книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка
.pdfFf— преобразование Фурье функции / (х):
Ff = |
\f(x)ei{xX)dx, |
R"
£ = (£,. • • • . £„), (*. £) = *,£, + • • • + *„£„- £' = ( £ , . • • • , £„_,)•
Операторы Л + , Л+1 — операторы |
свертки с постоянным |
сим |
||||||||
волом |
в R". |
Их свойства |
хорошо известны |
[36]. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
Покажем, |
что сужение v(x) |
на |
Q принадлежит WP(Q). |
Нач |
||||||
нем с доказательства включения |
v£W™(Rn). |
Функция |
u£W™(Rn), |
|||||||
так |
как |
и £ W™ (Q). |
Тогда |
и |
Ап |
(А) и (х) яр2"-1-1 (х) £ W% (Rn). |
||||
Функция |
A+(An(h)u(x)ty2m+1 |
(x))£Lp(Rn) |
|
и выполнена |
оценка |
|||||
|
|| Л+ (Д„ (А) и (х) |
(х)) | | i p W n |
) < |
С || А п И ) 2 т + 1 | | и У > Л ) |
(II-10) |
с постоянной С, зависящей лишь от т, п, р. Достаточно прове
рить, |
что |
для f£Wp(Rn) |
справедливо неравенство |
|
||||||||
|
|
|| F-1 |
(- Цп + (| £' | + 1)) ^ \\Lp{Rll) |
< |
С || / |
| Ц ( Я Я ) . |
|
|||||
Оно |
следует |
из |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
F - 1 |
( - / £ „ + | £ ' | + D ^ |
= a|- |
+ /+2^-, |
1 |I ^J- |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
*=i |
|
h |
|
и того, |
что |
j^T-j — мультипликатор |
в Lp [164, 37]. Аналогично |
|||||||||
проверяется, |
что для |
f£Lp(Rn) |
имеет |
место оценка |
|
|||||||
|
|
II F~l |
( - Ип + | £' | + 1 Г ' ^ |
|
< С Н / 1 | , ( Л П ) . |
|
||||||
Отсюда и |
из |
(11.10) следует, |
что v£Wp(Rn) |
и |
|
|
||||||
|
|
|
I I w . I U ,*«, < с |
II \ |
(ft) " W |
W I U |
(««)• |
(П. 11) |
||||
|
|
|
|
р |
|
|
р |
|
|
|
|
|
Функция |
|
Л + ' 0 ( х ) Л + |
{Ап(А) «(х)^ 2 " 1 * 1 (х)}, а следовательно, |
и о |
||||||||
равна нулю при хп < 0, |
так |
как |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Ф (0 ^ F {Л+'б (х) Л+ (Дп |
(А) и (х) я | Л + 1 |
(х))} |
|
||||||
допускает |
аналитическое |
продолжение |
по |
£л в полуплоскость |
||||||||
Im tn |
> 0 |
и |
J | Ф (£', |
+ it) \Ч1п < С, где С не зависит от т > 0. |
80
Таким образом, v£W™(JRn) и v равна нулю вне Q. Отсюда следует, что сужение v (х) на Q, которое также обозначаем че-
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
рез |
v(x), |
принадлежит |
Wp |
(Q). |
|
|
|
определяемую |
формулой |
||||||
|
Подставим в (II.3) функцию v(x), |
|
|||||||||||||
(II.9), и |
покажем, как |
|
оценивать возникающие при этом слагае |
||||||||||||
мые. Если |
для |
мультииндекса |
а = (о^, . .. , а я ) |
выполнены |
усло |
||||||||||
вия |
| а | = |
т |
и |
ап < т , |
то |
представим |
a = e i T o ' , с i < n |
и, ин |
|||||||
тегрируя |
по частям, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
j |
Л„ (*, и |
|
, Dmu) |
Davdx |
= |
— j -~ |
|
Аа |
(х, ..., |
Dmu) Da'vax |
= |
||||
|
|
|
|
|
Л а Р (х, |
... ,Dmu)De^- |
+ |
Aat(x, |
D m « ) l £ > a W |
||||||
|
|
й |
401 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.12) |
|
|
Для таких a, используя (11.11), получим |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
при |
р = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- rjj" |
|
Аа(х,и,... |
,Dmu)Davdx |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
*l\TK(V(^)mu\Y2m+l)(x)dx |
|
|
|
+ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
n—l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В + |
(Я0 ) *=1 101="» |
|
|
|
|
|a|<m |
' |
|
|
||
|
при |
р > |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|лв (дс, |
«, |
- |
,Dmu)Davdx\< |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< С г { ( i + s i o " « w i p 5 ' s | D e ^ f + |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
В+(^о) |
|a|<m |
|
|
|
<=1 |0|=m |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
+ |
( |
1 + 2 |
\Dau{x)\)P\dx, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
V |
|a|«m |
|
|
/ |
' |
|
|
|
|
где |
e — произвольное |
положительное |
число. |
|
т. |
|
|||||||||
Аналогичная |
(11.13) |
оценка |
имеет |
|
место при |
|а| < |
Пусть |
||||||||
v — мультииндекс вида (0, . . . , 0, т) и покажем, |
как оценивается |
||||||||||||||
стоящий в левой части (11.13) интеграл при a =v. |
Преобразуем vt: |
||||||||||||||
|
vi |
(*) = An (h) и (x) Tj5A J m + " (x) - |
А Г |
[1 — 6 (x)] A+ |
x |
|
6—843 |
81 |
X (An |
(h)u(x)tfm+* ( х ) ) ^ " + 1 (x) + |
[ЛИ1 - |
Л+1 ] |
x |
X (1 — Q(x)) A+(hn(h)u-tfm+i |
(x)) \\>2m+] |
(x), |
(11.14) |
|
где |
|
|
|
|
|
л : 1 / = / г ~' [ - ' £ „ - i n |
|
|
|
Второе слагаемое справа в (11.14) равно нулю в Q, так как преобра |
||||
зование Фурье |
выражения |
|
|
|
|
ЛГ1 (1 - 9 (х)) Л+ (Д„ (h) и(х) |
г|>2 т + 1 (х)) |
|
|
аналитически |
продолжается по £п в полуплоскость |
1 т £ л < 0 с |
соответствующей интегральной оценкой (см. для Ф(£) выше).
Третье слагаемое справа в (11.14) будем |
преобразовывать, исполь |
|||||||||||||
зуя равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
[ Л + 1 |
- AZ1) f = F - 1 |
{ [ - цп |
+1 с | + |
i ] - m - [ - кп |
- |
||||||||
|
- |
|
IС 1-1 Г " ) П |
= |
2 / 7 - 1 |
{(| V\ |
+ |
\)P |
(О Ff) |
= |
|
|||
Здесь |
для |
Р (£) справедлива |
оценка |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
| Р ( £ ) | < С ( 1 + 1С I)-™"1. |
|
|
|
|||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о2 |
(х) = |
[AZ1 |
- Л+1 ] (1 - |
|
Э (х)) Л + |
( |
A |
^ |
+ L |
(х)) г | Л + 1 (х) |
= |
|||
|
|
|
п—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= S - 4 " t e w |
|
^ 2 m + 1 w |
} |
+ ё |
о |
{ x ) ^ l { x ) ' |
|
( I L 1 6 ) |
|||
где |
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g, (x) = |
- |
2F~X l^^-F |
|
{(1 - |
Э (x)) Л+ (Kutfm+X |
(x))}, |
|
||||||
|
g0 (x) = |
- |
2F~XP (t^F |
{(I —8 (x)) Л+ (Д^ 2 " 1 " 1 " 1 (x))} у |
- |
|||||||||
и для gL(x), |
|
i = |
0, |
|
— 1, справедлива |
оценка |
|
|
||||||
|
НгЛ*)1|<+ 1 (^, < |
СII Д„(Л)"(х)я13 2 т + 1 (х)|к-{ Л «) . |
(11.17) |
|||||||||||
Используя |
(11.14) — (11.17), |
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
j |
4 , (*, и, . . . |
, £>ти) (Д-^ |
|
и (х) dx = |
|
|
|||||
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
82
= |
j {Д„ (A) Av (x, и,..., |
Dmu) ( |
g ^ X (А) и (x) ^2(2"'+,) |
(x)\ + |
||||
|
я |
|
|
|
n |
|
|
|
|
n—1 |
|
|
|
Dmu) (a^-flJr I8t |
|
|
|
+ |
£ |
К (Л) A, (x,u,..., |
|
W * 2 m + ' ( * ) ] |
+ |
|||
|
+ |
ЛВ(А) 4 V |
(л,а |
|
|
Dmu) (з|-|тfe0(x)tf"(x)]} d*. |
||
нивая, |
пользуясь |
формулами |
(II.2), (II.6), |
получим: |
|
|||
при р = 2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
-р- f Д, (х, |
|
|
£>т«) Dvt> (х) dx > |
|
||
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
- с |
I {2 Sl^r+O + S'^w1)'!^ ( п л 8 ) |
||||||
|
|
В + ( Л . ) 7=1 ip|=m |
|
' |
ia!«m |
J |
|
|
при р > 2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
7Г j Л * (*, и, . . . , £>ты (х)) Dv y (*) |
> |
|
||||
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
"Г j ТIА » W (a^f" W f(l + 2l Z>v" |)p-42(2m+1) (x) 4* - |
||||||||
|
- c |
j {(1 + |
2 1 |
в |
- . » |
д м 2 |
S K ^ + |
|
|
|
(Л>) |
lvl<"» |
|
|
/=1 |3|=m |
|
|
|
|
+ |
( l + |
. |
2 |
\Dyu(x)\Y\dx. |
|
|
Отсюда и из (11.13) следует при р = 2
яп
|a|<:m
"2
83
при р > 2
| ^ | ) ^ А п ( 4 - ) т « | У ( 2 ' п + , ) М ^ < (11.19)
1 V 0' |
••' |
lv|<m
Из последнего неравенства и леммы 1 с помощью разбиения единицы непосредственно получаются следующие утверждения.
|
Лемма |
2. Пусть р = 2 |
и |
|
|
|
о |
|
|
|
|
решение |
||||
|
и (х) £ W% (Q) — обобщенное |
|||||||||||||||
уравнения |
(II. 1), |
причем |
функции |
Аа |
непрерывно |
дифференцируемы |
||||||||||
и |
удовлетворяют |
условиям |
|
(II.2). |
Тогда |
и (х) £ |
(Q) |
и |
имеет |
|||||||
место |
оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ul+ |
£ |
\Dau(x)\\2dx |
|
|
< С |
J |
/ 1 |
+ |
%\Dau(x)\ydx |
|
(11.20) |
|||||
£2 \ |
| a | « m + l |
J |
|
|
|
|
Q |
\ |
|
la|«m |
J |
|
|
|||
с постоянной С, зависящей |
|
лишь |
от MQ, Cv |
С2, т, п, р, Q, |
|| ga |
2. |
||||||||||
|
Лемма |
3. Пусть и (х) £ |
о |
(Q) — обобщенное |
решение |
уравне |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
ния (И. 1). |
Предположим, |
|
что |
функции |
Аа |
непрерывно |
дифферен |
|||||||||
цируемы и |
удовлетворяют |
условиям |
(II.2). |
Тогда |
при h > 0 |
имеет |
||||||||||
место |
оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
/1 £ £ |
|
Sl^lY | A £ ( A ) Z ^ ( x ) | 2 d * ^ |
|
|||||||||||
|
|
i = l |p|=m |
ЙЬ \ |
|oKm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\"dx |
|
|
(11.21) |
|
|
|
|
Я |
|
\ |
\a\<g.m |
|
|
|
|
|
|
|||
с |
постоянной С, |
зависящей |
лишь |
от М0,С{,С2,т,п, |
|
p,Q,,\\ga\\U2. |
||||||||||
|
Здесь |
Q„ — подобласть |
области |
Q, |
состоящая из |
всех |
точек |
|||||||||
Q, |
отстоящих от |
границы |
Q на |
расстояние, большее |
чем |
h. |
вд
§ 2. Регулярность решений в случае двух независимых переменных
Из полученного в гл. I условия регулярности обобщенного решения квазилинейного эллиптического уравнения произвольного порядка и результатов предыдущего параграфа непосредственно следует
регулярность |
обобщенного |
решения |
внутри плоской |
области Q |
|||||||||||||
(т. е. в предположении |
п = |
2). |
|
|
|
|
' |
• |
|
|
|
||||||
Будем |
изучать |
дифференциальные свойства |
|
обобщенного ре |
|||||||||||||
шения и (х) £ W™ (Q) |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
£ |
(- |
\)mDaAJx,u |
|
|
|
Dmu)= |
J |
( - |
l)^DaFJx) |
|
. (11.22) |
||||||
loc| <gm |
|
|
|
|
|
|
|
|ccl<m |
|
|
|
|
|
|
|
||
в случае |
плоской |
области Q, предполагая, что Fa£B%°(Q) |
с не |
||||||||||||||
которым |
Р 0 > 1 . функции |
Аа(х,1) |
при |
x^QcuR2, |
£ = |
|
|||||||||||
: | а | < / я } £ . / ? |
дважды |
непрерывно |
дифференцируемы |
по всем |
|||||||||||||
аргументам и с некоторым р > 2 выполнены неравенства |
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
4*(* . 9vb > c i n + |
isi).', ~*hf\ |
|
|
О"! |
|||||||||
|
|
|a|=|0l=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.23) |
||
Б |
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
< И,*? (*• 91 v 2 © + И в £ |
(*. Э I V © |
+ |
|
|
|||||||||||||
;,i=l |
|o|,|Pl.|vKm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
+ |
\АЫ1(х, |
| ) | } < С 2 |
[7(g)]"-1 . |
|
|
|
|
|
||||||
где Сг , С2 |
— положительные |
постоянные, У(£) = |
1 + |
|
|
|
|||||||||||
A |
(xt) |
d*Aa{X'l) |
|
|
A |
to Э |
- |
^ |
^ |
|
|
|
|
||||
Замечание. |
Второе |
условие |
в |
(11.23) |
может |
быть |
ослаблено. |
||||||||||
•Например, |
при | а | + |
| Р | + |
| у | < З т |
можем |
предполагать |
|
|||||||||||
с произвольным р{ |
< + оо (ср. условие |
(1.30)); |
при ^ > 2 |
усло |
|||||||||||||
вие на Л а |
(х, £) |
может быть |
изменено в соответствии |
с |
замеча |
||||||||||||
нием § 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из теоремы 1 получим, что для произвольного обобщенного решения и(х) уравнения (11.22) и произвольной <р(х)£С|Г(Q)
(функцию Ыф считаем продолженной нулем вне Q). Из
W?+l (R2) = Bf+l [R2)
85
(см. [112], стр. 391) получаем, что и (х) удовлетворяет условию регулярности (1-28). Следовательно, по теореме 4 гл.1 и(х)£
£C'(Q). Применяя теорему 11.4 книги [1], устанавливаем сле дующий результат.
Теорема |
2. Пусть и (х) £ |
(Q) — произвольное обобщенное |
ре |
|||
шение уравнения |
(11.22). |
Предположим, что Fa^B2°(Q,), |
р 0 > |
1, |
||
функции Аа |
(х, |) |
дважды |
непрерывно дифференцируемы |
по всем |
||
аргументам |
при x £ Q , %£RM |
и удовлетворяют условиям |
(11.23). |
Тогда |
при некотором 10 > 0 и (х) £ С"'и (О). |
решения |
вблизи |
гра |
||
При изучении |
поведения |
обобщенного |
||||
ницы |
дО. области О. будет в |
дополнение к условиям (11.23) |
пред |
|||
полагаться |
|
|
|
|
|
|
|
Ла ( } (х, |
I) = Л р а (х, |
g) при x£dQ, |
| 6 R M , |
(П.24) |
|
|
|
|
|a| = |
|Pl = m. |
|
|
Это условие, например, всегда выполнено для вариационных уравне
ний.
Нам понадобится вспомогательное утверждение о свойствах обоб щенного решения линейного эллиптического уравнения произволь ного порядка с ограниченными измеримыми коэффициентами. Пусть
о
v (х) €W2(Q) — обобщенное решение уравнения
|
£ |
|
(-\)^Da{a^(x)D^v} |
= |
у |
(- |
ipD%, |
(11.25) |
|||||
|a|.|B|«m |
|
|
|
|
|
|a]«m |
|
|
|
||||
т. е. для произвольной функции |
<р (х) £ |
|
(Щ |
|
|
|
|||||||
|
|
$ |
2 |
а^х) |
D*oD*<pdx = $ |
V |
fJPydx. |
|
|||||
|
|
Q |a|.iP|<m |
|
|
|
|
a |
\a\Km |
|
|
|
||
Область |
О, сейчас |
можем считать |
|
я-мерной. |
Предположим, |
||||||||
что с положительными постоянными |
kvk2, |
&2 |
> |
1, ограниченной |
|||||||||
измеримой |
функцией |
а(х), |
а ( х ) > 1 , |
и некоторым "к, |
0 < А , < 1 , ' |
||||||||
выполнены |
неравенства при ц, £,£RN'- |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|a|=|PI=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
S |
|
I а«э (*)!<*«• |
|
(11.2 |
||||
у I S |
|
|
|a|.|PI«m |
|
|
|
|
|
|
|
|||
KPW-«paWl^e |
|
<kta(x)X\i\\\Z\ |
|
||||||||||
|
I lal.|PI=m |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Лемма |
4. Пусть |
|
|
|
|
|
|
решение |
уравне |
||||
v (x) £ Wt* (^) — обобщенное |
|||||||||||||
ния (11.25). |
|
Предположим, |
что коэффициенты |
а^ |
(х) измеримы и |
86
удовлетворяют условиям (11.26), 3 Q £ C ^ |
Тогда |
при |
некотором |
q, |
||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q = |
2 -4- q |
с положительным |
и зависящим только |
от X, |
п, |
|||||||
т, |
решение v (х) |
принадлежит |
(Q), если fa |
£ L q |
(Q), и |
выполне |
||||||
на |
оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
L , < c A { |
£ |
| | / а ц , ч |
( й ) |
+ 1 | , L J |
(и.27) |
||||
|
|
|
1 |
MaKm |
|
|
|
|
> |
|
|
|
с постоянной |
С, |
зависящей |
только |
от |
X, |
Q, |
т. |
Здесь |
|| • || |
— |
норма в Wq(Q).
Лемма, по существу, доказана И. Нечасом в работе [109]. Для полноты изложения проведем ее доказательство, а также потому, что И. Нечас предполагал отсутствие младших членов в (11.25). Достаточно доказать неравенство (11.27) в предположе нии аа$(х), fa{x)£Ca' (Q), так как случай измеримых ограничен ных коэффициентов aa p (х) и принадлежащих L q (Q) функций fa(x) получится соответствующей их аппроксимацией. Поэтому можем считать v £ С°° (Q).
Пусть р* = п_2 • Покажем сначала, что для произвольного
о
обобщенного решения w (х) £ Wf (Q) уравнения
|
|
|
|
£ |
D a { 6 a p |
D V } = |
£ D*ga |
|
|
(П.28) |
||||||
|
|
|
|
|a|=|P|=m |
|
|
|
|
|
|a|=m |
|
|
|
|
||
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ a € C ~ ( Q ) , ^ = = ± ^ + |
- L , |
0 < т < 1 . |
|
|
||||||||
выполняется оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
{ S I I л С < Ц г |
( т > |
< |
с о { |
I ! |
У*IC«1rW |
|
|
( I L 2 9 ) |
|||||
|
|
|
Ma|=m |
|
J |
|
|
l | a | = m |
|
|
' |
|
|
|||
с |
некоторой, зависящей |
лишь |
от |
й, т |
постоянной |
С0 . |
Здесь |
|||||||||
б о |
р |
= 0 п р и а ^ р , б а Р = 1 |
при |
а = |
р. |
Оценка |
(11.29) |
при |
т = 0 |
|||||||
получается |
непосредственно |
из |
интегрального тождества, |
если |
||||||||||||
подставить |
ц> = w. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Оценка (11.29) в случае т = |
1 следует из работы [1]. Отсю |
|||||||||||||
да |
|
легко |
получить |
по |
интерполяционной |
теореме |
М. Рисса |
|||||||||
[82, |
63] |
оценку (11.29) |
при любом |
т: |
0 < |
т < |
1. Покажем только, |
|||||||||
к какому оператору следует применять теорему |
Рисса. Набору |
|||||||||||||||
функций |
{ga:\a\=m}, |
|
принадлежащих |
L r |
(Q), |
ставим |
в со- |
87
ответствие функцию g (х), определенную в G = \ J Qa по пра-
|<х|=т
вилу
g(х) = ga(х — аА) при x£Qa,
Qa = Q -|- а А и число А выбрано так, |
чтобы |
области |
но не пересекались. Тогда теорему Рисса |
применяем |
|
тору L , действующему в комплексных |
пространствах |
|
О < т < 1, по правилу |
|
|
(Lg) (х) = Daw (х — а А) |
при х £ й а > |
о
где w(x)£W? — решение уравнения (11.28). Перепишем теперь уравнение (11.25) в виде
Qa попар к опера L r ( (G),
V D a { 6 a p D ^ = £ |
D a £ |
K , - ^ \ D a v |
+ Ta\, (П.ЗО) |
|
1а|=|PI="> |
|a|=m |
|PI=mL |
2 J |
J |
где
?a = - S ( - i ) l v , z ? v + a % v W + S ( - D M A v w ,
ia+Vl<2m |
|
|
|V|<m |
|
|
||
% (*)> %v W £ ^2" |
Л ^ 2 |
(^) — решения соответственно |
уравне- |
||||
Н И И |
|
|
|
|
|
|
|
с- D" 2D4v - ^ w |
|
|
(- Dm 2 o \ = ^ V |
||||
lct|=m |
|
|
|
|
\a]=m |
|
|
Из априорных Lp-оценок |
решений линейных |
эллиптических |
|||||
уравнений [1] и теоремы |
вложения |
получим |
|
|
|||
I I I \ |
i m <cl\\v |
i u > 2 |
+ |
2 1 / . k r . . |
J |
(И.31) |
|
с постоянной С, зависящей лишь |
от Q, /п. |
|
|
||||
Применим к |
(11.30) неравенство |
(11.29), замечая, что |
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
f(t) I |
|
|
Ma|=m |
|PI=mL |
2 |
J |
|
|
|
|
= s " p j |
S (2 |
KP—^V*+7ekw<i*< |
|
||||
° Й |a|=m MPI=mL |
2 |
J |
J |
|
|
<1 — - 1 ( 1 _ Я ) supjjSpVl ISft*}dx+
88
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
P . - 2 |
|
|
{S ft |
с |
r(x) |
|
1 _ |
-A ( 1 - й , ) |
|
2p. |
|
|||||
+ |
|
|
|
(T) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(Т ) (Й) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(T) |
|
|
|
|
|
|
|
|
r(t) |
(11.32) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
la|=m |
|
|
|
|
l |a|=m |
|
|
|
|
|
||
Здесь sup |
|
берется |
по всем таким |
ft \a\ |
= m, |
что |
|
|||||||
|
|
V |
II ft 1Г'(Т' |
= |
1 |
|
|
r' (x) = |
л |
( т |
) |
|
||
|
|
|a|=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценка |
|
(11.27) |
следует |
из |
(11.29), |
(11.31), |
(11.32), если |
q взять |
||||||
равным г(т) при |
таком значении |
т, |
что |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. Р.—2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - £ ( 1 - Я ) ] ^ < , - М 1 г » . |
|
||||||||||
Доказательство |
леммы |
закончено. |
|
|
|
|
что п —• |
|||||||
Дальше |
|
везде в настоящем |
параграфе предполагается, |
|||||||||||
размерность области Я — равно |
двум. |
|
|
|
|
|
||||||||
В силу |
|
(11.24), |
(11.23) |
можно |
выбрать |
такую |
подобласть Я' |
|||||||
области Я, |
что Я ' с Я и для |
х £ Я \ Я ' , |
%£RM, |
|
|
|||||||||
|
|
2 |
\Аа^хЛ)-А^(х,1)\<^(1 |
|
|
|
|
|
\1\)р-\ |
(И.ЗЗ) |
||||
\а\=т=т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Сг — та же постоянная, что и в (11.23). Выберем |
произвольно |
||||||||||
расширяющуюся последовательность подобластей Qt |
области Я, |
||||||||||
О < t < |
1, так, чтобы |
при 0 < |
tx |
< |
t2 < 1 |
|
|
|
|
||
|
Я |
ел Я, о Я , |
с : Я с=Я, |
с=Я, т е з ( Я \ Я „ ) < |
1, |
|
|||||
|
|
dQtCzC00, |
т е э ( Я \ Я г |
) - ^ 0 |
при |
t-*-l. |
|
|
|||
Здесь |
|
Яг — замыкание |
области |
Я4 . |
|
|
|
|
|||
Через |
ип (х) в дальнейшем |
обозначаем |
обобщенное |
решение |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
уравнения |
(11.22), принадлежащее |
W% (Я). |
|
|
|
||||||
Лемма |
5. Существует |
tr < |
1, зависящее от С,, С2 , р, |
||ы0 | | т р , |
|||||||
|| Fa || в р,,, |
такое, что задача |
|
|
|
|
|
|
|
|||
£ ( - l ) | a l D a { ^ ( x |
|
D m t , ) - F J = £ |
( - l ) | a | D ^ a , |
||||||||
|
|
|
^ « 0 |
+ |
^ ' ( Я 4 ) , |
|
|
|
(11.34) |
89