книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка

них точек с границами Slt

S2, А : Sx [) S2 -> X* — ограниченный

деминепрерывный оператор,

удовлетворяющий условию а), и пусть

ствует, например, в случае равномерно выпуклых X, X*

(дуальный

оператор).

Пусть

S — граница звездной

относительно

нуля

об­

ласти.

Теорема 1. Пусть Аъ

А2 '• S -> X* — ограниченные

деминепре-

рьшные операторы, удовлетворяющие условию а). Поля

Аги,

А2и,

не обращающиеся

в нуль

на S,

гомотопны

на S, если

их

вращения

одинаковы.

В случае вполне непрерывных векторных полей аналогичная

теорема доказана М. А. Красносельским [81].

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Построим произвольно

расширяю­

щуюся последовательность пространств F„. Существуют

проекторы

Р„ : X -*• X

такие, что

PlPi

= P}Pt

= Pt

при i <

j ,

PtX = Fti

через P*t обозначим сопряженный

к Pt

оператор.

Докажем

существование

N

такого,

что при n^>N,i =

\,2

поля

Х<'> (и, 0 = t

{(1-Р'п) A0(]~Pi)u

+ P'nAtu}

+ (1 - 1 )

Atu;

не обращаются

в нуль

при u£S,

^£[0,1].

Предположим

противное:

существуют

последовательности

uk

^f t £[0,l]

такие,

что

Можем

считать,

что

последовательность

uk

слабо

сходится к

некоторому и0, th

сходится к

^0. И выберем последовательность

wh так,

чтобы

wk-*~u0,

wk£Fnk.

Замечая,

что

< h < l ,

1) =

(/ -

Г„) А0(1-

Р„) и +

P'NA.u,

i =

1,2.

Из леммы 5 следует, что N можем считать выбранным так,

что­

бы

вращения полей

N

(А{и,

vjv.,

i =

ф<<>(Ц) = £

1,2,

на

SN

совпадали

соответственно

с

вращениями

полей

А{

и

(vv...,vN

— базис

FN).

Тогда

по

условию

теоремы

вращения

полей

Ф^> (и), i = l , 2 ,

на

SiV

одинаковы

и

по теореме

Хопфа

существует поле

N

HN(U>

0 =

£

с, (и,

0

о,,

1=1

определенное, не обращающееся

в

нуль на SNx[0.

1]

такое,

что

с, (и, 0) = (Аги,

vt),

с, (и,

1) =

(Л2 ы, о,).

(111.23)

Применяя теорему Урысона, продолжим ct(u,t)

на

5 х [ 0 ,

1] не­

прерывным образом так, чтобы (III.23) выполнялось

при

и £

S.

Пусть

еще Р*ы определяется равенством

/=1

Тогда

гомотопию полей

(и,

1),

i=

1,2,

можно

представить

в

виде

Н (и, /) =

(/-

Гы)

AQ (I-PN)U

+

V

с. (и,

t) h..

/=i

Легко проверить, что выполнены все условия определения 4.

Сейчас предположим, что А : D

X* — ограниченный

деми-

нения Аи =

0 внутри области.

Определение

5. Точку u0£D

назовем

критической

точкой поля Аи, если Аи0 = 0.

Аи, т. е.

Пусть и0

— изолированная критическая

точка

поля

существует

г0 >

0 такое, что в шаре ВГщ(и0)

радиуса г0 с

центром

9'

131

гичко доказательству

леммы

4 проверяется,

что вращение

поля

Аи на сферах Se (ы0) радиуса

е с центром в и0

не зависит от е при

О < е <

г0 .

Определение 6.

Индексом

изолированной критической точки и0

называем вращение поля Аи

на Sr „

(«0 ).

Аи не

обращается в

нуль

Теорема

2. Предположим,

что

поле

на S и имеет в D

только

изолированные

критические точки.

Тогда

критических

точек

конечное

число и вращение поля Аи на S равно

сумме индексов всех критических точек в D.

Предположим сначала

от

противного, что

критических

точек

бесконечное

число

ut,

i =

1, 2, . . . Можем

считать, что щ слабо

сходится

к

щ. Тогда

(Ащ,

щ — и 0 ) = О

дует, что и0—неизолированная

критическая точка поля

Аи,

что

противоречит

предположениям.

поля Аи

в D через ult

. . . ,

uh

Обозначим

критические точки

и выберем е >

0 настолько малым, чтобы

шары

ния

Аи = 0,

(111.24)

обобщающий

признак Лере — Шаудера.

Принцип

ненулевого вращения. Пусть

А : D -> X* — ограни­

непрерывным,

если

он

отображает слабо

сходящиеся последова­

тельности

в сильно

сходящиеся.

Лемма

10.

Пусть

А : D -*- X* — ограниченный

хеминепрерыв-

ный оператор

с полуограниченной вариацией,

Т : D

X* — строго

непрерывный

оператор

и D — выпуклая

область пространства

X.

Для

того чтобы

уравнение

Аи + Ти = 0

(111.25)

было

разрешимо

в D, достаточно,

чтобы вращение

поля Аи +

Ти

на S

было отличным

от

нуля.

Из сформулированного выше принципа разрешимости уравнения

(II 1.24) и определения

вращения

поля

Аи + Ти получаем суще­

ствование последовательности ип такой, что

Аип

+ Тип

О, ип ™- и,,,

ип

£ D,

и0£ D.

(111.26)

Из строгой

непрерывности Т

имеем

Тип-+Ти0.

(111.27)

Пусть v — произвольный

элемент

X,

||о|| =

1. Переходя к пре­

делу

при п -> со в неравенстве

(Аип — А («о +

tv),

un

— u0

— tv)>—C

(R, || ип

— и0 — tv ||'),

получим из (111.26), (111.27) при достаточно

малом

положитель­

ном t

(-

Ти0 —

А(и0

+

tv), t i ) < y C (R,

|| tv

||').

Устремляя t

к

нулю,

имеем

(Ти0+

Аи0, v) >

0.

Отсюда, в силу

произвольности v,

следует

Аио + Тио = 0,

что и доказывает

лемму.

Одним из признаков отличия от нуля вращения поля может

служить такая

теорема.

Теорема

3.

Пусть

ST

(0) = {и £ X: || и || = г}

и

A: Sr (0) -»-

X* — ограниченный

деминепрерывный

оператор,

удовлетворяю­

щий

условию

а). Предположим, что поле

Аи не обращается в нуль

на сфере Sr(0)

и

для

u£Sr(0)

|| А» II.

Ч И ( - и ) | | .

.

(Ш.28)

Тогда вращение на Sr(0)

поля

Аи — нечетное

число.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим гомотопию

Аи — tA(—

и),

u£Sr(Q),

/£[0,1].

U — некоторая окрестность нуля пространства

X, А : U

X* —

ограниченный деминепрерывный оператор, удовлетворяющий

усло­

вию а) и пусть нуль — критическая точка поля

Аи.

Предполагаем, что существует производная

Фреше оператора А

в нуле, которую обозначим через Л', и существует линейный

вполне

.

1)

((А'

+

Г) к, и) > 0 при и Ф 0;

2)

оператор

L =

(Л' + Г ) - 1

Г : Х->- X определен

и вполне

непрерывен;

3)

при

достаточно

малом е

слабое замыкание

множества

£

1

II «II

0 < * < 1

j

не содержит

нуля.

При выполнении сформулированных предположений имеет место

теорема.

Теорема 4. Если уравнение А'и

= 0 имеет только

нулевое

реше­

ние,

то

нуль

является

изолированной

критической

точкой

поля

Аи

и индекс нуля

равен (— l ) v , где v —

сумма кратностей

характе­

ристических

чисел оператора L , лежащих на интервале (0,1).

£

сп\" •

Р > 2>

Р ~~ четное.

п=1

)

Оператор

А определяется равенством

(Аи,

v)=l

j ^ i

+

_ 2 ^

|

dn

,

(П1.29,

п=\ '

J

где и ~

{сп},

v = {dn}

и / (0 — кусочно-линейная

функция,

|

0

П р И | / - 1 | >2р^

f(t)

=

!2p((-\)

+ \

при

1 _ 1 < / < 1 ,

(Ш.ЗО)

2р

— 2ptf—1)+1 при

1 <

1 +

2рi

со

(А'и,

v)=yJjL-dn,

- 2

и = {сп},

V = {dn}.

п р

4=1

А'и = О

Значит, условия

1), 2) выполняются

при Г = 0 и уравнение

имеет только нулевое решение.

Однако для рассматриваемого поля уже

не

выполнено

первое

утверждение теоремы 4 — нуль не является

изолированной

крити­

ческой точкой поля А и. Легко видеть, что

критическими

точками

поля А и являются

О при

пфк,

62}.

ей —

{ t при п =

k.

В этом примере условие 3) не выполнено.

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

4.

Вначале

докажем

первое

утверждение теоремы: нуль — изолированная

критическая

точка

поля Аи.

Предположим противное: существует

последова­

тельность ип такая, что

Аип

= 0,

ип-+0.

Из условия 3) следует, что слабый

предел о0

последовательнос­

ти vn~\\un\\~lun

отличен

от нуля.

Переходя

к пределу в ра-

венстве

|| u n ||~Mun = 0, имеем A'vn

-* О при

п -» оо. Отсюда сле­

дует A'v0

— О, что противоречит условиям

теоремы.

Обозначим через F прямую сумму всех инвариантных подпро­

странств оператора L , соответствующих характеристическим чи­

слам этого оператора, лежащим на

интервале (0, 1). Через R обо­

странств оператора L , которые не вошли в F. R—также

инвариантное

подпространство L и имеет место разложение

X

= F +

R.

Обозначим через Р* проектор X*

на F* =

(Л'

+

Г) F,

опреде­

ляемый равенством

Р* [(Л' +

Г) / +

(Л' + Г) г] = (А' +

Г) /,

f£F,

r£R.

Пусть

Р — сопряженный

к

Р*

оператор.

Выберем

произвольно

последовательность

подпространств

FtczX,

i >

v, так,

чтобы

F4 = PX,

F2v^>F,

dim Ft

=

i,

FtczFi+v

\JFC

= X

и

обозначим

через

v l t . . . ,vt

базис

Ft.

обозначается

функция

Через

б (и)

в дальнейшем

6(и) =

max

10, С min

<(/ — Р*)Аи,

(/ — tL) и),

(Ш.31)

где постоянная С положительна и ее значение

указывается

ниже.

Доказательство формулы индекса опирается на леммы 11—14.

Лемма

11. Существует

г

>

0 такое,

что

•ф (и, 0

=

(б (и) +

0 Лы +

(1 _

0 Л'ы ^

0

при 0 < г! <

1,

0 <

|| «|| <

л

Д о к а з а т е л ь с т в о

этой леммы

можно

провести

аналогично

доказательству того, что нуль—изолированная

критическая

точка

поля

Аи.

Существует

такое, что при

п >

N1

поле

Лемма

12.

я

Ф „ " 0

=

1 + а(и) £

<(б (") +

0Л«

+

(1 -

0 Л'и,

у г > o t

«е обращается

в нуль при

^ [ 0 , 1 ] , « £ S n . r , 5 n , r

= F „ n 5 r , 5 r

= { a e X : | | a | | « r } ,

где г т о же,

что

и в лемме

11.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим

противное:

пусть

существуют

последовательности uh,

th

такие,

что

« С

(«*•<*) =

°-

«* е s„ A i „

/й

е [о,

и,

я А

-

оо

и пусть 6(uf t ), *ft сходятся

соответственно к б0 , t0

и uh

слабо схо­

дится

к и0.

Рассмотрим

отдельно два

случая:

а)

б0

+

tQ

>

0;

б) б0 +

t0

= 0.

В

первом

случае

покажем,

что сходимость ик

сильная.

Пусть

wk

£ Fk,

wh

->- и0.

Тогда

из

(б0 + g

( Аи к , uh

— иа)

= (50

+ t0~6

(uk) — th) (Auk

, uk

— u0) +

+ (б Ю + У < ^ « f t , wh — ы0 ) —

-

(1 - у {(Л' +

Г) К _

ий - wh) +

+

(А'Щ ,uh — wh)~(T

(uk

— wh), uh — wk)}

и условия

а)

получим uk-^u0.

Отсюда следует

i|)(wo. *o) =0, что

противоречит

лемме

П.

+ 1

Если же выполнено равенство 60

0 = 0,

то

покажем

сна­

чала, что и0ф0.

Из

(III.31)

следует

существование

последова­

тельности

тп £[0,1] такой, что

ЙпТ а „ < 0, «„ = ( ( / — P*)Aun,un

—

inLun).

л->со

Если бы и0

= 0,

то

\im(Aun,

u n ) < 0

и из условия а)

получаем

л->со

сильную

сходимость

ип

к нулю, что невозможно.

Для

произвольного

v£Fj

при j<nh

из б) имеем

(A'uh,v)^»

->-0 при k-^-oo,

откуда

непосредственно

следует

А'и0 = 0, что

противоречит

предположениям

теоремы,

так как и0 Ф 0.

Пусть П — оператор

проектирования

X

на F,

определяемый

равенством

П(/ + 0 = /, f£F,

r£tf.

Лемма

13. Существует Ыг

такое,

что при п > N2

поле

4>п2)

0 =

ТТЩй)

£

<6 («Ми + tA'u + (1 -

0 [ - (Л' +

Г)П« +

+ ( Л ' + Г ) ( / - П ) ы ] , о г ) ^

не обращается

в нуль

при u£Sntr,

/£[0,1],

где г то же, что и

Если б0 =

0,

то, как и при доказательстве

предыдущей

леммы,

получаем

и 0

^ 0

и

1аА'и0 +

(1 -

у

[ - (А' + Г) / 0

+

(А' + Г) г0 ] =

0.

(111.32)

Применяя

к

равенству

(111.32) оператор

Р*,

получим

4 И 7 о - 0 - W + r ) / 0 = o.

Это

дает

/ 0 = 0

в силу

определения

пространства

F.

Действуя

на

обе части

равенства

(III.32) оператором

/ — Р*,

получаем

t0A'ra

+ (l —

t0){A'

+

T)r0^Q,

откуда

следует

г0 =

0.

Это

противоречит

неравенству

и0

ф 0.

Пусть

теперь б0 > 0.

Как и при доказательстве леммы

12,

уста­

навливается

сильная

сходимость

ик

к

и 0 , 6 (ц„) > 0 и равенство

б (и0) Ault

+ tuA'u0

+

+

(1 -

'о) [~

(А' +

П /о +

(А' + Г) г0] =

0.

(Ш.ЗЗ)

Покажем, что оно невозможно. Применяя к (Ш.ЗЗ)

оператор Р*,

имеем

б (и0)Р*Аи0

+ [tQA'fQ

-

(1 -

g

{А' + Г) /0 ] =

0.

(111.34)

Легко

проверяется,

что с некоторой

положительной

постоянной

Сх

для f£F

выполнено

неравенство

|| /|| <

Сх

min || tA'f

-

(1 -

0 {А' +

Г) / IU •

(Ш.35)

Получаем

из (III.34)

|| f0 1| < СХ С2 1|Р*|| б(и0 ),

(Ш.36)

где

С, = sup || Лиц».

(Ш.37)

Применяя затем к (Ш.ЗЗ) оператор

/ — Р*,

имеем

б («„) (/ -

/>*) Аи0

+ t0A'rQ

+

(1 -

/0 ) (А' + Г) г0

=

О,

(Ш.37)

откуда

следует

<(/ _ ?* ) Ли 0 ,

(l-toL)rn)^0.

Используя (III.36),

получим

((/

— Р*)Аи0,

(I-t0L)u0)<

%

<

С,С» || Р* || • || / -

Р*\\ • б (ы0) • С 3 ,

(III.38)

где

С 3

= max

|| / —*оМ|.

( I 1 1 - 3 9 )

С = {2СХС\\\Р'

\\\\1-Р'

|| С,}" 1 .

Здесь C l t С 2 ,

С3

определяются

из (111.35), (111.37),

(Ш.39). Этим

заканчивается

доказательство леммы

13.

Лемма

14.

Пусть

N = max {N2 , 2v}. Поле

ф^' (и, 0) не обраща­

ется в нуль

при

« € ^ П { 0 < | | и | |

<

г].

Д о к а з а т е л ь с т в о

аналогично

доказательству

невозмож­

ности равенства

(III.33).

Закончим теперь доказательство теоремы 4.

Из

определения

индекса критической точки и лемм

11—14 следует, что индекс нуля

поля Аи равен вращению поля

ср ( $ (" .

0) на

SN,E

= FN{]Se,

Se^{u£X:\\u\\

= B},

0 < Б < Г

"

Легко проверить, что при к достаточно

малом

поле Ф ^ Ч " . 0) на

SN в гомотопно

полю

N

(А' + Г) (/ -

<$> («> =

£ < - И '

+ Г) Пи +

П) «, о,)

(=1

Вращение на SN^

поля

Ф"' равно

(— l ) v , в чем

можно

убедить­

ся, подсчитав

знак соответствующего

определителя. Это закан­

чивает доказательство

теоремы

4.

Укажем

возможности применения

теоремы 4 к дифференциаль­

ным операторам.

Пусть Q

— ограниченная область

на плоскости,

граница кото­

A:

^ ( Q ) - M ^ W

определяется

равенством

(Au,v)=

£

[AJx.u,...

Dm и) Dav dx.

{

Ш Щ

Лемма 15.

Пусть

p >

2 и

пусть

для

х £ Q, £ = { | a : | а | < т) £

£RM функции Аа(х,\)

непрерывны по х,

непрерывно

дифференци­

руемы

по Л и

удовлетворяют

неравенствам

(III.3),

(II 1.4)

нас­

тоящей

главы. Тогда

определяемый

формулой

(III.40)

оператор А

о