книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка
.pdfЛемма 2. Существует |
б0 > 0 |
такое, что для h£H2 |
|
f ( k ) |
&"h>h) |
» < |
fi |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим противное. Пусть
sup / (h) = d > 0
h6H„
и пусть последовательность hn такова, что
uhj^d, |
hn£H2, |
I I M = 1- |
Легко проверяется, что пп можно считать слабо сходящейся к Н„Ф0. Используя положительность F", получаем, что / ( / i „ ) = d . Покажем, что для произвольного п£Н
|
|
|
{ ( ± + |
d) F'\ |
- |
G"h0, |
h) |
= |
0. |
|
|
(VI. 16) |
|
Это даст противоречие с определением |
|
подпространств |
Нг, Н2. |
||||||||||
Равенство |
|
(IV. 16) |
для п£Н1 |
|
следует |
из ha£H2. |
Выполнение |
||||||
(IV. 16) для |
h£H2 |
получаем |
из |
неравенства |
|
|
|
|
|||||
( { ± |
+ d) F" (h0 + |
th) — G" (h0 + |
th), |
ho |
+ |
th)>0, |
|
||||||
справедливого для всех вещественных t. |
• |
|
|
|
|
||||||||
Лемма |
3. |
Пусть со (и)—функционал |
такой, |
что |
со(н)-»-0 при |
||||||||
и 0 и М — множество и £11, |
удовлетворяющих |
неравенству |
|||||||||||
|
|
|
G ( « ) > ^ - c o ( « ) j F |
(и). |
|
|
|
||||||
Существуют |
положительные |
числа |
8lt |
г0 |
такие, |
что из |
и£М, |
||||||
|| и [| < г0 |
следует |
\\Рги\\>М\и\\. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Предположим |
от |
противного |
сущест |
|||||||||
вование последовательности |
ип£М |
такой, что |
|
|
|
" п - ^ о , i K i r ' / V ^ o .
С некоторыми 0„ £ [0, 1] имеем
(G' (wn), ип)>^ |
|
со (ы„)) (F' (wn), |
wn), |
wn = |
0n un . |
|||
Проверяется, что последовательность vn |
= |
|| ип |
\\~1ип |
|
можно счи |
|||
тать слабо сходящейся |
к |
v0=f=0, v0£H2. |
|
Переходя |
к |
пределу в |
||
неравенстве |
|
|
|
|
|
|
|
|
" 0 ^ K T F < F ' { |
W |
N ~ ~ V ° 1 1 W N 1 1 ) 1 |
W N |
~ |
V ° " W N |
^ |
< |
180
|
|
+ <F' (ш„ - |
o01| wn ||) - |
F' (Wn), |
wn |
- |
v01| wn ||)}, |
|
||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
. |
м |
|
|
||
|
|
|
|
h«rv0.o0) |
— (F"v0,v0)>0, |
. |
'.. |
. (IV.17) |
||||
что |
противоречит лемме 2. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Лемма 4. Существует |
функционал |
(и) такой, |
что |
' |
|||||||
|
|
|
И 11")-*-О "Р" и -*-0 и для и£Н0 |
+ Н2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
G(«) < |
1 + сох |
(и). |
|
|
|
||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Проверим сначала, |
что s < 0 |
|
||||||||
|
|
|
s = Iim S (r), s |
( r ) = |
sup( j ^ 4 -^-l, |
|
||||||
где |
верхняя |
грань |
берется по |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
u£{F(u)=r} |
П Я 0 + Я 2 . |
|
|
|
|||
Предположим |
противное и пусть ип— такая |
последовательность, |
||||||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,. |
|
|
^ |
{ { ± + .) < ^ . . ц . > - ( О ^ . и ^ О , ^ - 0+ |
н > |
|||||||||
Отсюда |
следует, |
что vn = ||un || |
и„ можно считать слабо сходя |
|||||||||
щейся к v0^0, |
и аналогично |
доказательству (IV. 17) |
получаем |
|||||||||
|
|
|
(G\, |
v0) - |
(± |
+ s) (Flv0, |
|
v0)>0. |
|
|
||
Это |
невозможно |
при s > 0, так как v0£fi0 |
+ Н2 и в силу лем |
|||||||||
мы 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, доказали для и£Н0-\- Н2
(Си, и) < (^ + w1 (u)J <^'u,u),
где
(ы) = max {0, sup s(£F(«))}.
Утверждение леммы получается из |
" |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
' G (и) = j |
(С (tu), u)dt<\lj- |
+шЛ iu))(F' (tu),u) |
dt = |
оn "
1_
= { \'0 + < M " ) ) ^ t " ) -
181
При доказательстве теоремы 12 еще понадобится описываемое ниже семейство отображений множества
Me = {h£H:F(h) = c)
в себя. При достаточно малом с > О множество Мс представляет собой гильбертово многообразие класса С1 . Пусть Т* (Мс) — кокасательный пучок к Мс. Функционалу G, рассматриваемому на Мс, соответствует сечение G'c пучка Т* (A4J. Аналогично [152](см. также гл. V) проверяется, что отображение
|
|
Ф : R+ |
X Мс-+Мс, |
Rl+ |
= {t: О < t < |
+ |
оо}, |
|
||||||
определяемое |
как |
решение |
задачи |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Лр (t, и) |
= |
G'C |
(Ф (/, и)), |
ф (0, и) = |
и |
|
|
|
|||
|
|
|
|
di |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
существует и |
непрерывно. Отсюда следует, в частности, |
|
||||||||||||
|
|
|
|
dG (m (t,u)) |
|
|
|
|
|
|
|
(IV. 18) |
||
|
|
|
|
|
dt |
|
=Цв;(Ф(*. «))112- |
|
|
|
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
д о с т а т о ч н о с т и |
т е о р е м ы |
12. |
|||||||||||
Пусть К0 |
> |
0 и нуль — вырожденная |
стационарная точка |
функ |
||||||||||
ционала |
F (и)—X0G(u). |
Сначала |
найдем |
решения |
(IV. 13) |
с про |
||||||||
извольно малой нормой. Будем пользоваться обозначениями |
||||||||||||||
со2 |
(и) |
= |
|
sup |
G(v)-±(G"v, |
|
v) |
+ |
L |
F(PJP) — |
|
|||
|
|
|
F ( B ) |
|
|
|
|
|
|
2X0 |
|
|
|
|
ro3 (ц) = |
|
I (G' (u) — G"u,Pxu)\, |
co4 |
(u) = |
(G'u, |
u) — G (ы)|, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(IV. 19) |
где верхняя грань берется по таким v, что F (v) — F (и). Легко проверяется, что при а-»-О
|
|
|
|
Щ (и), |
0>з(") |
М") |
|
||
|
|
|
|
INI |
|
1МГ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
стремятся |
к нулю. |
|
|
|
|
|
|
||
Пусть |
£ > 0 |
|
— произвольное |
число и числа б1 ( г„ |
определяются |
||||
согласно лемме |
|
3 при |
со (и) = |
со2(«). Определим положительное гг |
|||||
|
|
|
|
|
r 1 <min(e,r 0 ) |
|
|||
так, чтобы при |
|
||ы|| < |
тх |
|
|
|
|
|
|
|
V й » |
|
|
|
ш 4 |
(") |
+ |
20), («) + со, (и) < |
(IV.20) |
|
|
^ |
2Я„ ' v |
^ |
|||||
|
IMf |
"II |
|
|
-*А » |
||||
|
|
|
|
|
|
182
(co1(u) определено в лемме 4) и пусть
|
2 |
2 |
1 |
v |
|
В дальнейшем предполагается 0 < с < сг, так что
мс <= { ||"|| <
и для ы£Л4с выполнены неравенства (IV.20). Введем обозначения
|
R = {h£H: |
||/>,Л|| > |
0}, М> = |
Мс |
П |
Я 1 ( |
|
|
q>(f,Mj) = |
{ф(^,ы):и6^}, 0 < t < |
+ |
о о . |
|
||||
Проверяется, |
что |
нестягиваемо в R. |
Покажем, что |
при про |
||||
извольном tq>(t, Mlc) также нестягиваемо |
в R. |
|
|
|
||||
Для ы£М" имеем |
в |
силу (IV.15), (IV. 19) |
|
|
|
|||
|
G (и) >[T~Q— |
™2 («)J F (")• |
|
|
(IV.21) |
|||
На основании |
(IV. 18) |
это же неравенство |
имеет |
место |
для |
|||
|
|
|
Ф (t, и), |
и^М\ |
|
|
|
|
при всех t. Применяя лемму 3, получаем |
|
|
|
|
||||
\\Р& (/, и)\\ > |
б, ||Ф (t, и) ||, 0 < t < |
+ |
о о , и g Ml |
riV.22) |
Отсюда следует нестягиваемость ф (t, М') в R и, следовательно, существование при любом t
|
|
|
zt = |
ф (*, ut ) бФ |
(*, М1е) |
|
|
такого, |
что |
P1zt^HQ. |
По |
лемме 4 |
|
|
|
|
|
|
G ( z ^ < ^ 1 L + o ) 1 ( z f ) ) F ( z t ) . |
(IV.23) |
|||
Выберем |
из |
последовательности ип |
In = 1, 2, . . . / |
сильно сходя |
|||
щуюся |
последовательность к |
и0£М1с |
и докажем, |
что из |
|||
|
|
|
{Ф (t, и0), |
0 < t < о о } |
|
можно-извлечь последовательность, сходящуюся к решению урав
нения |
(IV. 13). |
на Мс |
|
Из |
(IV. 18) и ограниченности G |
получаем |
|
|
$ 1 К М Ф (*,Uo)) | | 2 |
Л < + |
о о , |
183
т. е. существует последовательность t, такая, что
|
|
G'.(V(.tt.uo))-+0, tt~*oo. |
|
|
riV.24) |
||||||
Пусть |
t/i = ф (tt,u0) |
слабо |
сходится к |
А. Из (IV. 15), |
(IV 19) — |
||||||
(IV.21) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
следует |
|
G ' A ^ O . A ^ o . |
|
|
|
|
|
|||
Последовательность |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
{G'yvyt) |
|
|
|
|
|
|
|
Nyt е |
G'yt |
- |
jp—y |
F'yt |
|
|
(IV.25) |
||
сходится к нулю. Это следует из (IV.24) и равенства |
|
|
|||||||||
(Ну, х) = (G'y, х - |
|
|
y) = (Gc (у), х |
-j£jL*Ly), |
|||||||
|
|
|
(F |
У, У) |
|
|
|
{F У* У) |
|
||
справедливого для у£Ме, |
х£Н. |
|
|
|
|
|
|
||||
Последова тель нос ть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
{G'yvyt) |
|
|
|
|
|
|
ограничена; можем |
считать |
{p'yvyt) |
|
к ц. Из (IV.25) полу |
|||||||
ее сходящейся |
|||||||||||
чаем р. =т^0 (так как СНфО) |
и сильную |
сходимость |
последова |
||||||||
тельности F'yt. Отсюда |
следует |
сильная |
сходимость |
ух |
к Л. |
||||||
Переходя к пределу в (IV.25), имеем |
|
|
|
|
|||||||
т. е. |
|
\xF'h — G'h = 0,h£Me, |
|
|
|
(IV.26) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < | | А | | < е .
Покажем, наконец, что выбирая с достаточно малым можно до биться выполнения неравенства
i r - - ^ | < e -
Из (IV.23) для любого tt при достаточно большом Nt имеем
G (yt) < G (ф (*„ uN)) + a, (A) F (Л)< G (Ф (tN{, uNi)) + ш, (A) F (А) <•
< ( ^ - + 2< B 1 ( A ) ) F ( A ) . |
|
Вместе с (IV.21) это дает |
|
- \X0G (А) - F (Л) | < \ ро»! (Л) + ц>2 (Л)] F (A). |
(IV.27) |
Пусть с„ —произвольная, сходящаяся к нулю последователь ность и А„ — построенные выше последовательности решений уравнения (IV.26) так, что hn £МСп
u / ' t f g - G ' ( ^ = 0, |
(IV.28) |
184
и для hn выполнено неравенство (IV.27). Проверяется, что после довательность р-п-1 ограничена и что последовательность ||А„||—'ft„, которую можем считать слабо сходящейся к h0, сходится силь но.
Теперь легко проверяется, что
|
<^ = | ^ ( 4 - < / ? ' Л » ' А » > - / ? ( А » ) ) | > 0 |
||||
при п-+оо. |
Утверждение |
теоремы |
следует |
из оценки |
|
|
(F'h , А >- |
к < |
2\ \ Х0 |
2©! (AJ +соя (Ап ) + |
|
|
_2_ |
|
а» 4 №„) |
|
|
|
v |
* |
l|A„ll" |
|
|
Сейчас укажем приложения к задаче о точках бифуркации вари
ационных |
эллиптических уравнений. Пусть Q — ограниченная об |
|||
ласть в эвклидовом л-мерном пространстве R". Рассматриваем функ- |
||||
|
|
о |
|
|
ционалы |
для |
и £ W£ (Q): |
|
|
F (и) = |
j / (х, и,..., Dmu) dx, |
G {и) = J g (x, и, |
., Dm~l и) dx. |
|
|
Q |
|
a |
|
Предположим |
выполненными |
следующие условия с положитель |
||
ными постоянными Clt С2 . |
|
|
||
1) функции |
f(x,§,g(x,t'),x£Q.l=*{la:\a\<m}£RM, |
g ' = |
= {^ а :|а|< т— 1} непрерывны по х при всех £ и дважды непре рывно дифференцируемы по £ при всех х:
2) для любых |
|
x£Q,l£RM |
|
|
|
|
|
|
|
l/ap(*.S)l<Ci при |a| = |
|Bj = m, |
|
|||||
\U (*• ©I + |
К |
(х, 6)1 < С, f 1 + |
£ |
|EJ |
|а + |
В| < 2т, |
||
где |
|
|
|
1 |
\У\<т |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
U |
1)= |
|
а |
( Х % ) = |
|
|
|
Ра = |
|
2л |
L |
+ |
_ L + |
_ L < i . |
||
|
|
|||||||
я - 2 ( т - | а | ) ' <7аВ |
Ра |
РВ |
' |
|||||
3) для любых u£U, |
l£RM,j] |
= |
|
{'4a:\a\=m}£RN |
|
|||
|
|
S |
^ |
^).Т)а % > C a Г П^. |
|
|||
|
|
[а1=1В|=п» |
|
|
|
|
|
185
где |
суммирование справа |
ведется |
по индексам у, | у \ = т вида |
(О, 0 |
0 , я г , 0 , . . . , 0 ) ; |
|
|
4) для достаточно малых \\иЦт 2 |
|
||
|
(F' |
U, U) > С 2 |
|| и\\т,2, |
« е |
И - lU.a — норма в W"2\ |
|
Проверяется, что функционалы F, G удовлетворяют сформули рованным в начале параграфа условиям и тогда из теоремы 12 следует теорема.
Теорема |
13. Пусть F(Q) = G (0) = 0, F'O = |
G' (0) = 0. Для того |
||
чтобы число Х0 было точкой бифуркации |
уравнения |
|||
V ( _ |
])l*\D"fa (х, и,... ,Dmu) = X |
£ |
( — X |
|
| а Кш |
|
|
|Р|<т—1 |
|
|
х Dtga (х,и,..., |
D-»-»a), |
(IV.29) |
необходимо и достаточно, чтобы нуль был нарной точкой функционала F (и) — X0G (и).
Здесь
fa(x,l) = |
д[(х, |
£) а l v |
^ |
|
^^,ga(x,l) |
вырожденной стацио
_М*-Л)
и решение уравнения |
(IV.29) понимается в обобщенном смысле. |
В случае уравнения |
(IV.29) с линейной главной частью и ряде |
других дополнительных предположений близкое к теореме 13 утверждение доказано в работе [6].
Рассмотрим еще в качестве примера задачу о потере устойчи вости гибких пластин. Математически задача может быть записана в
виде [5] |
|
|
|
|
|
А2 / = — L (ш, ш), |
|
||
Д2ш = XL (FQ, w) + L (f, w), (x, у) £ Я, |
(IV.30) |
|||
W |
dw |
|
= 0, |
(IV.31) |
on |
dn |
|||
где Я — ограниченная |
плоская |
область |
с границей |
S, F0 — из |
вестная функция класса №| (Я), L {{, w) определено в п. 2 § 7 гл. III.
Изучение точек бифуркации задачи (IV.30), (IV.31) |
проведено в |
работах [5, 41] в предположении, что |
|
^L(w,w)F0dxdy>0 |
(IV.32) |
а |
|
0 2
для w£Wi(Q), w=£0. При некоторых ограничениях методами вет вления задача изучалась в работе [29]. Ниже будут описаны точ ки бифуркации задачи (IV.30), (IV.31) без предположения (IV.32).
186
Обобщенное решение задачи (IV.30), (IV.31) понимаем анало гично п. 2 §7 гл. III и эту задачу решаем в пространстве
о |
о |
|
|
Пусть R : W\ (й) ->- W2(Q) — оператор, ставящий в |
соответствие |
||
функции w обобщенное |
решение / = Rw уравнения |
|
|
|
|
А 2 / = — L (w, w). |
|
Непосредственно проверяется, что оператор R всюду дифферен |
|||
цируем по Фреше и что производная оператора R в |
точке w — |
||
R' (w) — определяется |
|
равенством |
|
<R'(w) |
|
Ф яр> = — 2 ^ w L (ср, яр) dxdy, |
(IV.33) |
|
|
Q |
|
|
|
|
0 |
где скобками < , > обозначаем скалярное произведение в №|(Q). Просто проверяется и неравенство
II Rw || < С || w ||2 , |
(IV.34) |
о |
|
где || • || — норма в W\ (Q). Из (IV. 33) также |
следует |
R'(w) w = 2R (w). |
(IV.35) |
Покажем, что функционал |
|
F И = j j {{Awf~ 4- L (w, w) Rw} dxdy a
непрерывно дифференцируем по Фреше и что
|
<F'w, |
<р> = 2J[{АауАф — L (w, Rw) ф} dxdy. |
|
(IV.37) |
||
|
|
|
а |
|
|
|
Для этого достаточно заметить, что |
|
|
||||
j" \ L (W, w)[R (w + ф) — Rw] dxdy — f j l (w, w) R' (w) ydxdy + |
/ (ф) = |
|||||
Й |
|
|
a |
|
|
|
= ~T |
<R' И |
». Я » |
Ф > + / (Ф) = — <Rw,R'(w)q>> |
+ /(ф) = |
||
|
|
= 2 |
(w, Rw) ydxdy + I (ц>), |
|
|
|
где || Ф й - 1 / (ф) |
0 при ф -+ 0. Здесь |
воспользовались |
формулами |
|||
(IV.33), |
(IV.35) |
и непосредственно |
проверяемой симметрией |
выра |
||
жения < |
R' (w) ф, я|> > |
относительно, w, Ф, Я|). |
|
|
187
Из (IV.37) следует, что спектральная задача (IV.30), (IV.31)
эквивалентна задаче |
|
F'w = XG'w, |
(IV.38) |
о |
|
где функционал G : W\ (Q) ->- R1 определяется |
равенством |
G (ш) = J J L ( ^ 0 , Ю ) wdxdy. |
(IV. 39) |
а |
|
Проверяется, что для функционалов F, G выполнены предположе ния 1) — 3), сформулированные в начале параграфа. При этом при проверке условия 2) используется неравенство (IV.34). Из (IV.37) и (IV.34) следует также
|
|
<F"(0) |
w, ф > = |
2^AwAydxdy. |
|||
Теперь из теоремы |
12 следует теорема. |
|
|||||
Теорема 14. Для |
того |
чтобы число \ |
было точкой бифуркации |
||||
задачи |
[IV.30), |
(IV.31), |
необходимо и |
достаточно, чтобы задача |
|||
|
|
|
А2ш = \0L |
(F0,w) |
|||
|
|
|
|
w |
dw |
= О |
|
|
|
|
|
дп |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
имела |
ненулевое |
решение. |
|
|
|
|
§4. О точках бифуркации вариационных эллиптических задач
Результаты предыдущего параграфа можно распространить и на некоторые классы функционалов в банаховых пространствах. Вна чале рассмотрим функционалы
F (и) = |
(х, и, -gjdx, G (и) = j g (х, и) dx |
(IV.40) |
О |
Q |
|
О
для и £ Wlm (Q), где Q — ограниченная область в Rn с границей клас са С2-а, а > 0 .
Предполагаем, что |
функции |
|
f(x,u,p), |
g(x,u), (x,u,p)£QxRi |
X R" |
непрерывно дифференцируемы по х при всех и, р, дважды непре рывно дифференцируемы по и, р и при 2 < т < п выполнены
188
оценки с положительными постоянными Съ |
С2 (в случае т > п |
|||||||||
вид оценок |
упрощается) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*>£ |
д % и Р 1 Р ) |
^}>сг(\ |
|
|
+\Р\Г~2 |
|
£ g . |
||
S |
I |
|
|
|
2 |
|
d V |
|
|
|
i (l |
+ I P I ) |
|
|
+ |
ap^a*,-- 1 < 1 + И > } + |
|||||
|
d2/ |
(1 + I P D + |
|
|
a2/ |
+ |
|
|
(1 + И ) + |
|
|
dp,- du |
дидх; |
дидх, |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
f=i
+ |
d2g |
+ |
d2/ |
|
du2 |
диг |
|||
EL |
~Ь |
К |
|
< C 2 { 1 |
ди |
ди |
|
||
|
|
д) |
(x, и, 0) |
|
|
|
ар. |
|
|
(1 + | ы | ) 2 < С 2 ( 1 + | " l n - m + | p | m ) ,
+ | " Г . + | р Г ~ , + - } , т 1 < - 7 Г ^ - 1,
< C 2 |
{ l + | « H . m 2 |
< ^ ^ ; |
|
|
n — m |
2) |
|
| G ( U ) | < C 2 | < G ' « , u > | , |
|
где G'—градиент функционала G; |
|
||
3) |
< F'u, и > > Cx (|| u | | ? + || и ||Г,т), |
|
|
где ||-Hi.r — норма в Wlr (Q). |
|
||
При этих |
условиях |
функционалы F, G принадлежат С2 . Как |
|
и выше, через F',G' обозначаем соответственно градиенты |
функ |
||
ционалов F, G и через |
F" (и), G" (и) — производные Фреше |
опера |
|
торов F',G' |
в точке и. |
Пусть |
|
f (х и п) - |
d f { X l ц ' р ) |
Г - Л . f • - |
Tt(x,u,p)— |
dp_ |
'lo— зи'Ги — |
dZf
д р [ д Р /
Изучаются точки бифуркации |
уравнения |
|
||||
|
|
F'u |
= |
Wu |
|
(IV.41) |
или, что то же самое, |
уравнения |
|
|
|
||
•S Щ ^ (*' |
" 5 ) - Ь (Х> |
§) |
= ~ **• <*' Ы)' |
( l V - 4 2 ) |
||
Пусть F (0) = G (0) = 0, |
F' (0) =G' (0) = 0 и сохраним |
все опре |
||||
деления § 2 —3. |
|
|
|
|
|
|
Теорема 15. Для того |
чтобы число \ |
было точкой |
бифуркации |
189