книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка

Покажем,

что

А' (и) — производная

Фреше оператора

А

в точ­

ке

и — определяется

равенством

(A'

(u)v,w)

=

£

( Л а 6 (х,...,

Dmu) D*v

Dawdx.

|cc|,|P|<Sm Si

Необходимо

проверить,

что

« и

sup

< Л

( " +

" )

~ ; " 7 Л ,

( Ц )

^ )

= 0.

(Ш.41)

'

1И.Н-0

IM|=i

II "11

v

где

||-1| — норма

о

Гельдера

при

| | ш | | = 1

в №™(Q). По неравенству

^(A(u

+ v)-Au-A'(u)v,w)\<

£

J j

j

l

^

^

, . . .

| а | . | Э К тО

Й

...,Dm(u

+ tv))-Aafi(x,...,Dmu)\Pafidx}

dt,

( П Ш

)

где

/ 7 а р — те

же

числа,

что

и в

(III.3). Отметим,

что

при

р >

2^

1 >

ра я >

0-

Тогда (111.42) следует из

(III.43)

и леммы

1.

Замечание.

Лемма,

очевидно,

справедлива

для

области

произ­

вольной размерности. При р = 2 утверждение

леммы

15,

вообще

говоря, не имеет места

(об этом будет идти речь в § 1 гл. V).

Теорема 5. Пусть выполнены предположения

леммы

15 относи­

тельно оператора А, определяемого формулой (III.40),

и

предполо­

жим, что АО — 0

и уравнение

А'

(0) и = 0 имеет

только

нулевое

решение. Тогда поле Аи удовлетворяет условиям

1) — 3)

настоящего

параграфа,

нуль—изолированная

критическая

точка

поля

Аи

и

индекс нуля

этого поля можно вычислить

по теореме 4.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Оператор

Г: W™(Q)

[5^(П)1*

можно определить

равенством

(Ги, v)

=

и (х) v (х)

dx,

< {А' (0) + Г) и, и) > 0 при и ф 0

(Ш.43)

где

k < m, ||

2 — норма

в W2 (Q), e— произвольное

положитель­

ное

число, С е

— постоянная,

зависящая

только

от

z,k,m,Q.

Если X выбрано так, что выполняется

неравенство

(II 1.43), то

из работы

[95] следует, что оператор

А' (0) +

Г: W™ (Q)

[ i l k (Q)]*

есть

изоморфизм. Это обеспечивает

выполнение

условия 2).

Для

доказательства условия 3) проверим, что при

достаточ­

но малом е множество 0Е пусто.

Предположим

противное: су­

ществуют

последовательности ип,

tn

такие, что

tn Аип + (1 -

tn)

Л' (0) ип

= 0, ип

0, tn £ [0, Ц.

(Ш.44)

Замечая,

что по теореме

вложения

ll"n llc»-'(Q)-^0 П Р И

получим при п достаточно больших из

<tnAun

+ (1 -

tn) А' (0) ип, ип > = 0,

произведя

простые

оценки,

l l «JL2< c i l « n L _ I . 2 .

Отсюда

видно,

что

слабый

предел vQ последовательности vn =

~ II " J

L . 2 в

о т

от

нуля.

Аналогично теореме 1

(^)

о т л и ч е н

главы

II

из

(III.44)

можно

получить,

что для

произвольной

строго

внутренней

подобласти Q'

области Q выполнена оценка

I K L + , . 2 < C

( П 1 . 4 5 )

позволяет перейти к

пределу при п-*-оо

в соотношении

<

ll«JU.2

'

Ф >

'

где ф — произвольная

функция

класса

С~(Й), и получить

<А' (0)vQ, Ф > = 0.

Это противоречит условию теоремы, так как выше было

показа­

но, что vQ=t=Q. Тем самым доказано выполнение условия

3).

< Аи, v >

=

Здесь

ди

/ ди

ди_

дх

дх

Предполагаем,

что

для

x£Q,

u£Rl,

р = (pv ...,

pj£R"

выпол­

нены условия:

а) функции ас(х,и,р)

непрерывно

дифференцируемы по

х,и,р;

функция а (х, и, р)

непрерывно.дифференцируема

по и, р\

б) имеют место

оценки с

положительными

постоянными С,,

S

да^х.и.р)!

+

* 1d*Pi ^ £ ) | } < С 2 ( 1 + | И р + Ь Г ) ,

ди

dat (х, «,р)1

\да.(х,и,р)

<|i( | « | ) (l +\р\У m—l

Щ

дх,

да(х,и,

р)| <c2(i+\uf

+ \ P n ,

д~и

max ( а + 1)

,,

Т ,

, р + 2 < ^ — ! — '

В этих предположениях аналогично

лемме 15

убеждаемся,

что

оператор А имеет в каждой точке и

производную

Фреше,

кото­

рую обозначим через А' (и).

Теорема 6. Пусть' выполнены предположения

а),

б),

АО =

0 и

уравнение. A' (0)w=0, имеет только

нулевое решение.

Тогда для

поля Аи, где оператор А определяется

формулой

(II 1.46),

выполнены

Рассуждаем от противного: пусть существуют

последовательности

ип,

/„такие, что

(Аип

+ (1 -

(п) А' (0)

ип = 0,

ия-4-0,

/„ £ [0,

1].

Как и

при

доказательстве теоремы

5,

проверяем,

что

слабый

и

предел

vQ

последовательности

vn — г—Ц— отличен от нуля

и что

А'

(0) vQ=

0. При этом

рассматриваются

отдельно

два случая:

б) 1 У Ь

< С„ <

+

оо.

п

Невозможность

первого

случая

устанавливается

непосредственно.

индекс дифференциальных операторов при р =

2.

Пусть Н — вещественное сепарабельное гильбертово

простран­

ство, U—некоторая окрестность нуля пространства Н, А : U-+H —

ограниченный

деминепрерывный оператор,

удовлетворяющий

условию а) и пусть Л0=0 . Предположим, что

оператор

А в каж­

дой точке u£U

имеет производную Гато,

которую

обозначим

h) для произвольного элемента v € И из ип

0 следует

lA'(un)]*v-+[A'(0))*v,

тор Т0:Н~*-Н

такой,

что

для

некоторого г > 0

выполнено не­

равенство для

и£Н

при \| v||

<

г

<(A'(v)

+

r0)u,u>>C\\u\\*

(Ш.47)

с положительной постоянной

С.

При этих предположениях имеет место теорема.

числом

Теорема

7. Пусть

1

не

является

характеристическим

оператора

L 0

= H'(0) +

ro ]-'ro .

Тогда

нуль—

изолированная

критическая

точка

поля Аи и

индекс

нуля

равен

(—l)v ,

где

v — сумма

кратностей

характеристиче­

ских

чисел оператора

L 0

, лежащих на

интервале

(О, 1).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Покажем,

что

при достаточно ма­

лом б > О

tAu +

(l—f)

А'

(0) и Ф 0 при

t £ [0, 1],

0 <

|| и || < е.

(111.48)

такие, что

+

О -

О

А' (0) ип

=

0,

ta£[Q,

1), ы „ +

0.

(Ш.49)

Из (III.49) получаем

i

J < КА'

К )

" , , + 0 - О А'

(0) ип,

ип>

ds =

0,

о

откуда в силу (III.47)

следует,

что

слабый

предел

vQ

последо­

вательности о л = | | ы

„ | | - ' %

отличен

от

нуля.

Из

(III.49)

получим

для произвольного

t>£ff:

1

J < [tnA'

(sun)

+

(I -

g

A'

(0)] Vn,

v>ds

= 0.

6

Переходя здесь

к

пределу на

основании

условия п),

имеем

А' (0) v0

=

0,

что противоречит

условию теоремы.

Тем самым доказано соотношение

(II 1.48). Отсюда следует, что

нуля поля

Аи совпадает с индексом нуля поля А' (0) и.

Для поля

А' (0) и, очевидно, выполнены

все условия теоремы

4,

и

формула

для индекса, таким образом, следует из теоремы 4.

Укажем применение теоремы 7.

16. Пусть

оператор

о

о

определяется

Лемма

А : W™ (Я)-»- W™ (Я)

равенством

(111.40),

где функции Аа(х,

|) непрерывны по х, непре­

рывно дифференцируемы по\и

удовлетворяют

неравенствам

(II 1.3),

(II1.4)

при р = 2. Тогда оператор А

имеет

производную

Гато в

каждой

о

и оператор А

удовлетворяет

точке пространства

(Я)

условию

К).

(А' (и) v, w) =

£

j Л а В

(х, и,..., Dmu)

DavD^wdx

|а|.|Р|<ш

Я

проверяется

на

основании леммы

1. Проверим только условие h).

По

неравенству Гельдера

j^\(A'

(и)о-А'

(0)

v,w)\<

\_

|al=|3l=m 'я

I

'

+

2

Dmu)-Aafi(x,0)\p«4x\prt.\\w\\.

(111.50)

Оба члена в правой части

(II 1.50) стремятся к нулю по лемме 1

при

||и||

0.

Отсюда

следует,

что

оператор

А удовлетворяет

условию h).

Неравенство (111.47) для оператора А из леммы 16 проверяется

аналогично

( I I I .43)если определить Г0

равенством

(Т0и,

v) =

X j и (х) v (х) dx

я

10—843

145

ный оператор,

удовлетворяющий

условию

а).

Предположим,

что

OGD и для

u€S:

Тогда

уравнение

(Аи,и)>0.

(111.51)

Аи

=

0

_

(111.52)

имеет в D по крайней

мере одно решение {здесь D — замыкание об­

ласти

D).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

уравнение

(III.52) не имеет ре­

шения на S, то по лемме 4 при достаточно больших п определяемое

формулой

(II 1.17) поле Ф„(«)

не обращается в нуль на

5П .

Поле Фл (ы)

на

S„

гомотопно

на

Sm

единичному,

именно,

при fg[0,

1],

u£Sn:

to +

(1 — t) Ф„ (и) ф

0.

(111.53)

Предположим

противное,

что для

некоторых

ш о ,

п.

«0 =

2;

cf\£Sn

неравенство (Ш.53)

нарушается.

Тогда

и

<0 40 )

+ (1 - 1 0 )

(Аи0, vt)

— 0,

i =

1 , . . . . п

toi

lc\O)f

+

a-to)(Auo,uo)

= 0,

что противоречит (II 1.51).

Из

неравенства

(II 1.53)

вытекает,

что вращение

поля

Ф„(ы)

на 5„, а следовательно,

и Аи

на 5 равно единице. Утверждение тео­

ремы следует из принципа ненулевого вращения § 3.

Замечание

1. При доказательстве теоремы получили, что враще­

ние не обращающегося в нуль на S и удовлетворяющего

условию

(III.51) поля Аи равняется единице.

Отсюда и из леммы 10, в частности, вытекает следствие.

Следствие

1. Пусть А : D -»- X* — ограниченный хеминепрерыв-

ный оператор с полуограниченной вариацией, Т : D -> X*— строго

непрерывный оператор и D — выпуклая содержащая нуль область

пространства X

с границей S. Предположим, что

inf < Аи +

Ти, и

»

0.

(Ш.54)

Тогда

уравнение

Аи + Ти = 0

имеет в D по крайней мере одно решение.

Следствие 2. Пусть А

: X

X* — ограниченный хеминепрерыв-

ный оператор с полуограниченной

вариацией,

Т : X

X* — стро-

го непрерывный оператор. Предположим, что

ton < ^ g f f >

= +

со.

(Ш.55)

Тогда

| | ц | | - > оо

N " И

уравнение

Аи + Ти = h

имеет

решение

при любом

п£Х*.

Последнее

утверждение

следует

из

того,

что

на

сфере

(0) = {и : || и || = R}

при

достаточно

большом

R

для

поля

Аи-\-Ти

— h выполнено

условие

(III.54).

Условие (III.55) называется условием коэрцитивное™. Ряд ре­

зультатов, аналогичных следствию 2, получили

Ф.

Е.

Браудер,

Ю. А. Дубинский и др. (см., например,

[47,

73,

17]).

Признак существования критической точки дает теорема 3.

Пусть 5,(0), 5,(0)—соответственно

шар

и

сфера

в

пространстве X

радиуса г с центром в нуле.

Теорема 9. Пусть A: Br(0)-+

X—ограниченный

деминепрерыв­

ный

оператор,

удовлетворяющий

условию

а). Предположим,

что

поле

Аи не обращается

в нуль

на

Sr(0)

и

для

u£Sr(0):

II

М

-ФАЕ&Г-

( - и )

(HI-56)

А* ||„ ""НМ

Тогда уравнение

Аи — 0

имеет решение

в шаре

Вг(0).

Теорема непосредственно следует из теоремы 3 и общего прин­

ципа существования критических точек, сформулированного

в § 3.

Замечание

2. Пусть А — оператор, удовлетворяющий всем пред­

положениям теоремы 9.

Уравнение

Аи = h

разрешимо в

Вг(0), если

для

u£Sr(0)

| | А | | „ < | | Л и | и .

(111.57)

операторов обратил внимание Я. Б. Лопатинский [93].

Определение

7. Оператор А : X - у X* называем

асимптотически

однородным, если он может быть представлен в виде А = А0

+

Ах,

где

А0

— положительно

однородный

оператор

порядка

k >

0 и-

Нщ || Аги

||„ || и |Г* = 0.

Определение 8. Назовем асимптотически однородный оператор А

регулярным

на

бесконечности,

если

уравнение

А0и

=

0

имеет

только

нулевое

решение.

Теорема

10.

Пусть

А : X -*• X* — асимптотически

однород­

ный

регулярный

на бесконечности оператор.

Предположим,

что

А,

А0—ограниченные

деминепрерывные

операторы,

удовлетворя­

ющие условию а) и что индекс

нуля

поля Ааи

отличен

от

нуля.

Тогда

уравнение

Au = h

разрешимо

при

любом h£X*.

Для

д о к а з а т е л ь с т в а

теоремы

достаточно

убедиться,

что для произвольного п£Х*

можно

указать

R

так, чтобы при

u£SR

(0)

нулевого

вращения.

Отметим еще несколько признаков существования

критической

точки для оператора А : X

X.

Теорема 11.

Пусть

X — рефлексивное,

допускающее

аппрокси­

мацию

банахово

пространство

и предположим,

что X*

равномерно

выпукло и дуальное отображение J слабо непрерывно.

Пусть

D —

произвольная содержащая нуль

ограниченная

область

в X

с

грани­

цей S

и

А : D -v X — ограниченный

деминепрерывный

оператор,

удовлетворяющий

условию а* и такой,

что для

u£S

Тогда

уравнение

<Ju, A i > > 0 .

(111.58)

_

Аи = 0

имеет решение в D.

Если Аи Ф 0 при и £S,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

то из леммы 8

нуль на Sn. Покажем, что при этом для t£ [0,

1],

u£Sn

Ш +

(\-$хп(и)ф0.

(111.59)

Предположим противное:

существуют f0 £[0,

1],

u0£Sn

такие,

что

Тогда

1 ц > 0

и

/0 (Ju0,

и0) + (1 -

g

(J (и0), %п

(«„)> = 0.

(III .60)

Непосредственно

проверяется,

что

и равенство

(III.60)

невозможно

в

силу

(Ш.58). Из

(Ш.59)

сле­

дует,

что вращение

поля

%п(и)

на

Sn,

а следовательно,, и

Аи

на S

равно

единице.

Это

доказывает теорему.

теоремы

I I , D—

выпуклая,

содержащая

нуль ограниченная

об­

ласть пространства X с границей S. Пусть А : D -»-

X—ограни­

ченный

хеминепрерывный оператор с полуограниченной

./-вариа­

цией, Т

: D ->• X — строго непрерывный оператор и предположим,

что для

и £ 5

(Ju,

Аи + Ти) >

0.

Тогда уравнение

Аи + Ти = 0

имеет в D по крайней мере одно решение.

В случае J — монотонного оператора А

(для произвольных

и, v

(J (и — v), Аи — Аи) >

0)

Теорема 12. Пусть

пространства

X,

X* удовлетворяют

усло­

виям теоремы

11, D —

произвольная

содержащая нуль

ограниченная

область в X

с границей S,

А : D -*- X —

ограниченный

деминепре-

рывный оператор,

удовлетворяющий

условию а*. Предположим,

что

из

равенства

Аи

— ки

'

для

u£S

следует

h >

0.

Тогда

уравнение

Аи — 0 имеет решение

в D.

Условие теоремы непосредственно обеспечивает гомотопность на

S поля Аи

полю и, откуда следует, что вращение Аи на S равно еди­

нице. Как и выше, отсюда следует утверждение теоремы.

Из теоремы 12 получаем следствие.

Следствие. Пусть

пространства

X,

X*

и область такие же,

как

в теореме

11. Пусть

А — 1 — К — F: D -»- X, где / —

единичный,

F — вполне непрерывный,

К. — строго сжимающий

оператор, и

предположим,

что

из

равенства

.• 1