книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка
.pdfпроизвольной функции |
и (х) и произвольных |
|
чисел г, |
s, |
Я, |
удовлетво |
|||||
ряющих |
условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/о ( # ) < + оо. Тг/Н) |
< + |
оо. г < |
1, 0 < |
0 (г + -£ |
- |
2) |
< SV N |
||||
|
4 m < s < C 0 , 0 < Я < — , |
|
0 < Я < |
|
d |
|
|||||
конечна |
величина |
Jr,s |
(Я, я))) и имеет |
место |
оценка |
|
|
|
|||
|
ГГЛ (Я, |
< |
СК^ |
• {/„ ( Я ) } 7 |
. {7 s |
(Я)}Т . |
|
|
(1.83) |
||
Здесь сохранены |
обозначения |
формулы |
(1.76). |
|
|
лемм 12, |
|||||
Второе условие из (1.77) возникло при применении |
13. Покажем, как нужно изменить эти леммы в нашем случае.
Вместо (1.60) и (1.65) при 0 < р < |
c J / |
. _ можно получить со- |
||
ответственно |
|
|
|
|
£ \w(x)]Q\A(ll),..A(lk)Deu(x)\^C |
|
|
£ | Д ( / , ) . |
Д(?,)х |
|р|«="» |
|
|В|=т |
|
|
X {[w (х)?1?и |
(х)} | + CR3 |
(р., |
(1.84) |
|
£ [ш U)]Q | Д (I) Dp u (х) | < |
С £ |
{| A(l)[wQ(x)D^u(x)]\ |
+ |
|
I3l=m |
iei=m |
|
|
|
+\A(l)D*u\-},
где сохранены обозначения формул (1.60), (1.65) и R3 (г) < Rs, Проверим, например, последнее неравенство. Оно следует из
Д (I) [wu (х) D^u (х)] = w° (х) A (l)Lfu (x) + Д (I) [w (x)]Q[ Д (/) if и (x) +
+D*u(x)\,
\A(l)[w(x)f\ |
= p j |
[(1 + |
*Д (0) |
w(x))Q-1 |
dt-A(I) w (x) |
<S 3 p [ a T 2 |
( * + |
|
0-5 |
|
\A(l)D°u(x)\. |
0 + a ' |
Ml |
£ |
|||
|
|
|
|
|6|=m |
|
Применяя (1.84) и сохраняя дальнейшее доказательство неравенст ва (1.76), получим (1.83).
50
§ 5. Ограниченность производных т-го порядка
Здесь докажем ограниченность производных т-го порядка обоб щенного решения и (х) уравнения (1.27), предполагая выполнен ными условия (1.29) — (1-31) и условие (1.28). Основную роль в доказательстве будут играть полученные выше неравенства (1.47), (1.76).
|
Вначале получим из основных неравенств связь между |
|
j ' , |
s |
(Н, ар) |
|||||||||||||
при |
различных |
значениях |
г, |
s, |
Н, |
о|з, |
предполагая, |
что |
эти |
вели |
||||||||
чины |
конечны. |
Пусть |
и—обобщенное |
решение уравнения |
(1.27), |
|||||||||||||
|
|
Лемма 17. |
||||||||||||||||
удовлетворяющее условию (1.28) и пусть выполнены |
условия |
(1.29)— |
||||||||||||||||
(1.31), / а ( х ) £ £ Р , ( / ? л ) |
при |
pQ |
> |
|
Пусть |
гр (л:) — некоторая |
функ |
|||||||||||
ция |
класса C°f (Qd), |
0 < d < l , « |
последовательность tyk(x), |
|
k = |
|||||||||||||
= |
1, . . . . |
2т + |
1 такова, |
что |
выполнены |
условия |
(1.66). |
Предпо |
||||||||||
ложим, что для некоторых чисел г, s, Н, удовлетворяющих |
|
условиям |
||||||||||||||||
|
|
г 3 * 1 . r + i - 2 > 0 , 4 т ^ 5 ^ С 0 л , |
0 < Я < Т |
^ г |
а |
|
||||||||||||
(mv |
т |
определены в §3, 4), конечна |
величина |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда |
при |
0<Н< |
2 ( m ^ _ m i |
) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
P = |
| [ r |
+ ( f - - 2 ) ( l - e ) |
f |
1], |
a |
= i -[s+20 .91 |
+ |
2 ( m |
i |
+ |
m)] |
||||||
конечна величина /Q, а |
(И), а следовательно, |
по теореме 2 uJ'Q |
а |
(Н, |
||||||||||||||
а|э), и имеет место оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Jl |
а |
(Н, |
ф) ^ |
СН-2п |
(гК-Г |
|
• |
Но ( £ ) У Ч < , СН, %-т+1 |
)}f, |
(1.85) |
|||||||
где т |
зависит |
только |
от |
т, |
п; s± |
определено §4, |
|
q то |
же, |
что |
||||||||
и |
в теореме 2, |
и постоянная |
С зависит только от т, п,Тр, р,, CQ, |
Cv Cv \\fa\\BP..
2
Начнем с преобразования левой части неравенства (1.47). Из
|
Р - 2 |
Р - 2 |
|
I |
[w (х + |
(x/i)] 2 [Vy |
(х, h)]r = [w (х)] 2 |
[Vy (x)]r + |
( [w (x + |
+ Vh)\~ |
- [w (x)] |
[Vy (x)]r + [w(x |
+ vh){~ |
([Vy (x, h)]r - |
|
|
~[Vy(x)]r) |
|
|
4* |
51 |
и легко проверяемых |
неравенств |
|
|
Р—2 |
р—2 |
С р—3 |
|
[вв(х + |хА)1 2 |
— [»(*)] 2 |
< С | а у 2 (х+цп) |
+ |
+^ ( * ) } j M A ( [ i A ) £ > 4
|[Vv (jt, |
h)Y —lVy(x)\r\<Cr\Vy |
2 (x, h) + |
v'y 2 (x)j) | A M ) D v u ( x ) | |
Л |
|||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р - 2 |
|
|
|
|
Р - 2 |
|
|
|
|
J w (x)] |
2 |
\Vy (x)]r (Ap (A) £>a u (A:))2 |
< С [w(x + fiA)] 2 |
[Vv (x, h)f |
X |
||||
|
|
|
(Г |
P ~ 2 |
|
P - 2 |
1 |
, |
|
X{^(h)Dau(x)f |
+ Cr2[[w |
2 |
(x-ffxA)+a> 2 (x)\[Vv |
(x)+ |
|
||||
+ |
{x, h)\ + |
(x + цА) + |
af*~ (x)] [V'v (x) + Vry |
(x, A)]) x |
|||||
X I |
S |
|Д ([г A) D° u (x)|2 ( m |
+ m i ) + I |
|Д (tJi) Dyu (x)|2 |
<"•+».># + |
|
|||
|
|
|
+ lAP (A)Da «(x)| |
|
|
( I 8 6 |
) |
Из (1.47) и (1.86) следует, что при выполнении условий леммы 17 при любом k имеет место оценка
2 |
i |
f ^ . ( i y v м Г 4 " 6 ^ ( A T 4 * 1 |
ДО^Лй«dx< |
|
|V|=|a|=m(=l О |
Й |
|
||
|
< С г 2 л 2 + 2 Л |
' 0 * Л ^ . ^ . й = 0 . |
(1-87) |
|
При |
этом |
интеграл |
|
|
|
J - р т г J |
I Ар (A) fe (х) | 2 [Vv (x, Л)ГЧ»* (*) |
^ |
|
|
о |
a |
|
|
оцениваем по неравенству Гельдера и (1.18).
Воспользуемся теперь доказываемым аналогично (1.60) неравенством
Г |
г_ЛР=± |
1| |
г |
л, р - 2 |
|
д т + т , [У |
(Х)12 4 |
D"" |
|
m+m,—1 m+m, г , Р—< |
,=1 ft,, Аг=1
m+m, ^
52
Отсюда |
и из (1.87) |
следует |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Г+Г.+1 |
|
|
|
|
||
2 |
2 |
J |
hl+n |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1=1 |
|V |=|al=mO |
|
|
Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т т, |
т/1т г' |
^ , |
|
|
|
(1.89) |
||
|
|
|
|
< с г |
^ ; , 5 |
( я , |
|
|
|
||||
|
р — 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где г г = |
—g—, |
т 2 |
= |
2 (т + JV + |
1). |
|
части |
|
|
j . |
(х) |
||
Дальнейшее |
преобразование |
левой |
(1.89) вводит ^ |
||||||||||
под знак разностного оператора и проводится |
на основании |
нера |
|||||||||||
венства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г+г,-Ц |
|
|
К+т' |
\lVy(x)] |
+ |
* |
Dawfi |
(х) |
<С{|А?m+m*llVv(x)) |
2 |
Dau] X |
|||||
s |
|
|
|
|
|
m+m, |
r+r, |
|
|
—(m+m,i |
|||
X^i.x)\ |
+ r(rK2-f+n" |
|
S |
|
V |
(* + |
ftM)*f |
||||||
|
2 |
|
X |
||||||||||
|
|
|
|
|
|V|=|a|=mft,,ftr=fO |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
m+mi—1 m+m, |
|
|
|
m+m, |
|
|
|||
|
|
|
|
i( |
/=12 |
fe,=0£ |
|A|(ft)Da «(x + |
A36.A)| |
' |
+ |
|
||
|
|
|
|
+ |
Л т |
+ т , У у ( х + |
А,е .й)|. |
|
|
|
a.90) |
Последнее неравенство доказывается применением формулы (1.13). При этом
|
|
|
|
|
< |
f+r,+l |
|
|
|
|
|
|
|
W v ( * ) l |
2 |
|
|
оценивается |
по неравенству вида (1.88), |
а А*{т|)2 |
(*)} представля |
|||||
ем |
по формуле (1.15) |
и затем |
непосредственно |
оцениваем. |
||||
|
Из |
(1.89) и (1.90) |
получаем |
|
|
|||
|
|
2 |
|
" " dh |
m i V v + 2 + ( * ) D a ^ 2 |
(*)' |
||
|
|
|
2 j ^ + r l A r + |
|||||
|
|7|=-|a|=m £=1 0 |
Я |
|
|
|
|||
и, |
следовательно, при любом 0 < k < 2m, 0 < -v < m |
|||||||
|
|
П |
H |
dh |
f f ~l "r '"t "' |
r+[m,+m—v) |
||
|
2 |
2 J J ^ J A T H V , |
' ( * ) D * ^ |
d x « |
||||
|
=|a|=m |
10 |
Я |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.91) |
S3
Сравнивая (1-72) и (1.91), видим, что / 0 ( Я ) можно оценить че
рез У*s (Я, ^ 2 m + I ) , |
|
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
6 |
|
г + |
г |
+ 1 |
|
0 |
|
|
s |
|
|
т. е. |
у (Р + гх) = |
|
* |
. у ( а — 2S ] ) = у + щ + т, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р = T [ r + r i ( 1 _ |
0 ) |
+ |
1 ] ' |
a = y [ s + |
2si e+2(m1 + m)]. |
|
|||||
Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/0 . , Й |
< |
С / ^ - Я - А ^ - / ; , |
(Я, г|)2 -+ 1 ). |
|
|
||||||
И, окончательно, |
из второго основного неравенства (1.76) следует |
|||||||||||
У; JH. ф) < С г 2 ^ + - я - 2 " / с | - 4 |
т + 4 ' " ' |
{/о (Я) Г |
{У;_ s (Я, г!>2 -+ | )}V, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.92) |
что |
и доказывает |
лемму. |
Отметим, |
что из |
условия |
(1.28) |
сле |
|||||
дует |
/ 0 (Я ) < + о о . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из леммы 17 можно |
получить ограниченность Jr,s |
(Я, о|э) при |
||||||||||
всех г, s, Я и соответствующем выборе |
если известна |
ограничен |
||||||||||
ность этой величины при некотором |
г, удовлетворяющем условиям |
|||||||||||
|
|
г > |
1, |
г + -£ — 2 > 0 . |
|
|
(1.93) |
|||||
Это |
легко увидеть |
из |
того, что р > г. В дальнейшем |
этот |
факт |
|||||||
будет проверен при специальном выборе |
функций tyk(x). |
|
||||||||||
|
Нужно доказать ограниченность У;,s |
(Я, т|)) при некотором г, |
||||||||||
удовлетворяющем |
(1.93). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что аналогично доказательству леммы 17, но, исполь зуя вместо основных неравенств оценки (1.53) и (1.81), устанавли
вается следующая |
лемма. |
|
|
|
|
Лемма 18. Пусть выполнены |
все предположения |
леммы 17, кроме |
|||
г > 1. Тогда при |
\г\ < |
С„, 4 |
m < s < С0 имеет |
место |
оценка |
TQ а (Я. *) < С Я - 2 " |
* ? - {/„ (Я)}? {У;. (Я, ^ + 1 ) } Т > |
0-94) |
где сохранены все обозначения формулы (1.85).
Точно так же из (1.53), (1.83) следует лемма.
Лемма 19. Пусть и(х), ty(x), ipk(x) те же функции, что в лемме 17.
Предположим, что для некоторых чисел r, s, Я, удовлетворяющих условию
г < 1 , 0 < г + |
Р |
1 |
— — 1 < |
4m < s < С0 , |
конечна величина j ' r s(H,
54
Тогда |
при 0 < |
Я < 2 |
(т |
+ т ) |
конечна |
величина |
j ' Q , а (Я, г|?) и име |
|||||||||||||||
ет |
место оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
?; а |
(И, ф) < |
С / Г 2 |
" * | |
{ у 0 |
(Н)}7 {7Г<, |
(Я, |
^ 2 - + 1 ) } 5 " ) |
|
(1.95) |
||||||||||||
где |
р, о |
определяются |
так же, как |
в лемме |
17 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Теперь |
легко |
установить |
ограниченность У*s ( / / > |
^ |
д л й |
Про_ |
|||||||||||||||
извольной функции |
ф£С<Г(£22<0 Д л |
я |
г> |
удовлетворяющего |
усло |
|||||||||||||||||
виям (1.93). Легко видеть, что для произвольного числа |
fe0 |
мож |
||||||||||||||||||||
но |
указать |
К, |
зависящее |
только |
ot_k0, |
и |
последовательность |
|||||||||||||||
ц>\к)(х), |
k— |
1, |
. |
., |
k0, |
i |
= |
0, |
. . ., |
2т + |
1, такую, |
чтобы ср'*> (х) £ |
||||||||||
^Co'(Qd), |
и для |
произвольного г/£-R". |
\у\ < 2c"~1mijL |
|
выполня- |
|||||||||||||||||
лись условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f ^ f l r + ^ ^ w , |
|
|
|
Ф & * + 1 ) ( * ) * Ф < | + 1 < 4 |
Ф ^ М ^ Ф И . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а. 96) |
|
|
0 < |
Ф |
[ й (х) < |
1, |
|
р а ф ! й ) |
(*)| < |
С (*)'"' |
при |
|а| < |
«. |
|
|
||||||||
где |
С — абсолютная |
константа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Лемма 20. Пусть |
и (х) — обобщенное |
решение |
уравнения |
(1.27), |
|||||||||||||||||
удовлетворяющее условию (1.28), и пусть выполнены условия |
(1.29) — |
|||||||||||||||||||||
(1.31). |
Существуют |
г, |
удовлетворяющее |
условиям |
(1.93), |
и |
числа |
|||||||||||||||
К, |
s, v, К, зависящие |
только |
от т, |
п, р, такие, что для произволь |
||||||||||||||||||
ной |
функции |
ф€Со*(Й2й) |
имеет место оценка |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
~d. |
|
|
У ~ Г ( Я , |
v X C ^ I J |
{IQ(H)t |
|
|
|
• |
|
(1.97) |
||||||||
при Я = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Последовательность |
ц>\к)(х) |
выбираем |
|||||||||||||||||
так, чтобы удовлетворялись условия (1.96), |
число |
k0 |
укажем ни |
|||||||||||||||||||
же. |
Выберем |
вначале |
г< 0 ) |
= |
1 |
£• + gy=^"> |
s < 0 > = |
|
При г = г( 0 ) , |
|||||||||||||
s = s<0), |
i|) = |
|
ф(п*°', Я = Я = ~ |
выполнены все предположения лем- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мы 19. |
Ограниченность |
У*(0) s(0) (Я, Ф^+i) |
следует |
из |
условия |
|||||||||||||||||
(1.28) и имеет |
место оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
j'riobm |
|
(Я, Ф £ > + 1 ) < |
С {/„ (Я)}** |
|
|
|
(1.98) |
с некоторой зависящей лишь от m, п постоянной Я.0. Оценка (1.98) получается из неравенства (1.80) и леммы 3.
55
Из леммы 19 получаем ограниченность |
J'^ |
|
S ( D ( # , |
Фг^-+11)) при |
|||||||||||||||||||
|
|
г<"= 2 -1+ww |
|
s < 1 > =71 1 + 2 9 5 1 + 2 <m*+ «и |
|
|
|||||||||||||||||
и оценку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
^ i ) . s<» |
|
Ф^Т!') < |
С (^J* |
{/„ (tf)} x \ |
v, = |
2л + т\ |
|
Х] = |
q + Xf |
||||||||||||||
|
|
|
г = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.99) |
||
Значение |
г(|> |
удовлетворяет |
второму условию |
(1.93) |
и |
если |
|||||||||||||||||
г*1* > |
1, то |
утверждение леммы |
доказано, |
так |
|
как |
легко |
видеть, |
|||||||||||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У* s (Я, |
< |
У*s |
(Я, ф) |
при |
г ^ |
1. |
|
|
|
|
|
(1.100) |
|||||||
Если |
r(1> < |
1, |
то |
применим |
лемму |
18 |
при |
г = |
|
|
s = s<'>, |
Н = |
|||||||||||
= я = 4,Ч> |
= |
Фо*° - \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
/С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
rAi) |
s ( 2 , (я, Ф «^>) < |
с (^)V ' |
{/0 ( я » ч |
|
|
|
а. Ю1) |
|||||||||||||
v |
г |
= V |
l - f A |
K=q+^, |
|
r<2> = 2 |
— — + |
9 |
i |
\ |
f 1 + |
—l — ), |
|
||||||||||
|
|
I |
T E |
2 |
ч |
-i e |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
80КЛ7 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
s(2) = |
= | , s ( i ) + 2 ( 6 s 1 + m 1 |
+ |
m)]. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если r( 2 ) меньше единицы, продолжаем |
дальнейшее |
приме |
|||||||||||||||||||||
нение |
|
леммы |
18 |
и после / |
шагов |
придем |
к |
оценке |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
К<Л.4П Ш, ф Г ~ / + 1 |
) ) |
< |
c f e P {/0 (Я)}*/. |
|
|
(1.102) |
||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V j = |
V l |
+ - b l , |
|
b j a q + J = L f |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
A1) — 9 |
£ 4- -L 4- |
— 4- |
|
I |
1 |
|
|
i |
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
~ |
2 |
+ |
e ^ e2 |
|
• • • + e'-1 |
|
+ |
|
e^yr' |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
e(/> = |
I |
[s<>-'> + |
2 (0S l + щ |
+ |
|
|
m)\. |
|
|
|
|
|||||||
Теперь достаточно выбрать k0 так, чтобы |
И*"—1) < |
|
1, r<*»> > |
1 и |
|||||||||||||||||||
неравенства |
(1.100) и (1.101) |
при / = k0 |
закончат доказательство |
||||||||||||||||||||
леммы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Основной |
результат параграфа дает |
такая |
|
теорема. |
|
|
56
|
Теорема |
3. Пусть и (х) — обобщенное решение уравнения |
(1-27), |
|||||||||||||||||
удовлетворяющее |
условию |
(1.28). Предположим, |
что функции |
Аа(х, |
||||||||||||||||
%) непрерывно |
дифференцируемы |
по всем |
своим |
аргументам |
|
до по |
||||||||||||||
рядка |
[2-J + 1 при х £ Q, |
I £ RM |
и |
удовлетворяют условиям |
(1.29)— |
|||||||||||||||
(/.5/), |
fa |
(х) £ Вр2' (Rn), р0 |
> |
I" |
Тогда для произвольной |
|
подобласти Q' |
|||||||||||||
области |
Q такой, |
что Q' a |
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
vrai max \Dau(x)\, |
\а\ = т |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
xiQ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оценивается |
постоянной, |
зависящей |
лишь от С0, Cv |
С2 , п, |
т, р, |
|||||||||||||||
Pv |
11/а11в^(«п) • И"Фо|1 m+!L> |
d' |
— расстояния |
Q' |
до |
границы |
облас- |
|||||||||||||
ти |
Q. Здесь |
<р0 |
(х) — произвольная |
функция |
класса |
С~ (Q), |
равная |
|||||||||||||
единице |
в Qd, d = — . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
g(f) |
— произвольная |
функция |
|||||||||||||||
класса |
|
С"(R1), |
равная |
единице |
при |
1, нулю при |
|
0 и пусть |
||||||||||||
0 < g ( 0 < 1- Определим |
при & = |
1, 2, |
. . . |
последовательности |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 * - |
|
2 |
|
1 - е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 ft |
|
s |
, |
2§sx+ 2 (m! + m) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= ^ T |
+ |
|
|
1 — 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
* |
Afj |
v |
|
|
|
|
|
\8* - ^(1 — 6)M |
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m+l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m -2m+l |
|
|
|||
M x = 2 £ |
[(2m)' + |
|
df t = |
d [ l - 6 + 0fe], |
M 2 = |
|
i |
— |
| |
, |
||||||||||
числа r, s, К указаны |
в лемме |
20, 0 — в теореме |
|
2 |
и |
т\, т |
||||||||||||||
определены в § 3 , 4, |
x0£Q'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Получим |
рекуррентное |
соотношение для |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
^ = У1"А(Я*.Ф*)' |
|
|
|
|
|
( Ы |
0 |
3 ) |
откуда следует оценка для L h и утверждение теоремы. Ограничен-
ность L x и оценка для него доказаны в лемме 20, причем г удовле творяет условиям (1.93). Докажем ограниченность всех L h и оценку
^ J_
57
Здесь q то же, что и в теореме 2, М0 = 2п+ |
2т + nq, |
С— по |
||||||||||||
стоянная, |
зависящая |
только |
от т, п, р, pv |
CQ, d, Си |
С2, |
|| / а |
\\ВР0. |
|||||||
Определим для |
i |
= |
0, 1,..., 2т + 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
d |
k , i - \ x |
- 4 \ |
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d w = |
d | l - e |
+ |
9 |
4 |
2 |
^ |
[(2m)'- + |
7<] (1 - |
9) |
|
. |
|||
Проверим, |
что для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф М |
_ , |
(x) Ф М |
- {x + у) = |
ФЛ ,( _, (*). |
|
(I-105) |
|||||||
В самом деле, |
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
qy( -_iM=5^0. то |JC — х0\ |
|
<dkft_x. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lx + i / - x 0 | < c i f e i . _ , + 2'--1m'- е |
^ ( 1 |
- 9 |
) |
< |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
« * * |
i - |
i |
Qk~2d |
(1 - |
8) == d M |
- |
^ |
t#-*d |
(1 - 9) . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда Ф А , (х + г/) = |
1 и отсюда следует |
(1.105). |
|
|
|
|||||||||
Отметим еще, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ЧУ О М |
> |
Фй W . |
|
ФА.2Ш+1 (*) |
= |
Ф*_1 |
(*)• |
|
|
||||
|
о < Ф w |
w < 1, |
I D a y k l ( x ) i < ( ^ e - ^ - 1 ) 1 |
a i |
|
с некоторой постоянной К, зависящей только от т, п, р, так что
при фиксированном k и £ = 0, 1, |
27Й + 1 |
последователь |
ность ФА.ДХ) удовлетворяет условиям (1.66). |
|
|
Предполагая L A _ , ограниченным, |
видим, что |
выполнены все |
предположения леммы 17 и рекуррентное соотношение (1.104)
непосредственно следует из |
(1.85). Отметим только, что |
/ 0 ( Я А ) < |
|||
<Н-п{1й{Нх)). |
|
|
|
|
|
Индукцией по k |
из (1.104) устанавливается оценка |
|
|||
|
L f t < C ' - 9 |
|
{/0 (Я,)} ^ |
X |
|
|
в~* + 1 |
fc4-1 |
* |
|
|
Х б |
( 1 - 9 > г |
• |
d~ye |
{/„(Я,)}*6 |
. (1-Ю6) |
56
где v, X те же, |
что в |
|
лемме |
20. |
При k = |
1 оценка |
(1.106) сле |
|||||||
дует из (1.97). |
|
|
|
|
k = |
|
|
|
|
|
|
|
||
Из |
(1.106) |
получаем |
при всех |
1, 2 , . . . |
|
|
||||||||
откуда, |
зная |
выбор Lf t |
и замечая, что все функции |
ц>к(х) |
равны |
|||||||||
единице в Bd(t_g)(xg)— |
|
шаре |
радиуса |
|
d ( l — 8) с центром |
в х0,— |
||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 J |
|
)]Vkdx\Qk |
<C*, |
| v | « m , |
|
(1.107) |
||||||
|
|
tV*: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
lBd(i-e)<V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где С* зависит |
только |
от С0 , С р |
С2 , т , /г, р, |
|
|
|
|
|||||||
Утверждение |
теоремы |
следует |
теперь |
из |
|
(1.107) и легко |
прове |
|||||||
ряемой |
оценки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vraii max |
I Dyu |
|
(x) | < |
lim I |
i |
Г |
i v |
[Vv {x)\k |
dx\ 'Qk |
|
||||
|
u-e)«0> |
|
|
^ |
K |
|
|
I |
|
Замечание. Незначительные изменения рассуждений § 3—5 по казывают, что при выполнении предположений теоремы 3 имеет место оценка
vrai max | D«u (х) | < F J || и ф о U ^ j , |
( J ш 8 ) |
где функция F (f), зависящая от перечисленных в теореме 3 пара метров, стремится к нулю при t, стремящемся к нулю.
§ 6. Непрерывность производных от-го порядка
В настоящем параграфе докажем непрерывность в Q производных т-то порядка обобщенного решения и (х) уравнения (1.27), пред полагая выполненными условия (1.29)—(1.31) и условие (1.28).
Пусть xQ — произвольная |
точка Q, d0 — расстояние |
от х0 до |
|
границы Q и пусть d= min j - y - , l j . Согласно теореме |
3 можем |
||
считать выполненной |
оценку |
|
|
vrai |
max |
V | Dau (х) | < М* |
(1.109) |
******* |
Ы=т |
|
59