книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка
.pdfКритическую точку р функционала J называем невырожденной,
если точка фр (р) не вырождена для Уф^1 .
Индексом Морса критической точки р функционала J называем индекс Морса точки Фр(р) функционала Уфр- 1 . Проверяется незави
симость этих понятий от выбора карты. |
|
|
|||
Теорема |
2. Пусть функционал |
J : М -> R1 |
удовлетворяет |
усло |
|
виям С), М) и обладает лишь невырожденными |
критическими |
точ |
|||
ками. Тогда при произвольных а, |
Ь, — о о < а < й < + о о множе |
||||
ство Ма,ь |
содержит лишь |
конечное число критических точек J. |
|||
Если предположить существование бесконечного числа крити |
|||||
ческих точек в некотором |
Ма,ь, |
то из условия |
С) непосредственно |
следует, что множество критических точек имеет предельную. Покажем, что предельная критическая точка обязательно вырож дена. Это докажет утверждение теоремы. Рассмотрение достаточно вести для функционала F на гильбертовом пространстве, удовле
творяющего условиям |
1) — 3). Пусть |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
F(«„) |
= 0, |
и п ^ и 0 . |
|
|
|
|
|||||
Из |
|
|
(F'(un)-F- |
|
(uQ), |
ип-и0) |
|
= |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
j |
(taa |
+ |
(1 - |
0 и0) (ип-и0), |
ип |
- |
uQ) |
dt |
|
|||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и условия |
2) |
следует, |
что |
слабый предел |
vQ |
последовательности |
|||||||||
отличен от |
нуля. |
Переходя |
на |
основании |
условия |
3) к |
пределу |
||||||||
в равенстве |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\(F"{tun |
|
+ |
(\~t)u0)vn,h)dt |
|
= |
0, |
|
|
|||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
справедливом |
при |
произвольном |
h£H, |
получаем |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
^"("о) и о = |
°. |
|
|
|
|
|
|||
т. е. и0 — вырожденная критическая точка. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Теорема |
3. Пусть |
функционал |
J удовлетворяет условиям тео |
||||||||||||
ремы 2. Если |
множество |
Ма,ь |
не |
содержит |
критических |
точек, |
|||||||||
то Ма—деформационный |
|
ретракт |
|
Мь. |
|
отображений |
|
||||||||
Определим однопараметрическое семейство |
|
||||||||||||||
|
|
|
rt:Mb-+Mb, |
|
0 < / < 1 : |
|
|
|
|
||||||
|
|
г |
(/?) = |
! |
|
р' |
|
е |
с л и р |
е м |
° ' |
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
\op(tq(p)), |
|
если |
р£МяЛ, |
|
|
200
где q (р) определяется как решение уравнения
J(op(q(p))) = a.
Непрерывность q(p) и, следовательно, г, получаем из теоремы о неявной функции, г0 — тождественное отображение, а г, — ретракция Мь на Ма. Это доказывает теорему.
Теорема 4. Пусть J удовлетворяет условиям теоремы 2, мно
жества У - 1 (a), |
J~l ф) не содержат |
критических точек |
J |
и pv ... |
||||||||||||
..., |
pk — критические |
точки |
J в |
Ма |
ь. |
Тогда |
Мь |
имеет |
гомото |
|||||||
пический |
тип |
Ма |
с |
приклеенными |
клетками |
|
|
|
|
|||||||
где \ |
— индекс |
точки |
р1. |
е |
, . .., |
е |
, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Докажем теорему только при k |
= |
1, так как общий случай мо |
||||||||||||||
жет быть рассмотрен аналогично. Обозначим / |
(pj) = |
с. |
В силу |
|||||||||||||
теоремы 3 достаточно доказать теорему для а = |
с — е, |
& — доста |
||||||||||||||
точно малое положительное |
число. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Сначала докажем ряд вспомогательных утверждений для функ |
||||||||||||||||
ционала F на гильбертовом пространстве Я, |
удовлетворяющего |
|||||||||||||||
условиям |
|
1) — 3). |
Пусть |
0—критическая точка |
F, |
F (0) — с. |
||||||||||
Обозначим |
через Нх |
замыкание линейной оболочки |
всех |
решений |
||||||||||||
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
F" (0) h = \Lh |
|
|
|
|
|
|||
при |
р. < |
0. |
Из |
условия |
1) |
следует |
для |
h£Hl |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
II h | | < с |
|| h ||, |
|
|
|
|
|
с положительной постоянной С. Отсюда следует компактность еди ничного шара в Я х и, следовательно, конечномерность Нг. Пусть Я 2 — подпространство Я, состоящее из всех элементов /г 6 Я, для которых
(F" (0)h,v) = 0 при иея, .
Лемма 2. Существуют окрестность U нуля пространства Я, положительная постоянная k, функционал со (и), со (и) -> 0 при и —у 0 такие, что:
а) |
(F" (и) h, h) > k|| |
h||г |
для u£U, |
h£Я2; |
|
|
б) |
I ( F" (и) /г,, h2) |
I < |
со (и) || hx || || h21| для |
и £ U, /г, £ Я,, \ £ Я2 ; |
||
в) |
(F"(u)h, |
h) < — |
fe||rt||2 для u£U, |
h£Hv |
1 |
|
Докажем, например, первое утверждение леммы. Проверим |
||||||
сначала, что |
с некоторой |
положительной постоянной /г,: |
||||
|
|
(F"{Q)h,h)>ki\\h\\\ |
h£H2. |
( V . l l ) |
201
Предположим |
противное: |
пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
а = |
|
in! |
|
( Г ( 0 ) А , А > < 0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
цлц=1. лея, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
и |
выберем |
последовательность 1гп так, чтобы |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
(F"(0)hn,hn)^a, |
|
|
|JAJ| = |
1, А „ е Я а . |
|
|||||||
Можем |
считать |
последовательность |
1гп слабо сходящейся к |
|||||||||||||
Л0 |
Ф 0. |
Переходя |
к пределу |
в |
неравенстве |
|
|
|
|
|||||||
|
|
(F |
(0) (А„ - |
А0), Ап —А0 ) > |
С, || Ая - |
А0 1|2 |
- |
С2 1| А„ - |
А0||* |
|||||||
и |
используя условие |
3), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
< Т " ( 0 ) А 0 , А 0 ) < а . |
|
|
|
|
|
|||
Это |
возможно |
только |
при || Л„ || = 1 и |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
<F'(0)A0 ,A0 > = |
a. |
|
|
|
|
|
|||
Отсюда |
и из |
неравенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(F" (0) (А0 |
+ |
fA), А0 |
+ *А> > |
a || А0 |
+ |
|
*А ||а , |
|
||||
справедливого |
для всех |
А £ # 2 , |
t£Rl, |
получаем |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
(F''(0)ho,h) |
= a(h0,h) |
|
|
|
|
(V.12) |
||||
для |
А £ # 2 . |
Равенство |
(V.12) |
выполнено |
и для |
А £ # , — |
это сле |
|||||||||
дует |
из |
определения |
подпространств |
Hv |
Н0. |
|
Получаем оконча |
|||||||||
тельно |
|
|
|
|
|
Г ( 0 ) А 0 = аА0 . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда |
следует, |
что а < 0 |
и Л 0 £ # Г |
Кроме |
того, |
А 0 £ Я 2 и |
||||||||||
поф0. |
Получаем |
противоречие |
и тем самым |
(V. 11) доказано. |
||||||||||||
|
Докажем теперь утверждение а) от противного. Предположим |
|||||||||||||||
существование последовательностей ип, |
1гп |
таких, что |
|
|||||||||||||
|
|
< ^ ( " я ) Л п , А п > - ^ р < 0 , |
«„->0, |
||АП || = |
|
1, А „ £ Я 2 . |
||||||||||
Пусть Ап слабо сходится к |
А0. Из 1) получаем 1г0ф0. |
Переходя |
||||||||||||||
к |
пределу |
в |
неравенстве |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(р" К) |
(К - |
V . К - |
К) |
> |
с, II К - |
А0 |Г - |
с 2 1 | л я - |
А0 iif, |
||||||
получим |
|
|
|
|
( Г ( 0 ) А о , А 0 } < 0 , |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что противоречит (V-11).
202
Отметим, что из (V-11) следует равенство индекса Морса кри тической точки 0 функционала F размерности пространства Нг.
Обозначим операторы проектирования Н на Нъ Нг соответствен но через Рх, Р2 и пусть
|
Я)! > |
= |
{А 6 Я , |
|
: || А | | < г}, |
В™ |
= |
{А € Я 2 : || А || < s}, |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tf = |
B<" |
Х Я < 2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Лемма |
3. |
Существуют |
положительные |
числа |
г, s, е, v |
такие, |
|||||||||||||||||
что: |
{F |
(и), P2u)>v |
|
|
для |
u£R, |
|
|| Р2и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) |
|
|
|
|| |
= |
s; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
б) |
(F' |
(и), Рхи) |
< |
— v |
для u£R, |
F(u) |
= c — е; |
|
|
|
|
||||||||||||
в) |
F(и) |
< с— е для |
u£R, |
|| Рхи |
|| = |
г. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Считаем |
г, s |
настолько |
малыми, |
чтобы |
RdJ. |
|
Используя |
||||||||||||||||
лемму |
2, |
получим с |
некоторыми положительными A,, |
k2: |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
(F' |
(и), Р2и) |
> |
kx |
|| Р2и |
||2 - £ 2 с о 2 |
(и) || Рр |
||2, |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
(F |
|
(и), / |
» |
< |
- |
|
|| Рхи |
||2 |
+ |
А2со2 (и) || Р2и ||2, |
|
|
||||||||
А, || Рр |
||2 |
- |
ft21| |
Рхи ||2 |
< / = • ( « ) - |
с < k21| |
/ |
> ||2 |
- |
А, || P,u |
||2. |
|
|||||||||||
Отсюда непосредственно следует утверждение леммы 3. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Отметим, |
в |
частности, |
что |
из |
u£R, |
|
F (и) |
< с — в |
следует |
||||||||||||||
||Я]И|| |
> б, |
где |
б — некоторое |
положительное число. |
|
|
|
||||||||||||||||
Закончим |
теперь |
|
доказательство |
теоремы |
3. Пусть |
фР | |
— |
ука |
|||||||||||||||
занная в условии М) |
|
карта, соответствующая точке рх. Можем счи |
|||||||||||||||||||||
тать, |
что |
9P l (pi) = 0 |
и |
применяем |
леммы |
2, |
3 для |
функционала |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
= |
J |
^ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажем, |
|
что |
МС _Е |
[} ф - 1 |
(R) - |
деформационный |
ретракт |
Мь. |
в, R указаны в лемме 3, причем можем их считать такими, что
Деформация определяется при 0 < t < 1
( 1 ) |
, |
р, |
если р£МспЕ |
U ф - '(Я), |
|
Г< Ф |
~ [% |
(tgt (р)), |
если р 6 Мь \ |
{Ме_я |
и Ф-1 (R)}, |
где |
|
|
|
|
|
|
|
<7, (р) = inf {* гФ р 0 ) |
€ М с _ е |
U ф~1 ( / ? ) } ; |
непрерывность д, (р) следует из утверждения а) леммы 3.
203
Клетку е71' определим в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
в*' = |
ф - 1 (5X l ), |
где |
S»" = {h £ Я, : / р р 1 |
(А) > |
с - |
|
Б}. |
|
|||||||||
Теперь |
проверим, |
что |
Мс_е |
[j |
eXl |
- деформационный |
ретракт |
||||||||||||
Ме_е |
U ф~1 (R). |
Проведем |
две |
деформации. Сначала |
для |
0 < / < 1 : |
|||||||||||||
|
|
|
р, |
если || Р , Ф Р ] (р) || > |
у |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ФРТ1 [фр , (Р) - |
'Ф (/>) р |
2 ф Р 1 |
И |
|
- |
е с л |
и |
I I Л Ф Р |
, |
v>) II < |
т • |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y — достаточно |
малое |
положительное |
число. |
|
Вторая |
деформация |
|||||||||||||
при |
0 <; t < |
о2 |
|
(р): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
' |
1Фр, (Р) + |
^ . Ф Р , Ш |
|
при |
|| |
|
(р) || > |
|
у, |
|
||||||
г,<3) |
|
ФрТ1 |
[фр,(Р) + |
^ Ф Р 1 ( Р ) |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(Р) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
' |
|
I 1 ~ |
i i f t f l w i i ) |
Р г Ф " > |
Н |
|
п р и |
° < 11 Р |
^ Р , <Р) II < |
V. |
||||||
где |
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
при |
р£Мс_е |
U |
е \ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 2 ( р ) = |
inf { / : r j 3 ) |
(p)£Mc _t . U^*>. |
|
|
|
|
||||||||
Из |
утверждения |
б) |
леммы |
3 |
получаем |
|
непрерывность |
q2(p) |
при достаточно малом у. Это заканчивает доказательство теоремы 4. Из теоремы 4 и работы [117] непосредственно следуют неравен
ства |
Морса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 5. Пусть |
функционал J: М-*-R1 |
и |
числа a,b |
удов- |
||||||
летворяют условиям теоремы 4. Обозначим через |
С\ь |
число |
кри |
|||||||
тических точек J |
в |
МаЬ, |
имеющих |
индекс |
Морса |
X, |
и |
через |
||
|
— Х-е число Бетти пары (Mb, MJ |
с коэффициентами |
в неко |
|||||||
тором поле. Тогда |
при |
произвольном |
т == 0, |
1,2,... |
выполняют |
|||||
ся |
неравенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я,=о
204
Следствие. |
При произвольном |
X R^'b < С%ь. |
|
|
|
|
|||||
Теорема |
6. |
Пусть |
функционал |
J:M-*-R^ |
|
удовлетворяет |
усло |
||||
виям теоремы |
2 и ограничен снизу. Тогда |
многообразие М |
имеет |
||||||||
гомотопический тип |
клеточного |
комплекса, |
в |
котором |
каждой |
||||||
критической |
точке J |
с индексом |
Морса |
X |
соответствует |
клетка |
|||||
размерности |
X. Если |
Ск — число |
критических |
точек |
J в М |
ин |
|||||
декса Морса |
X и RK — Х-е число |
Бетти |
многообразия |
М с коэф |
|||||||
фициентами |
в некотором поле, то имеют |
место |
неравенства |
|
т.т
£ ( __ 1 у - * Я х |
< £ ( - 1 ) т - х С г т = 0, 1 |
к=о |
&=0 |
£ ( - 1 ) 4 = £ ( - D 4 - |
|
к=0 |
А,=0 |
Укажем еще применения к интегральным функционалам. Рассмотрим функционал
F (и) = j / (х, и,..., Dmu) dx |
(V.13) |
я
О
на пространстве W^iQ),7l2 (Я), предполагая BвыполненнымиI с положительными постоянными Cv С2 условия:
а) функция |
/ (х, | ) , х £ Я, |
| |
|
= { | а : | а ]< т) £RM непрерывна по х |
|||||
при |
всех £ и |
дважды |
непрерывно |
дифференцируема по | при |
|||||
всех |
х; |
|
_ |
|
|
|
|
|
|
б) для любых |
х £ Я , %£RM: |
|
|
|
|||||
|
|
\fafi(x,Q\<Cl |
|
|
при | а | = |В| =т, |
||||
|
\Ц(х,1)\<С1{\+ |
|
|
£ |
| |
|
|
при | а | + 1Р1<2/я, |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ a p l X i S ; — |
|
|
|
. Р а |
я — 2 ( m — | а | ) ' |
|||
|
|
|
1 |
|
• |
1 |
|
+4-<1; |
|
|
|
|
?<xfj |
|
Ра |
|
|
||
в) для любых |
х £ Я, |
I £ RM, |
|
т] = |
{т]а : | а | = т], |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л2 |
|
|
|
|a|=IW=m |
|
|
|
|
V |
|
14—843 |
|
|
|
|
|
|
|
205 |
суммирование справа |
ведется |
|
по |
индексам |
у, |
\у\=т, |
вида |
|||||
(О, . . . , 0 , т , |
0 |
0); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) F (и) |
+ |
оо при || и \\тл |
_оо, где || • \ ] |
т 2 |
— норма |
в |
W™ (Q). |
|||||
Теорема |
7. |
При |
выполнении |
условий |
а) — г) |
функционал |
||||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т7 : Wm (Q)->~ R , |
определяемый |
2. |
формулой |
(IV.9), |
удовлетворяет |
|||||||
всем предположениям |
теоремы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теорема фактически была установлена в гл. I I I (см. лемму 16). |
||||||||||||
Условие С) следует из г) и того, |
что |
градиент |
F' |
функционала F |
||||||||
удовлетворяет условию а) главы I I I (см. следствие к лемме 2 гл. I I I ) . |
||||||||||||
Если обозначить через К% число критических точек функцио |
||||||||||||
нала F индекса |
X, то из теоремы 6 получаем |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Ки> |
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кх — К0 |
> |
— 1, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
К* — Кх |
+ К0 > 1. |
|
|
|
|
|
|||
Отсюда, в частности, вытекают следствия. |
|
|
|
|
|
|||||||
Следствие |
1. |
При |
выполнении |
условий а) •— г) |
функционал F |
|||||||
имеет, по крайней мере, одну критическую точку. |
|
|
|
Следствие 2. Если функционал F имеет две изолированные кри тические точки с относительным минимумом, то существует еще одна критическая точка.
В случае т = 1 доказанное в следствии 2 утверждение полу чено другим способом в работе [3].
Замечание. В теореме 7 для выполнения условия С) предполага лось условие г). Условие С) будет выполнено и тогда, когда F' — асимптотически однородный регулярный на бесконечности опе ратор.
§ 3. О стабилизации характеристик Морса при конечномерных аппроксимациях функционала
В предыдущем параграфе было показано, что для функционала J на гильбертовом многообразии, удовлетворяющего определенным условиям, гомотопический тип множества Ма полностью описы вается критическими точками / . Сейчас рассмотрим вопрос о связи критических точек и гомотопического типа соответствующих мно жеств для функционала / и функционала, возникающего при конеч номерной аппроксимации J. Для простоты рассмотрим функционал на гильбертовом пространстве.
Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство и F : #-»- -»• R1 — функционал класса С1 , удовлетворяющий условиям 1) —>
206
3) предыдущего |
параграфа, |
и |
пусть |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
F ( л . ) + |
оо |
при |
+ оо. |
(V.14) |
|
Пусть |
vt, |
i |
= |
1, 2, . . . — произвольная |
полная система |
простран |
||||
ства Н |
и |
L |
n |
— |
натянутое |
на |
vx, |
. . . , |
vn подпространство Н. Рас |
|
смотрим |
на L n |
функционал |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Fn (u) = F (и) |
для |
u £ L„. |
|
Введенные в § 2 понятия критической точки, невырожденной критической точки, индекса критической точки без изменения пе реносятся на Fn. В дальнейшем будем пользоваться обозначе ниями
|
|
|
Я ° = {u£H:F(u)<a}, |
|
Han |
= |
H°[\Ln, |
|
|||||
|
|
НаЛ |
={u£H:a<F(u)< |
b}, |
На* |
= НаЛ |
Г| |
L n . |
|||||
Число а назовем критическим значением функционала F, если мно |
|||||||||||||
жество F~1 |
[а) содержит критические точки F. |
|
|
||||||||||
|
Теорема |
8. Пусть |
|
а — |
некритическое |
значение |
функционала F |
||||||
и все критические |
точки F в Н" невырождены. Тогда, |
начиная с доста |
|||||||||||
точно |
большого |
номера |
N, |
число |
критических |
точек |
функционала |
||||||
Fn |
в |
Нап совпадает |
с |
числом |
критических |
точек |
функционала |
||||||
F в |
Н". |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Непосредственно |
проверяется, что |
в |
наших |
предположениях |
функционал F удовлетворяет условию С) и из теоремы 2 получаем* что Н" содержит лишь конечное число критических точек F. Пусть
и0 — некоторая критическая |
точка F в На |
и выберем р так, |
чтобы |
|||||||||||
в |
шаре |
В = |
{и£Н: |
\\и— и„|| < |
р} |
не |
было отличных |
от |
и0 |
кри |
||||
тических точек F. Вначале докажем лемму. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Лемма 4. |
Начиная |
с достаточно |
большого п Fn |
имеет |
в |
Вп= |
|||||||
= |
Bf]Ln |
единственную |
критическую |
|
точку. |
|
|
|
|
|||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
un£Ln |
— сильно |
сходящаяся |
|||||||||
к |
и0 последовательность. |
Рассмотрим систему |
(относительно |
|||||||||||
ci> • • • > спУ- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(1 - |
t) (F' |
+ |
2 |
щ |
|
+ t(F' |
\ип |
+ J |
Civ)j |
, v.) |
= |
0, . |
|
|
|
|
|
0 < |
1, |
/ = |
1, . . . |
,п, |
|
|
(V.15) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Q „ = c = |
|
(Cl,...,cn)£Rn: |
|
|
|
|
|
|
.•=1
• Доказательство существования основывается на следующих предложениях. Существует п0 такое, что при п > п0:
207
1)система (V.15) при t = 0 имеет в Qn только нулевое решение;
2)при любом 0 < t < 1 система (V.15) не имеет решения на
границе Qn.
Наметим доказательство этих предложений. Рассуждаем от противного. Пусть 1) не выполняется, т. е. существует после
довательность |
wbfL„ |
такая, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(F |
(u0 |
+ |
wk),Vi) |
|
= |
0, |
/ = 1 |
|
«fe. |
|
0 < |
|| ш4 1| |
< - | , |
|
nf c -»-oo. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(V.16) |
|
|
Можем |
считать, |
что |
wk |
слабо |
сходится |
к |
wQ. |
Используя |
||||||||||||
(V.16) и |
производя на основании |
условия |
2) оценки |
в |
равенстве |
||||||||||||||||
|
|
(F |
(и„ + |
wk), wk |
— wQ) |
— (F' |
(u0 |
+ |
ш0 ), wk |
— w0) |
= |
|
|
||||||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
j |
(F" (н0 |
+ twk + |
(1 - |
t) w0) {wk |
- |
w0), wk - |
|
w0) |
dt, |
(V. 17) |
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим, |
что |
последовательность |
wk |
|
сходится |
сильно |
к |
ш0 . |
|||||||||||||
Из (V.16) получим тогда, что |
и0 + w0 |
— критическая точка F в В |
|||||||||||||||||||
и, |
следовательно, |
w0 = |
0. Снова |
оценивая (V. 17), |
получаем, |
что |
|||||||||||||||
слабый |
предел |
w* последовательности |
|
||ffi)f t ||— lwk |
|
отличен |
от |
ну |
|||||||||||||
ля. |
Наконец, |
в силу условия |
3) |
в равенстве |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 = - p j - № |
|
("о + |
Ы |
v.) - |
(F' (0), v,)} |
= |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= j ( F > 0 + К ) | Г ^ . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно |
перейти |
|
к пределу при й - v o o . |
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F"(u0)w* |
= |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
что противоречит предположению о невырожденности |
критической |
||||||||||||||||||||
точки |
и0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Доказательство предложения 2) следует из аналогичных со |
||||||||||||||||||||
ображений. |
Используя |
предложения |
1) |
и 2), докажем лемму 4. |
|||||||||||||||||
|
Рассмотрим |
конечномерный |
оператор, |
определенный |
на |
Й п |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
А\п){с) |
|
= {А\п}{с) |
|
|
|
|
А^(с)}, |
|
|
|
|
|
|||
Af] |
(с) =(l~t)(F- |
|
|
(и0 |
|
+ £Cf0|j ,v{) |
+ |
t (F' (ип |
+ |
£ |
ctvt] |
, |
|
Из предложения 2) следует, что |
при |
больших |
п вращение |
||
векторного поля А\п) (с) не зависит |
от t. |
При достаточно |
боль |
||
ших п вращение поля Аоп) (с) отлично |
от |
нуля, что |
следует ич |
||
предложения 1) и отличия от нуля |
якобиана отображения |
Л^"'(с) |
в нуле. Последнее утверждение следует из невырожденности
критической точки и0. Таким образом, |
получаем отличие |
от |
ну |
|||||
ля |
вращения поля |
А\п) |
(с). |
Значит, |
существует точка |
с |
== |
|
= |
(с[°\ . . . , сп°>) |
такая, что |
|
|
|
|||
|
|
+ £ cwViyVj) |
= o, / = 1 , . . . , « . |
|
|
|||
Искомая стационарная |
точка |
Fn в Вп |
имеет вид |
|
|
|||
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
если ||u „ — и 0 1 | < |
-Н-. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство единственности производится подобно доказа |
|||||||
тельству предложения |
1). |
|
|
|
|
|
||
|
Теперь докажем теорему 8. |
|
|
|
|
|||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы |
8. В силу леммы 4 |
доста |
точно проверить, что число стационарных ' точек Fп в Н„ не больше числа стационарных точек F в Я°. Рассуждаем от про тивного. Пусть существует последовательность Wnk критичес ких точек Fnk в Нпк такая, что
~СЛ. ~
но Wnk не сходится ни к одной критической точке F в На. По
добно |
лемме |
4 устанавливаем сильную сходимость Wnk |
к |
W. |
||||||||||
Отсюда |
следует, что |
W £ Я" |
и |
является |
критической |
точкой |
F. |
|||||||
Получаем противоречие со сделанным предположением. |
|
|
|
|||||||||||
Замечание. |
|
Построенная в лемме 4 последовательность и*"' |
||||||||||||
критических |
точек |
функционала |
Fn |
сильно |
сходится к и0. |
Лег |
||||||||
ко видеть, что |
при |
больших |
п критические |
точки |
ы^0' |
невырож |
||||||||
дены, |
|
|
|
|
|
|
|
|
и0 |
i |
• |
|
F |
|
Обозначим индекс |
критической |
точки |
функционала |
че |
||||||||||
рез Х(и0) и |
индекс |
|
критической |
точки ы(п0) |
функционала Fn |
че- |
||||||||
рез Хп («<")). |
|
Пусть и0 — невырожденная |
критическая |
точка |
||||||||||
Теорема |
9. |
|||||||||||||
функционала |
F, |
и£°>— сходящаяся |
к и0 последовательность точек |
Fn. |
209