Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Золотухин Н.М. Нагрев и охлаждение металла

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

8.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2015 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

	РАЗДЕЛ	III
МОДЕЛИРОВАНИЕ			НАГРЕВА
И ОХЛАЖДЕНИЯ	КУЗНЕЧНЫХ		ЗАГОТОВОК

ГЛАВА VII

ЭЛЕМЕНТЫ		ТЕОРИИ ПОДОБИЯ			И М О Д Е Л И Р О В А Н И Я
		23. ПРИМЕНЕНИЕ		ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
З а д а ч и	по	нагреву	и о х л а ж д е н и ю		металла из-за их мате
матической	сложности		решают	л и б о . н а	основании теории подо
бия, либо	с	применением ее. Рассмотрим основные моменты
теории подобия и моделирования .
Физические явления, технологические процесы, машины и т. д.
изучаются	с помощью		двух основных		методов: математической

и экспериментальной физики.

Достоинством первого метода, основанного на уравнениях математической физики, является возможность нахождения

количественных зависимостей параметров процесса. П р и	этом
в выводах дифференциальных уравнений з а к л а д ы в а ю т с я	самые
общие законы природы, что позволяет получить наиболее	общие

свойства явлений.

Д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е уравнения являются математической мо делью класса явлений, т. е. явлений, характеризуемых общим механизмом процессов. При их интегрировании получают бес численные множества решений, удовлетворяющих этим уравне ниям. Д л я выбора конкретного решения необходимы дополни тельные данные, не содержащиеся в исходных дифференциаль ных уравнениях, которые определяют все конкретные особенно сти данного явления, т. е. необходимо составлять уравнения условий однозначности (геометрические и физические условия, краевые условия и другие) . При интегрировании системы исход ных дифференциальных уравнений совместно с условиями одно значности обычно сталкиваются с большими трудностями. Недо статок метода математической физики — затруднения, связанные с переходом от класса явлений, характеризуемого системой диф ференциальных уравнений, к единичному конкретному явлению, определяемому условиями однозначности.

Н а практике часто используют метод экспериментальной физики . Преимуществом этого метода является достоверность получаемых данных, возможность исключения из эксперимента второстепенных факторов и получения результатов необходимой

степени точности. К недостаткам этого метода относится невоз

можность	распространения данных опыта	на другие случаи,
в которых	условия эксперимента в какой-то	степени	отличались
от изученного конкретного явления.
Теория	подобия объединяет достоинства	методов	математи
ческой и экспериментальной физики и не		имеет	отмеченных
недостатков.

Отличительной чертой теории подобия является замена ис следования интересующего нас явления (натуры) исследова нием другого, подобного ему явления (модели), с дальнейшим пересчетом полученных результатов д л я натуры. При этом модель может быть меньших размеров, чем натура, с более удобным масштабом времени, представлять более доступное для исследования явление и т. д. Перечисленное дает теории подобия большие преимущества перед методами математической

иэкспериментальной физики.

Спомощью теории подобия анализируют исходные диф ференциальные уравнения совместно с условиями однозначности, что дает возможность выделить из класса явлений отдельные группы подобных явлений и частных, конкретных условий экс перимента. Теория подобия дает данные о порядке проведения эксперимента, обработки и обобщения экспериментальных ма териалов и распространении их на натуру. При этом рассматри вают не параметры процесса, а их безразмерные комбинации — критерии подобия. Таким образом, теория подобия является теорией эксперимента и моделирования, учением о методах научного обобщения данных одного конкретного опыта.

Первые идеи о подобии явлений были з а л о ж е н ы И. Ньюто ном в 1687 г. в его труде «Математические н а ч а л а натуральной

			н
философии». Он нашел,		что в ы р а ж е н и е —		в	сходственных
			mv
точках движущихся жидкостей имеет одно и				то	ж е численное
значение	(f — сила, / — сходственный		размер,	т—масса,		v —
скорость).	Это в ы р а ж е н и е	французский	математик Ж .			Б е р т р а н

назвал критерием Ньютона, когда обнаружил в 1848 г., что оно

одинаково	для	сходственных		точек	всех механических .явлений.
Д л я теории		подобия	большое значение имеет			свойство одно
родности	размерности		всех	членов	уравнений	математической

физики, установленное Ж . Фурье в 1822 г. и описанное в его классическом труде «Аналитическая теория теплопроводности». Он ж е впервые установил критерий гомохронности.

Английский ученый У. Фруд в 1870 г. вывел критерий подо бия, связывающий инерционные силы и силы тяжести в потоке жидкости, названный впоследствии его именем ( F r ) . У. Фруд впервые применил этот критерий подобия для изучения на моделях мореходных качеств морских судов.

В 1874 г. русский профессор В. Л . Кирпичев открыл свой знаменитый закон подобия д л я упругих явлений [42]. Им ж е

впервые в 1907 г. в популярном виде изложена общая теория


подобия		в механике [44].
Английский исследователь О. Рейнольде в 1883 г. вывел
весьма		в а ж н ы й		для	теории	моделирования		критерий		подобия
д в и ж е н и я			жидкости,		т а к ж е получивший			впоследствии			его
имя	(Re).
Великий			русский		ученый, основоположник современной гид-
ро- и аэромеханики Н. Е. Жуковский в 1889 г. начал										исследо
вания	различных			моделей		летательных аппаратов .			В	1904	г.
под его руководством был построен первый в Европе										аэроди
намический институт. Н. Е. Жуковский развил теорию										подобия
применительно к				аэродинамическим			исследованиям		и	создал
современную методику моделирования							летательных		аппаратов .
В	1900—1908			гг.	знаменитый русский			математик - корабле

строитель, акад . А. Н. Крылов создал современную теорию и методику гидравлических испытаний моделей судов и теорию

кораблестроения.		В 1911 г. в Петербургском	политехническом
институте А.	К.	Федерман д о к а з а л общую	теорему	подобия
(см. работу	[ 4 ] ) ,	на основании которой Э. Букингем		в 1914 г.

сформулировал так называемую я-теорему. Общие теоретиче

ские основы		теории	подобия р а з р а б о т а н ы	акад . М. В. Кнрпн-
чевым в	1924 г.
Основная теорема подобия (первая теорема подобия) уста
новлена	в	1931 г.	М. В. Кирпичевым	и А. А. Гухманом .

С этого времени теория подобия начала применяться в самых

различных областях науки и техники:						при		конструировании
сельскохозяйственных		машин		(описано в		трудах акад . В. П. Го-
рячкина и проф. Н. Д . Лучинского); в						теории		турбулентности
(Л. Г. Л о й ц я н с к н й ) ;		при	моделировании			тепловых			и топочных
устройств	(М. В. Кнрпичев,			М.	А. Михеев,			П.	М.	Волков,
С. П. Шорин, Н. Н.		П р а в о в е р о в ) ;			при	моделировании				техни
ческой	вентиляции	(Е.	В.	Кудрявцев,			Г.	А.	Прокофьев,
И. М. Готгельф) .
Возможность приближенного моделирования пара воздухом
доказана А. М. Файнзильбером . Теория						и	практика		моделиро
вания физико-химических процессов разработаны Г. К.										Д ь я к о
новым, И. И. Ткаченко и Ф. А. Холланд .
Широкое использование теории подобия д л я изучения элек
трических явлений и машин стало возможным									б л а г о д а р я
работам В. А. Веникова,			Я. К о ж е ш н и к а			и	Б . 3. З и л ь б е р м а н а .

Теорию гидравлического интегратора для тепловых расчетов, основанную на аналогии м е ж д у тепловыми и гидравлическими явлениями, создал В. С. Лукьянов . Теорию электрического ин тегратора для тепловых расчетов р а з р а б о т а л Л . И. Гутенмахер.

Методика расчета поршневого пневмопривода методом	тео
рии подобия создана П . М. А л а б у ж е в ы м и В. В . Власовым	[ 2 ] .

В металлургии слитка метод моделирования и аналогии при меняют Г. П. Иванцов, Я. М. Гельфер и другие.

Обширные сведения о теории и практике моделирования в механике имеются в фундаментальных трудах акад . Л . И. Се


дова		(см., например			[ 7 6 ] ) .
Математические основы теории размерностей и теории подо
бия	изложены			в работах		П. В. Б р и д ж м е н а [ 5 ] , В. Гуревича и
Г.	Волмена		[20],		М. В.	Кирпичева и П. К-		Конакова	[43],
1-І.	Г.	Чеботарева			[88],	К. Д .	Воскресенского	[11], Л . И. Се
дова		[76], А. А. Гухмаиа				[21„ 22] и других.
	В	С С С Р	теория подобия				нашла широкое	применение	при
моделировании				гидротехнических сооружений — плотин,					кана

лов, речных потоков, фильтрации воды и размывов дна. Боль шая заслуга в этом принадлежит советским исследователям: Н. Н. Павловскому, А. П . Зегжде, М. А. Великанову, И. А. Ш а д рину и другим.

Применение теории подобия для моделирования в геологии описано в работах Б . Л . Шнейсерсона и Г. Н. Кузнецова. Вопросы моделирования тепловых процессов в металлургии

освещены в		книгах		А. Я. Рехтмана, Б. Л . М а р к о в а и В. А. Кри-
вандина	[68] и		Э. А. Иодко		и В. С. Ш к л я р	[35]. В. А. Вино
куров моделировал сварочные напряжения и деформации .
Применение			теории подобия д л я расчетов			м е т а л л о р е ж у щ и х
станков	и	процессов резания			описано в работах Б . Г. Лурье,
A. Н. Резникова, А. В. Темникова, И. П. Лимонова, Н. В. Ди -
легинского,		Н.	Н.	Р ы к а л и н а ,	А. В. Подзей,	Н. Н. Новикова,
B. Е. Логинова			и	других.

Исследование удара и взрыва методами моделирования опи сано в работах Л . И. Седова, Г. И. Покровского, И. С. Федо

рова,	Ф. Ф. Витмана, Н . А. Злотина, Н . Ф. Замесова, О. А. Б а й -
конурова, Д . Д . К а р а ж а н о в а , П. М. А л а б у ж е в а и Ю. В. Сидо
ренко.
Моделирование работы машин ударного действия проводи
лось	Б. В. Суднишковым, П . М. А л а б у ж е в ы м и другими.
Во	многих областях науки и техники применяется матема

тическое моделирование с помощью аналоговых и электронновычислительных машин [45] . Теорию моделирования успешно применяют в кибернетике — науке о моделировании в естество знании, в том числе при моделировании высшей мозговой дея тельности.

В нашей стране систематически проводят анализ философ ских проблем моделирования — одного из основных методов современного научного познания, проблем абстрогирования и моделирования, структуры процесса моделирования, типологии

моделей,	гносеологической (познавательной) функции моделей
и т. д.
Д л я	современной мировой науки и техники огромное зна

чение имеют труды основоположников теории подобия, и в пер вую очередь труды отечественных исследователей В. Л . Кирпи чева, М. В. Кирпичева, Н. Е. Жуковского, А. А. Гухмана,

А.Н. Крылова, Л . И. Седова, В. А. Веникова, В. С. Лукьянова

Л. И. Гутенмахера, Г. П. Иванцова, Г. К. Дьяконова, I-L И. Пригоровского, П . М. Алабужева, Н . Н . Ткаченко л других.

24. ПОДОБИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ (ЯВЛЕНИЙ)

Исходное дифференциальное уравнение или система уравне ний, составленные исходя из самых общих законов природы, является математической моделью класса физических процессов или класса явлений (например, класс теплопроводности, класс гармонических колебаний и т. д . ) . Интегрирование исходного дифференциального уравнения в общем виде дает бесчисленное количество решений, пригодных д л я данного класса явлений. Например, решение дифференциального уравнения теплопро водности Фурье д а е т решение, пригодное в общем случае д л я описания класса теплопроводности, а именно для теплопро водности при нагреве кузнечных заготовок, в стене здания, при нагреве штампов от горячих заготовок и т. д.

Если к исходному дифференциальному уравнению или системе исходных дифференциальных уравнений присоединить уравнения

условий

однозначности, то полученное

решение

применимо к бо

л е е узкой

части

класса

явлений.

П р и

этом

иод

уравнениями

условий

однозначности

понимаются

уравнения,

в ы р а ж а ю щ и е

геометрическое

подобие,

пропорциональность

всех

физических

величин,

пропорциональность

величин

в начальный

момент,

подобие

граничных

условий

пропорциональность

времени

протекания

процесса

(гомохронное

в р е м я ) . Совместное

решение

указанной системы уравнений дает решение для групп подобных явлений. П р и м е р о м группы подобных явлений могут быть про

цессы	нагрева	кузнечных слитков	в пламенных нагревательных
печах.	Р а з н о о	б р а з и е размеров и	сталей слитков, размеров пе

чей, режимов их работы в совокупности образует группу подоб

ных явлений — нагрев	кузнечных слитков в пламенных нагре
вательных печах.
Д л я исследования	е д и н и ч н о г о конкретного явления не

обходимо сузить понятие группы подобных явлений до еди

ничного конкретного явления . В теории подобия	доказывается,
что решение з а д а ч и д л я единичного конкретного	явления можно

получить, если в условия однозначности ввести конкретный чис ловой материал, определяющий размеры тел, их физические и механические характеристики, значение температуры в началь ный момент времени и конкретные условия на границе взаимо действующей системы тел. П р и нагреве кузнечных слитков запись в качестве условий однозначности конкретных размеров слитков, их свойств, начальной температуры слитков и печи и ее фактического режима нагрева дает систему уравнений, реше

ние	которой	применимо для	единичного	явления — нагрева д а н
ного	слитка	в данной печи	по данному	р е ж и м у нагрева.

Критерии и симплексы подобия. Д л я подобия явлении необ ходимо, чтобы условия однозначности были подобны, т. е. про порциональны. Пропорциональность условий однозначности по лучают умножением условий однозначности на коэффициенты, называемые множителями преобразования . Например, геомет рическое подобие кузнечных слитков определяют отношением их

средних диаметров Ki=-DcF	и длин Ki=——	(Ki—геометрический
d'	l	'
множитель преобразования) . Отношение		начальных	температур
	А	*ое ч и
на поверхности слитков и	печи / ( / = . '	и К>=	-они чхоэ
	t0	'печи
		IО

житель преобразования температур. Отношение физических

свойств, например температуропроводности					Ка~	—— множитель
						а'
преобразования		физического	свойства металла			слитка — свой
ства его температуропроводности. Множитель						преобразования
времени	есть отношение К-с =		—,	которое	называется		коэффи -
			т
циентом гомохронности подобных процессов.
В теории подобия доказывается, что д л я подобия двух физи
ческих	явлений	необходимо,	но	недостаточно		одного	подобия

условий однозначности. Н у ж н о , чтобы исходные дифференциаль ные уравнения, описывающие оба подобных явления, тожде -

стенно совпадали. Так как и в исходных					дифференциальных
уравнениях			и	в уравнениях условий однозначности содержатся
одни	и	те	ж е	величины (температура, время, физические свой
ства	и	т.	д . ),	то созместить требования	пропорциональности

условий однозначности и тождественности исходных дифферен циальных уравнений не простая задача . Д л я этого необходимо ограничить зыбор множителей преобразования, что достигается специальным анализом системы уравнений. При анализе выяв ляют безразмерные комбинации величин, приводящие исходные дифференциальные уравнения двух единичных явлений к тож деству. Эти безразмерные комбинации величин называются кри


териями подобия. Если в комбинациях имеются					однородные
величины	(например, только температура), то они				называются
симплексами			подобия.
Теоремы подобия. Основой практического применения теории
подобия	д л я		решения	конкретных научно-технических		з а д а ч
с л у ж а т так		называемые		теоремы подобия.
П е р в а я		теорема подобия, названная в честь ее			автора	тео

ремой подобия М. В. Кирпичева, определяет свойства, кото рыми д о л ж н ы обладать подобные явления. Она гласит, что если физические явления подобны друг другу, то все одноименные

критерии	подобия	этих явлений имеют	одинаковую	величину,
например,	Fo = F o ' = i d e m .
Вторая	теорема	подобия называется	п-теоремой и	р а з р а б о -

т а на Э. Букингемом . Она устанавливает, что интеграл системы уравнений, описывающих явление, может быть представлен в виде функции между критериями подобия. Другими словами, уравнения, связывающие п физических величин, среди которых k

величин имеют независимую размерность, всегда				преобразуются
к системе уравнений, в которую входят п—k				критериев			и
симплексов.
Третья	теорема	подобия сформулирована М. В. Кирпичевым
и А. А. Гухманом		и является основной. Согласно		этой		теореме,
д в а явления подобны, если они описываются одной					и	той	ж е
системой	уравнений ( п р и н а д л е ж а т		к одному и тому		ж е классу
явлений),	имеют подобные условия		однозначности	( п р и н а д л е ж а т

к одной и той ж е группе явлений) и равные определяющие кри терии подобия.

25. МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ

Если физический процесс имеет математическое описание в виде системы исходных уравнений и условий однозначности, то критерии подобия могут быть получены методами подобных преобразований этой системы. Существует несколько методов таких преобразований .

Метод интегральных аналогов заключается в том, что в си стеме дифференциальных уравнений и условий однозначности, описывающих физический процесс, производные от величин

м о ж н о заменить их интегральными

аналогами, т. е. отношением

этих

величин. З а т е м

делением

полученных

равенств

на один

из интегральных

аналогов

получают

безразмерные комплексы,

преобразование которых дает критерии подобия.

Пусть необходимо найти комбинации множителей

(крите

риев

и симплексов),

необходимых

д л я

подобия

двух

конкрет

ных процессов нагрева кузнечных заготовок в

нагревательной

печи с постоянной температурой . Исходное

дифференциальное

уравнение

используем д л я

трехмерной

задачи .

Д л я

первого

(натура)

процесса

нагрева

кузнечных

заготовок

(133)

З а п и ш е м условия

однозначности.

Н а ч а л ь н о е

условие

t |т=о =

const.

(134)

Возьмем граничное условие третьего рода с суммарным

теплообменом излучением и конвекцией [53]

«сум & — t a

(т)] =

— а,,

(135)

'м

Условие геометрического

подобия

А. = Ь-

•п

1'2


И т а к, необходимо			проанализировать систему	уравнений
(133) — (136)	методом интегральных аналогов для			нахождения
критериев и симплексов			подобия.
Вначале	найдем	интегральные аналоги. Д л я этого, отбросив
из уравнений знаки дифференциалов, интегралов,				сумм,	индек
сов и постоянных коэффициентов, заменим координаты					харак
терным линейным		размером /:

	-L	_		-L •
	т	~	а	р '
	t \|т=о =		'о =		const;
	а с ум t ~			\ ч ~Y >
	А. = J L = . . .			=	А = const.
Теперь нужно привести эти четыре уравнения к безразмер
ному	виду, дл я чего разделим			к а ж д ы й		член	уравнения на
какой-либо другой, например,			все		члены	правых	частей у р а в
нения	на левые части
	,1	=	- ^ ;
	1 =		-t* - ;
	і	=		^ м
		~		la	'

А н а л и з и р уя таким ж е образом уравнения, составленные д л я второго процесса нагрева, подобного первому процессу нагрева, найдем аналогичные безразмерные в ы р а ж е н и я :

К.

Г а '

Уравнения первого и второго процессов тождественно совпа дут и условия однозначности будут пропорциональны, если м ы соответственно приравняем полученные безразмерые комби нации:

ат _ а У	i o _ _ J ° _		Га' ;
/* ~~ (/')а '	t ~ Ґ '	la ~	Га' ;
_ к	_	_ Jn__	(137)

И з этих	равенств видно, что,	как	бы ни	изменялись	в про
странстве и	во времени в первом	и во	втором	процессах	нагрева

величины, входящие в безразмерные комбинации, в соответ


ствующих	точках		пространства	и в пропорциональные	(гомо-
хронные)	моменты		времени эти комбинации должны быть
равны. Другими		словами, эти безразмерые комбинации			величин
т а к изменяются		в	пространстве	и во времени, что в	соответ

ствующих точках в гомохронные моменты времени они будут равны между собой. В отличие от понятия константа (неизме няемость) такое подвижное во времени постоянство принято

обозначать термином

idem

(одно

и то

ж е ) .

Перепишем

равенство

(5)

в следующем виде:

idem;

(138)

А - =

idem;

(139)

- ^ = i d e m

или

^ - / =

idem;

(140)

— п = const,

т. е. получены критерии и симплексы

подобия. Выражение (138)

есть известный

критерий

подобия

Фурье ^Fo = - p - j ,

(140) —

критерий

подобия

Био ^ B i =

•—-

( 1 3 9 ) — с и м п л е к с

подобия

температурного

поля,

( 1 3 6 ) — с и м п л е к с

масштаба

геометриче

ского подобия или просто масштаб геометрического подобия.

Метод масштабных преобразований Л . С. Эйгенсопа

заклю

чается в

том, что

все

величины,

входящие

в систему

уравнений,

у м н о ж а ю т на соответствующие масштабы подобия [89], Полу ченные пропорциональные величины приравнивают одну к дру гой, получая систему равенств. Делением одной части каждого равенства на другую получают безразмерные величины, равные

единице. В эти величины подставляют							соответствующим	им
параметры		и после группировки находят критерии подобия.
	Приведем пример нахождения описываемым методом крите
рия .подобия из уравнения				движения	Навье - Стокса:
		dm*	dwv	dw7		1	dp	( H i )
		+ ж»	^	+ ^ i f = T 4 + W 4 .				( H i )
		~дГ "Г" у	дІГ^""* дг		~	р	• дх
где	wx, Уі	г — проекции		скорости	движения на координатные
		оси;

р— плотность, кг/м 3 ;

р— давление, кГс/м 2 ;

v— кинематическая вязкость в кг - с/м 2 ;

V 2 — оператор Л а п л а с а .


Введем масштабные	коэффициенты			/о, и0, ро, v 0	и ро и за
пишем пропорциональные	величины:
х = l0X, wx = u0Wx,				р = р0Р,
v = v0 /V, p = p0R,		у = / 0 К, wy = « 0 W y >
z = l0Z; wz			= u0Wz.
З а п и ш е м уравнение	(141)	в	пропорциональных		величинах,

вынося масштабны е коэффициенты левой части уравнения за скобки:

W T ^ -	+ W V - ^ \	=	L .	J L	+ ^ l N 4 W X .	(142)
' а Х	dZ J	pBt0	R	дХ	/2

Чтобы физические процессы, описываемые уравнениями (141)

•« (142),		были подобны, необходима их тождественность.						Д л я
этого	коэффиценты при членах уравнения (142) д о л ж н ы							быть
равны, т. е. д о л ж н ы			быть равны		пропорциональные		величины
			и2
			"о	Ро	. vo"o
В	это	равенство	подставляем		соответствующие	им		пара
м е т р ы :
			О)3	р	VW
Д е л я		второй член полученного			равенства на	первый, по
л у ч и м
			1 -	"
				pw2
т . е. критерий подобия Эйлера				Еи= — ^ — , в ы р а ж а ю щ и й			подобие
движения		жидкости .
Метод		приведения	уравнений к безразмерному			виду		отли

чается от метода масштабны х преобразований тем , что про порциональные величины у членов уравнений приводятся к

безразмерному	виду.
Пусть требуется найти критерий подобия граничных условий,
определяемых	уравнением
	- l ^ = a	( t r - Q .			(143)
	on
Введем масштабны е коэффициенты			Я,о, to,	п0. аэ и	запишем
пропорциональные величины		%=XqL,	t=toT,	n=ru\N,	a—aoA.

Т о г д а уравнение (143) будет иметь вид

- \ L - ^ . ^ - = aQAt0(RF-TN).

(144)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2015 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ