде

зависимости

симплекса

относительной

температуры

(1—6)

от

критериев

и Fo.

Численные решения для неограниченного цилиндра с помо

щью формул (87) и (88) представлены

на рис. 12—15, 1. При

некоторых

значениях критериев

В і и Fo

для

достижения

приня

той

точности

расчета

(пятая

з н а ч а щ а я

цифра)

определяли

суммировали более 40 членов ряда.

Д л я

повышения

точности

расчетов

при

начальной

стадии

нагрева

охлаждения

на

рис. 14 и

15, I даны

большом

уве

личении

левые верхние

части

графиков,

приведенных

на

рис. 12

О 0,02 Ofl't 0.06 Oflg OJ 0,2 0,3 Ofi 0,5 0,6 0,7 0.3 0,9 1,0 1,2 /,* 1.0 1.8 2,0 2,2 2,<t 2,6 2,8 3,0 3,2 ЗЛ 3.6 3,3 9.0 \2 Fo

Рис. 11. Относительная температура в центре неограниченной пластины

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 206 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ