книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка

о,

о 0

,

где А : W'p

(Q) ->- \W'D

(Q)]

— оператор,

определяемый равенством

< ^ » > - # « - ' « { ( - £ + т - - £ ) - £ - +

+ w - H 5 -

+

( - F - + " i - S f - ) $

^

-

<«'-8 2 >

Аналогично § 1 проверяется ограниченность

и

непрерывность

оператора

А.

Лемма 17. Определяемый равенством (III.82)

оператор

А удо­

влетворяет

условию

а).

о2

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

последовательность

un£Wp(Q)

слабо сходится

к и0

и

П т Я п < 0 ,

(III.

где

п - > оо

\ = < Л " п - Л " о - " п - " о > -

Из неравенства

Я 2 ( д а + / ф ) > 0 ,

справедливого

для всех

вещест­

венных I,

следует

d2w

J_

d2w

\ д \

d2w

д2<?

,

йх»

" Т О

"

- , 2

5..2 " Г

Я и Л м

" Л^-Лг/

~ Г

2

ду2

} дх2

^

дхду

дхду

Отсюда получим оценку

Ья >

J J 1ЯЦ (Ы | 1 ) -

(и0)] [Я (ип)

-

Я (u0)] d*d#. (111.85)

Из неравенства

( I I I . 83)

и последнего неравенства

следует:

а) последовательность

Я (ип)

сходится

к

Я (и0)

по мере;

равномерно

относительно

/г, £ c z Q .

Для проверки

(II 1.86)

достаточно заметить, что из

(II 1.85) для

произвольного измеримого множества

EczQ,

оценивая

по неравен­

ству Юнга,

получим

J j Я р

(и„) dxdy < С [Ка +

J ( Я р

(«0 ) dxdjA

с положительной

постоянной С.

Для доказательства сильной сходимости ип к

и0 достаточно

в силу (111.86) показать сходимость производных

второго

поряд­

ка функций ип к соответствующим производным

функции

и0 по

зуя а), можно выбрать измеримое множество

£ б с : Я

так, чтобы

m e s £ f i < - 2 - и

на Я \ £ б производные второго

порядка

функций

ип и «0

были

равномерно

ограничены. Из

а)

следует,

что

на

Я \ Е 6

последовательность

Н2 (ип) сходится

к

H2(uQ)

в

L y

То­

гда из

получим сходимость ип к «0 в

( Я \ £ 6 ) ,

так как второй

интег­

рал справа

стремится

к

нулю

в

силу

слабой

сходимости

ип к

° 2

•>

uQ в Wn(Q).

Из сходимости

ип

к

ы0

в

( Я Х ^

следует

схо­

димость ып

к uQ по мере на

т. е.

по

заданным

е, б > О

можно выбрать nQ и множество £ * ( в с Я \ £ в

так,

чтобы

m e s £ ; 6 <

А

и

для (х,

г / ) £ Я \ ( £ 6 U £ * Л )

I £>v"„ (х, у)— DyuQ

{х,у)\<Е,

| у | =

2,

/г >

/г„.

Тем самым

доказана

сходимость

производных второго порядка ип

к соответствующим

производным

и0

по

мере

в

Я,

а

следо-

вательно, в силу (III.86), и сходимость ип

0

2

к ы0

в

Wp (Я). Отсюда

следует утверждение

леммы.

Отметим еще свойства

оператора Л:

(Ли, и)

=

j j

Hp(u)dxdy,

(111.87)

если ифь,

то

а

(Аи

— Ли, u — v)

> 0.

(111.88)

11—843

161

Последнее неравенство

следует

из

(II 1.84) и обеспечивает

единст­

венность решения уравнения Aw = f.

Применяя теоремы 8, 13, получим такую теорему.

Теорема 21.

Задача

(II 1.79),

(II 1.80) имеет

единственное обоб-

°9

щенное

решение

ип при

произвольной функции f£[W~p(Q)] ,

Галер-

кинские

приближения

ип

задачи

(111.79), (III.80)

существуют

при

любом

п и при

п-+оо

приближенные

решения

ип

сходятся

к

и0.

4. Упруго-пластическое

кручение упрочняющихся

стержней.

За­

дача сводится к решению уравнения

дх

/ (Т2

(и)) Щ +

(и)) - |

j =

g

(111.89)

в ограниченной

плоской

области

Q с

граничным

условием

"laa

=

°-

("I - 9 0 )

Известно, что T(T)=f(T2)T

— возрастающая функция Т при

Т > 0.

a0

+ a

i t 2

<f

(t)

<

Л0

+

Axt

2

,

где р >

1,

а0 > 0,

ах

>

0

и

при р <

2,

А0

=

0.

о.

решать озадачу

Будем

(III.89),

(III.90) в

пространстве

Wp (Q),

предполагая g£[Wp(Q)]

. Как

обычно,

задача

сводится

к опера­

торному

уравнению

Аи =

g,

(111.91)

0

1

0

1

где оператор А : Wp (Q) -»- [Wp (Q)]

определяется

равенством

<Л Ы ,ф) = ДО/<7*

( « ) ) { * • . *

+ £ • . *

jdxdy.

(111.92)

а

(Аи,и)

=

j j

f(T2(u)) Т2

{u)dxdy

(111.93)

(Аи

— Av, и — v)

>

> f f [/ (T2 (и)) T(u)-f

(Т2

(v)) Т (v)] (Т (и) -

Т (v)) dxdy.

(Ill .94)

Для получения (III.94) достаточно заметить,

что

ди dv

ди

dv

о ,

щенное решение и0 при произвольной

функции

g£[Wp(Q)]

.

Галер-

кинские

приближения

ип

задачи (III.89), (III.90) существуют при

любом

п

и при п-э-оо

приближенные

решения

ип сходятся к «0.

5. Упруго-пластический

изгиб

жестко

закрепленной

пластин­

ки. Прогиб

пластинки

w(x,

у)

удовлетворяет

уравнению

d2w

дх*

g(H

и ) [

_

+

т

_

\

+

w дхду

g { H

(w))^

+

8("

2 , - л ч /

™

\

d'w\

> » i

dy2

^

2

ax2

=

/ (X,

у),

(X, у) £

Q,

(ПГ.95)

и граничным

условиям

дш

w дй

~дп

да =

0,

(III. УЬ)

(гю)

g — функция,

где Я 2

определяется

формулой

(III.80),

харак­

терная

для

данного

материала.

Сейчас

при слабых предположениях докажем

существование,

о

единственность обобщенного решения в Wp(Q), р >

1, и сходимость

для задачи

(III.95), (Ш.96) метода Галеркина.

11*

163

1) g(t) — непрерывная

функция

при t >

0;

2) при t >

0 выполняется

неравенство

а0 + а^2

<g(t)<A0

+

AJ*

,

где

р > 1, а0

> 0,

аг > 0 и при р <

2

Л0

= 0.

о 2

Задача (III.95)

(III.96)

будет'решаться

в

пространстве Wn(Q)

о ,;

в предположении f£[W~p(Q)]

Аналогично

предыдущим пунктам

можем свести

задачу к операторному

уравнению

Аи = /,

(III.

° 2

0 '

^ •

где

оператор

А : Ц7р (&)->- [W'p (Щ

определяется

равенством

(Аи,

и) > ах

Нр (и) dxdy.

Отсюда

и из теорем

8, 13 следует

такая

теорема.

Теорема 23. Задача

(III.95),

(III.96) имеет

единственное

обоб­

щенное решение и0 при

произвольной

функции

f £ [W2P (Я)] .

Галер-

кинские

приближения

ип

задачи

(III.95),

(III 96)

существуют

при

любом п и при п-*- оо приближенные

решения

ип

сильно

сходят­

ся к

и0.

равновесия.

Диффе­

6.

Трехмерная задача упруго-пластического

^ i -

+

pFt = 0,

x£

QczR3,

(111.99)

где компоненты

тензора

напряжений

а выражаются

через ком­

поненты тензора деформации £г / равенством

°ч

= +

2 *

( Г )

{ в £

/ - | е б , } .

(И. 100)

Здесь k—коэффициент

объемного сжатия, k > 0, б,7— символ Кро-

некера,

ut

— компоненты

смещения,

в =

в(и) =

8 ( Д г

(III. 102)

Отметим, что в формулах

(III.99), (III.102) и в дальнейшем

подра­

зумевается суммирование по парам одинаковых индексов в пре­

делах от I до 3

и, вообще, все индексы принимают значения

1, 2, 3.

Г — интенсивность

деформации сдвига,

1

Г

= Г (и) =

(2е . . е

, . ) 2

,

е v

= в ( / (и) -

в (и) 8tr

(III. 103)

g— некоторая положительная функция,

характерная для данного

материала и называемая модулем пластичности. Известно, что для

реальных материалов интенсивность касательных напряжений

Т

=

=

g (Г) Г — возрастающая

функция

интенсивности

деформации

сдвига.

F,—

В уравнении (III.99) р—плотность

среды,

компоненты

массовой

силы.

Учитывая (III.100)—(III.103), можем записать уравнения ра­

вновесия (III.99) в смещениях. На границе S тела Q смещения за­

даем в

виде

u , | s = 0 ,

t =

1,2,3.

(III. 104)

Предлагаемый метод позволяет рассмотреть и такие условия,

когда

на границе заданы нагрузки, а также случай неоднородных гранич­

ных условий.

Задача

(III.99),

(III.104)

изучалась

вариационными

методами

в работах

[45, 46],

где доказывалась

слабая сходимость

минимизи­

рующей последовательности. При этом, в частности, предполага-

лось, что

при

Г >

0

g(T)>C1>0,

^ > С 2 > 0 ,

где Съ

С2

— постоянные. Последние

условия, например, не вы-'

полняются

в состоянии

простого

нагружения,

когда

Т =

АТа,

где А, а > 0— постоянные.

В настоящем пункте при более слабых ограничениях докажем

существование

обобщенного

решения

задачи

(III.99),

( I I I . 104)

и

докажем сходимость для этой задачи метода Галеркина.

Предполагаем:

1) g (Г) — непрерывная функция

при

Г >

0;

2) при

Г >

0

выполняется

неравенство

ап

+ ^ Г " - 2 < g ( Г ) < А0 + Л х Г р - 2 , '

где р >

1, а0 >

0, аг >

0 и при р <

2 А0

= 0. Обозначим через

X

замыкание

линейного

многообразия

вектор-функций

{и =

(н,, и2,

и3),

ut

е С7

(О),

1 = 1 , 2 , 3}

по

норме

3 " i

dx

^7

ний

Задачу

(111.99),

(III. 104)

будемо решать

относительно смеще­

в X,

предполагая,

что p/^dfHT^Q)]*. Вектор-функцию

и£Х

называем

обобщенным

решением

задачи (111.99),

(III. 104),

если

для

произвольной

ф =

(срг, ф2, ф3) £Х имеет

место

интегральное

тождество

\

{Чг-

*и + 2S (Г <«))

[в( /

(и) - -L

в (и) б,.]}

*L-dx

= ( p/v

Ф ( . ) .

Q

валентно решению операторного уравнения

Au =

pF,

(III. 10

где оператор

А-.Х-+Х*

определяется

равенством

{Аи, Ф ) =

j j i g L 6 i

/ + 2

^ № )

[ в , (И ) - 4-е (и) б,.]}

dx

и

(III. 106)

(рЛ

ф) =

(pF'r

Ф<)-

гц И е «7 (Ф) — X Е { и ) е ( Ф ) < 4Г ^ Г

(III. 107)

получаем

(AU-AV,U-V)>\{°-^1

+

+ lg (Г {и)) Г(и)~ё

(Г (о)) Г (у)] [Г (и) -

Г (о)] J rfx, (III. 108)

(II 1.104). Из ( I I I . 108)

также имеем

(Аи, и) >

j

{ « М - + g (Г (и)) Р

(u)j dx.

(III. 109)

Q

Лемма 18. Оператор

А коэрцитивен:

lim

\fu',,u^ = +

°°-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно

||U||x->co I I " \\х

(III. 109),

проверить в силу

p w > c i I ( * 7 + - s f ) + E h s f — * f M

( I I U 1 1 )

+ /

i./=l

Здесь и дальше Cft — положительные постоянные. Пусть

ди.

ди,

f., и)=-^-

— - г 2 - •

Из (III.111) имеем

I

ll^(")HV0,+ S H e « ( " ) l | v « < c 2 | | r

" l l w

( Ш Л 1 2 )

i.i=i

i+i

Для

произвольной функции

9tCo°(Q):

Г 12 * L . * L +

%L . * L + . *L Id x =

1 I ocj 3xt

1

дхг

дх^

дх3

-дха

\

h

= j

{[/„ (") + />з (")]

-

2e„ (и) £

-

2 B 1 3

(a) - g . j & .

(III. 113)

£2

Отсюда, из (III.112) и Lp-оценок для линейных

эллиптических

уравнений

([1, 95, теорема

6.21) следует

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

ы( П ) — слабо сходящаяся

к ит

подпоследовательность и пусть

lim К < 0,

Кп = (Аи{п)

-

Аит, uin) — ит).

(III. 114)

п - > с о

Требуется доказать,

что || и(п) — ит

\\х ->- 0.

Из (III. 107) имеем

Аи +

КТи = О,

где оператор А

удовлетворяет

условиям § 2

гл. I l l , Т—вполне

непрерывный оператор из банахова пространства X в его сопряжен­

ное. Как видно,

из § 1 гл. I I I , к этой задаче

непосредственно сво­

поэтому

эта переформулировка

не всегда

приводится.

§

1. Существование собственных

функций

Пусть

X — сепарабельное

вещественное

рефлексивное

банахово

пространство, X* — его сопряженное. Пусть А : D0 -> X* — огра­

ниченный деминепрерывный

оператор, удовлетворяющий

условию

а) § 2 хлавы I I I , Т : D0-*-

X* — вполне

непрерывный

оператор,

где D0

а

X — замкнутое множество, 0 £D0

и пусть А 0 =

Т 0 = 0.

Рассматривается задача о существовании

нетривиальных

решений