книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка
.pdfИндукцией |
по | а | |
нетрудно |
установить |
|
формулу |
для левой |
||||||||
части (1.42). Из нее, непосредственно применяя (1.35), |
получаем |
|||||||||||||
утверждение |
леммы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При доказательстве основной оценки будем |
пользоваться не |
|||||||||||||
сколькими |
элементарными неравенствами: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) при произвольных вещественных |
а, |
Ь |
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j(l |
+ |
|/a |
+ ( l - W | ) P ~ 2 |
dt>C(\ |
+ |
\a\ |
+ |
\b\)"-2 |
(1.44) |
|||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с положительной |
постоянной |
С, зависящей |
только |
от р; |
|
|||||||||
2) для любых |
неотрицательных чисел |
aa , |
любого |
В, |
| В | = / л , |
|||||||||
и г > О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
la;=m |
7" |
^ |al=m |
/ |
|
|
|
|a|=m |
|
|
|||
с положительной постоянной С, зависящей |
только |
от т, |
п\ |
|||||||||||
3) при произвольных положительных a, |
b, е и р > |
1 справед |
||||||||||||
ливо неравенство |
Юнга |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
eft < 1 ( |
в а ) " + | ( 1 ) Р ' , |
1 + |
^ |
- |
1 . |
|
|
(1.46) |
Неравенство (1.46) хорошо известно. Неравенства (1.44), (1.45) легко проверяются. Докажем, например, левую часть (1.45). Пусть а = max а . Рассмотрим случай В Ф у (случай В = у проверяет-
у[а\=т
ся аналогично). Тогда
T |
\la|=m |
' |
T |
0 |
Г'(Ту) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
х j т; |
(l - т / - 1 |
j |
2 p d 2 ' d T V = |
(г + 1 , |
ло= l a |
- у , |
ОГ'(0)
откуда и следует первое неравенство из (1.45). Здесь
Г |
(т,) = |
/тр : | й| = пг, В^= у, £ |
тр |
= 1 - т,, тр > О}; |
|
|
равенство |
во |
второй строчке получено |
заменой |
т / = ( 1 — |
\)г', |
|
I x = ^ |
z&dz',B—,,бэта"-функция. |
|
|
|
|
|
Г'(0) |
|
|
|
решение-уравнения |
(1.27), |
|
Теорема 1. Пусть и(х)— обобщенное |
||||||
удовлетворяющее условию (R), и пусть |
выполнены |
условия {1.29) — |
30
(1.31), |
fn |
(x) £ |
|
(Rn) |
при p 0 > у . Существует |
последовательность |
||||||||||||||
q(, i = |
1 |
|
i |
1 |
" |
|
+ |
1, зависящая |
только |
от m, n, |
такая, |
|||||||||
1 , . . . , |
1, qt > |
-g- |
||||||||||||||||||
что для произвольных |
чисел |
d, г, s, |
удовлетворяющих |
неравенствам |
||||||||||||||||
О < d < |
1, г > О, 2m < s < С 0 (г + |
1). " произвольной функции |
г|з € |
|||||||||||||||||
€ С!° (й.), удовлетворяющей |
|
условию |
(1.35), |
при О < h < , |
d |
|
|
|||||||||||||
J o vuo</. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ( т Н - т ^ ' |
||||
имеет |
место |
оценка |
|
|
|
р - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S |
|
£ |
S [ш |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
) V (я) dx |
|
< |
|
|
|
+ рЛ)] |
2 |
[Уг (х, |
ft)]' |
• (Др |
(ft) |
D A |
U |
|
|
||||||||||
I31=m+m1 |
|v|=|a|=m Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
С (г + l ) 2 w + 2 m K 2 m { J r s ( f t , ^ + |
£ |
|
J | A p ( f t ) / » | 2 X |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 3 | = т + / |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\а\<€т.\у\=т |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|a|<m.|vl |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
х |
|
|
[Vy{x,h)Ylf{x)dx}t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р - 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
цА)1 2 2 |
|
£ |
|
|Af f l D6 u (х)Г |
|
X |
|
|||
|
|
|
| ц | « т + т |
i=l |
Q |
|
|
|
|
|
|«|ш|<<7(- |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
IV|=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|61=т |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
р - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2«; |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г>аЛшц |ш+а|—m |
+ |
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
V - 1 |
V |
|
|
|||||||
X [ K Y (л, |
ft)]r+[oy |
( * + j i f t ) l |
|
[УY |
|
|
|
/j'n-lal |
|
|
||||||||||
|
(х, ft)]' |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1<|а+ш|—т<<7,- |
|
|
|
|
|||||
|
|
+ [w(x+ |
[xft)]p |
[V |
|
(x, |
ft)]r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1<|ш|«7£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Щ |
|6Km |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ А2 |
V |
|
0 |
а д в ц |
|1<о+а|-т |
n+l |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
/j™— Icci j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|al«m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
К|а+ш|—"»<<7£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
с постоянной |
С, зависящей |
|
только |
от т, п, р, р,, С0 , С,, С2 . Здесь |
||||||||||||||||
р = (р, + |
2) ( т + |
т,) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
а>(х) = |
1 + |
£ |
| £ » 6 " W | 2 - |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| б | = т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Неравенство |
|
(1.47) |
|
получим, |
оце |
|||||||||||||
нивая левую часть формулы (1.36) |
на основании лемм 8—10. По |
|||||||||||||||||||
кажем, как оценивать члены, возникающие |
при перемножении пра- |
31
вых частей формул (1.39), (1.41), (1.42). Неравенство
|
I |
|
|
I |
£ |
£ |
С1 А а б & + t Ч 0 + ИЛ |
(1 + * Д, 0 )Я т " х |
|
||||||||||
|0|=m+m |
О |6|<m |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
l a l - m ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
X |
(х + |
f*A)) Л Ae D6 « h?Dau |
i|3s |
(ж) f тв . [ш»т |
(х, A)]' dt |
> |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Р - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
^ |
^ |
IV* |
S |
S |
[а; (х + |
цА)] 2 |
> |
, (*. A ) ] ' ( |
A ^ u ) V |
(х) |
- |
||||||||
+ |
|||||||||||||||||||
|
|
~t~ |
|
|PI=m+m |
|V |=|a|=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
- C ( r |
+ |
1)" |
|
£ |
V |
[ш(х + ^ Х ( х , / 1 ) ] г ( Д р О й |
« ) У М ( |
1 . 4 8 ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
IP^m+m, |vl=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
16|<m |
ц « 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
следует |
из (1.29), (1.30), |
(1.44) — (1.46); |
p3 |
= Pl—p-=l. |
|
Аналогич |
|
||||||||||||
но |
при m, = |
0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
£ |
|
j |
j |
£ |
£ |
|
|
|
|
|
|
. . . , ( i |
+ г д j |
£>"*«(* |
||||
|Vl=IPI=m |
Г 0 |
|u|<m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
| о | = т Ц < Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ |
цА)) * |
т е |
&PD6U |
[шт (х, А)]' - 1 |
т 7 Д v D a u Av a Дрц\|>5 |
(х) dt |
> |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
р—2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
^ с ^ Х |
|
|
j |
Iй» W l " |
W r _ , ( |
£ |
|
^ D ^ A ^ j |
|
tfdx- |
|
||||||||
|
|
|
la|=m Г |
|
|
|
\lp|=m |
|
/ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
— Cr |
V |
[ № (x + цЛ)]р'[1/,(x, A)]r (Др (A) D 6 u ) V |
(*) |
- |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
lPi=IVI=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
H<P.|6|<m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
— Crh2 |
|
£ |
[w(x + iLh)\pVfy(x,QY№*(h)tfu)3tf(x) |
|
— |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
l7l=lPI=|6|=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
H«P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
Cr |
|
|
|
У |
|
[ш (x + цА)Г [Vy |
(x, A)]'(AW (A 4 (A ) D 6 ( 2 ) |
x |
||||||||||
|
|
IVl=IPI=|6( 1 »l=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|6(2)|<m.n<:P,ei-(-v<:P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
X |
и (x + |
|
vA))2 |
г|/ - |
Cr |
£ |
|
|
[да (x + |
nA)]"-4 [Vv (x, A)]r |
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|V ]= |3I=|A< I)|=[A(2>t=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M.<P,ej+V<;P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x |
i дР(А) |
'>„ |2 1 д. {h) |
D6l2)u |
(x + |
vA)|V |
(*)• |
|
(1 -49 |
32
Здесь |
при |
|
оценке |
для |
|'а| = |
| б | = т представляли |
|
|
|||||||||
Аа6 |
(x + |
the.Q + lih,...,a+t |
|
|
А.0 ) Dmu |
(х + ц/г)) = |
Аа,(х, |
а,... |
|||||||||
. . . , |
Dmu) |
+ [AJx |
+ |
th eiQ |
+ |
цЛ,.... (1 + |
fAt Q ) Dmu |
(x + |
Й)) - |
||||||||
|
|
|
|
|
|
— A^x, |
|
|
u,...,Dmu)] |
|
|
|
|
||||
и соответствующий |
первому слагаемому |
член оценивали с помощью |
|||||||||||||||
(1.29). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При т1 |
|
> |
О левую часть (1.49) оценим по абсолютной |
величине |
|||||||||||||
и она |
не |
превосходит (0 < |
s < 1) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
Е |
|
|
I ю |
(* + ^ |
2 |
(*• А)]'[дряв«]У(*) + |
|||||
"+" |
iPHm+mj |7|=|a|=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
№«Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Р | = т + т 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|7l=lal=16l=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ц < 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т+т |
4 |
|
|
|
2т+т |
1"7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
| Дв £>а и| |
|
|
+ |
/1" |
|
i|>'(x) + С X |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
£ |
la> (* + |
|
цА)1Р , [ ^ х . A)fl A*De a f V |
М- |
|
||||||||
|
|
|
|
| 3 [ = т + т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|б|<т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя |
(1.30), (1.31), |
(1.43), |
(1.46), получаем |
|
|
|
|||||||||||
J |
|
£ |
|
CJ |
Л « б |
(* + |
|
etQ |
+ НА, . . . . (1 + гД£ 0 ) |
(*+ |
|||||||
0 |a|=m,|6|<m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р - 2 |
|
Ч |
^ |
^ |
|
Д |
^ 6 " |
- ^ |
- |
^ |
|
- |
^ |
£ |
|
[ш(* + |
|хА)]2 |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1Э|=т+/п1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|Yl=|a|=m,|x<P |
|
|
|
|||
|
|
X |
|
1 tS?Dau f[Vv |
(х, |
fc)]V (x)+1 |
(r + |
i f ^ |
2 |
" X |
|
||||||
X |
|
|
|
£ |
|
[w (x + цА)]"'[К |
(л, /0Г| Ap D'u I V ' ^ W |
+ |
|||||||||
|
|
|3|=m+m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
l?l=m,|6Km,n<:3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3—843 |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
Р - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|в|=|у1=т |
0<lal<m |
|
|
||
|
|
\$\=m+mv H<P |
|
|
|||
|
|
|
m+m |
|
m+m, |
|
|
|
|
|
о |
i |
|
2 1 |
|
|
|
|
loci |
|
mj+lal |
|
|
|
r— I |
D°Ae u |
|
£ > а Д в ц |
|
||
|
|
J ftm—|a| |
+ ,m—|a| |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Следующая |
оценка |
|
|
|
|
|
|
|
Я , • К |
(x, Л)ГДр |
(h) Dau |
I < eC |
X |
||
|
|
|
|
P - 2 |
|
|
|
X £ |
[ И * + ^ ) Г |
^ ^ [ ^ ^ М Ч - |
|||||
IVI=|ocl=m |
|
|
|
|
|
||
|
H«P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m+m, |
|
p—4 |
|
C ( r + 1)' |
|
|
|
||||
|
|
|
[и»(* + |
цА)] 2 X |
|||
|
|
|
S |
E |
|||
|
|
|
E |
|
|||
|
|
Й = Я + Я 1 |
I - [ i l + i |
lYl=|6|=m |
|
||
|
|
|
H«P |
[ 2 |
J |
' > M > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.51) |
|
X |
I А Т и (x + vA)| |
[Vv (x, A ) l Y W |
+ |
|||
|
|
|
|
m+m, |
|
|
|
+ |
С Ц ^ |
S |
S |
S |ш(х+ И Л)]°"х |
|||
|
|
| Р | = т + / п . |
. |
I л I |
|6|<m |
|
|
|
|
|
I K 0 |
|
[ T j + 1 |
1»|M|>0 |
|
|
|
|
IVl=m |
|
|
to+v<p |
|
X |
\Vy (x, h)\r • {h« + I Л т (Л) D ° « (x + vh) \ m} i|>s (x) |
получается из (1.40), (1.46).
Аналогично оцениваются остальные члены, возникающие при перемножении правых частей формул (1.39), (1.41) и (1.42). И основное неравенство (1.47) непосредственно следует при соот
ветствующем выборе е > 0 из (1.48) — (1.51) и |
аналогичных |
оценок для остальных членов. Этим заканчивается |
доказательство |
теоремы. |
|
Отметим, что при выполнении условий теоремы неравенство вида (1.47) справедливо и при г < 0. Дадим нужное в дальнейшем уточ-
34
нение формулы (1.47) в случае малых г. При этом используется очевидное неравенство
Т{ S a a f < |
$ ( |
Е |
* А ) Х . П |
С ( £ а а } \ (1.52) |
| а | = т |
Г |
|а|—т |
| а | = т |
1а|=т |
справедливое |
для |
любых |
неотрицательных |
чисел |
аа, |
отрицатель |
||||||||||||||||
ного X и неотрицательного |
k таких, что % + |
k > — 1 . |
|
|
|
|||||||||||||||||
В случае г < 0 изменим (1.36), |
|
умножая |
(1.32) |
после |
подста |
|||||||||||||||||
новки в нее (1.33) |
на |
|
[ ~ | т £ с г - г - / г > 0 и |
интегрируя |
затем |
по т. |
||||||||||||||||
Повторяя |
дословно |
|
\а\=т |
|
|
|
|
теоремы |
1 с |
использованием |
||||||||||||
доказательство |
||||||||||||||||||||||
(1.52), устанавливаем |
лемму. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Лемма |
11. |
Пусть |
|
и(х)— |
обобщенное решение |
|
уравнения |
(1.27), |
||||||||||||||
удовлетворяющее условию (1.28) и пусть |
выполнены условия (1.29) — |
|||||||||||||||||||||
(1-31), fa£B^°(Rn). |
Для |
произвольных |
чисел |
г, |
s, |
|
удовлетворяющих |
|||||||||||||||
неравенствам |
| г | < С 0 |
, |
2т < s < С0 |
и |
|
произвольной |
фуькции |
гр£ |
||||||||||||||
£Co°(Qd). удовлетворяющей |
условию |
(1.35), |
справедлива |
оценка |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ |
|
£ J M * + | * A ) J 2 |
[ a i ( * . A ) l ' ( A f ( f t ) ^ « ) V W 4 i < |
|||||||||||||||||||
I3|=m+m, |a|=m П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
< С 1 < 2 т R . |
М |
+ |
|
|
£ |
|
|
J IД |
Р |
(ft) |
/ a I' |
|
<*• |
^ |
|
|
< 4 |
> |
|
|||
|
|
I |
|
|
|
|0|=m+m, |
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|||
|
|
I |
|
|
|
|al«m,lv|=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
||||
• f , . , M ) |
= |
£ |
|
£ |
|
J |
Ы |
* |
+ |
НЛ)] |
2 |
[a»(Jt,A)r |
|
£ _ |
| A a I » e X |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|6l=m |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
P - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X и J N |
+ |
[ш (л; + |
дЛ)] 2 |
[ш (JC, A)f |
|
s |
|
|
|
un—\a\ |
|ш+а|—m _ j _ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а+и| — m<4i |
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ |
[w (x + |
iih)]» [w (x, h)]r[ |
|
£ |
|
I AaD6u |
(x) I M + |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|6|<m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
£ а Д ш Ц |
Icu+al—m + |
A'П + 1 |
j4> «—2m (x) d*. |
(1.53) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
^m—|al |
|||||||||||||||
|
|
|
|a|<m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1<|а+и|—m«g<7; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где qt, |
C, p, |
h такие |
|
же, |
как |
и в |
(1.47), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
- |
м |
> |
- |
| |
+ |
I |
|
|
(£)'. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ia|=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
§ 4. Второе основное неравенство
Сохраним все обозначения предыдущего параграфа и займемся оценкой выражения
н
у;.. |
(Я, ip) = j |
^L- |
J,.s |
(h, ф) dA + |
У; |
j [Vv |
( * ) Г + 7 У ~ 2 т |
(x) dx |
+ |
|||||||
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
\У\=т Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|0|=|Y|=m 0 < | ш | < т + т , 0 |
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
P—4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
[Vv (*. А)Г~Ч + |
а» 2 |
(* + |
vJi) {[Vy(x)Y + |
[Vy (x, h)]r) + |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
r+ -£- -2) |
|
|
|
|
2 ( т + т . ) |
|
|
|||
|
|
|
+ [Kv |
+ |iA)l |
2 |
/ [ | A e ( A ^ D p u ( * + |
vA)l |
N |
+ |
|
|
|||||
|
|
|
|
+ |
J J A (/flA) Dp u (x) |2 ( m +»">d/l <$-гтxdx, |
|
|
(1.54) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Vv (*) => 1 + |
\Dyu(x)\a |
|
|
|
|
|
|
|||
при |
|
определенном |
выборе г, s, Я, г|з. |
Значение Jr s |
(Л, -ф) опреде |
|||||||||||
лено |
в (1-47). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Сейчас |
будет предполагаться, |
что |
для некоторых |
чисел |
г, |
S H |
|||||||||
некоторых |
функций |
г)з(х), удовлетворяющих |
условиям |
теоремы |
1, |
|||||||||||
и |
0 < |
Я |
< - я - ^ — г — г - при |
0 < |
г < |
г, 2 т |
<; s < s |
сходится |
ин- |
|||||||
теграл |
|
^ (т + |
тх) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
я |
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£=l |
0 |
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|V|=la|=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из |
условия |
(i?) |
следует |
существование |
интеграла |
(1.55) |
при |
г = 0, произвольных s, Я, ф. В дальнейшем будет доказано, что интегралы вида (1.55) конечны при всех г, s, Я и определенном выборе
На протяжении всего параграфа будет показано, как оценивать различные слагаемые, входящие в J'r,s{H, г|)), через интегралы вида (1.55), а основное неравенство будет приведено в конце параграфа.
Третье слагаемое в J'r,s (Я, г|) ) и члены, соответствующие пер вому и второму слагаемому подынтегральной функции выражения Jr.s (А, ф), оцениваются однотипно, поэтому оценку определяем только для одного из членов.
36
Выражение
|
|
|
p-2 |
Dabau |
|
***\r-ntf-*n(x)dx |
|
= |
|
j [w(x+ |
p A ) ] ~ [ y v ( x , |
|
|||
|
h)]r |
|
|||||
|
|
|
|
m—lal |
|
|
|
при /• > |
1, l < | a |
+ a>|—m < |
д., оценим |
сначала |
по неравенству |
||
Юнга, |
а |
затем воспользуемся |
соотношением |
(1.15), представляя со |
|||
в виде |
со' + ш", | со' | = т — | а |; получим |
при |
г + |
— 2 > :. |
1 ( -
lvl=m я
2^
Р а Д ю ц X ^m—|а|
+ |
IV, (*, Л)] |
X |
|
r + |
2 X |
IVl=m |
Q |
|
X I Д ш " д а + т ' и { x + t h) I| m "' i p S - 2 m (*) d*d* +
X
X I A"DP+°'u (x + t.h) I i | / - 2 m ( * ) dxdz) dt. |
(1.56) |
Ограничимся далее рассмотрением ва, так как первое оценивается меньшее единицы, так, чтобы оно
только второго слагаемого спра аналогично. Выберем число 9, удовлетворяло условиям
, |
если |
ql— |
не целое число, |
|
|
е > |
|
|
|
|
|
, |
если |
q. — целое число. |
|
||
Неравенство |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2«l |
|
x d T d * < J (| I Ac o " (Da+a'u |
(x + |
1аЛ)) лр"' (x) |l < 0 "' dxd/| |
X |
||
|
|
|
|to"l |
|
|
|
X |
{ |
/ V |
' \ |
(1.57) |
37
где |
т = т -4- max qt, |
г, = |
у |
— 2, |
s, = |
2m (1 + max q^, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9(r+n) |
|
|
|
|
|
||
|
,(2) |
_ |
j" |
^ |
(гт/ |
V 1 |
|
I »- AM |
2 |
i A co"n a+u)' |
|
|
|
||||
|
|
'|(0'| |
'm ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
6(«-«.) |
l i * . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
+ /u.A)|il>" ~ i _ ' "(x)fll - ' l dcLtthdr,* |
|
|
|
||||||||||
получается применением |
неравенства |
Гельдера. |
|
|
|
||||||||||||
В У( 2 ) в интеграле по |
Q |
сделаем |
замену |
х — у — xyh |
и |
пусть |
|||||||||||
существует функция |
|
(х) |
класса |
C"(Qd ) |
такая, что |
д л я | у | = т , |
|||||||||||
*6Q, 0 < Я < Я , |
т £ / т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
г); (х) -ф, (х + |
|
|
= |
Ф (*), |
О < |
|
(х) < 1, |
|
|
(1.58) |
|||||
|
|
|
|
|Daa|),(Jc)| < |
К1,"1, |
| а | < т . |
|
|
|
|
|||||||
Тогда |
|
|
|
Г |
|
|
Э(г+г.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
< |
I |
И |
« ^ |
С*)1 |
2 |
|
|
I А Ш ^ а + Ш ' « (i/ + |
^ |
- |
|||||
|
|
6(s-s,) |
| J ? L |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
В(г+г,) |
|
||||
- |
\h) |
J aj), |
2 |
(у)} K |
l |
dydxd/ < |
С £ |
|
J |
J J{[Vv (y)] |
2 |
|
X |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = 1 |
/ т |
П |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6(s-s.) |
2 < 7 ' |
|
|
|
|
x | A ( / S / , - A ) . . . A ( ^ l | A ) D a + f f l ' U ( ^ ) | ^ 1 |
|
|
1ш" |
|
(1.59) |
||||||||||||
2 |
m^dydxdt, |
|
|||||||||||||||
где |
= |
flkl) |
(t, x) £ /?" — непрерывные |
вектор-функции |
аргументов |
||||||||||||
/, т, |/ ( /'| |
< 2 m . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Дальнейшая |
оценка |
основана |
на |
|
преобразовании |
выражения |
|||||||||||
в фигурной скобке в (1.59). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Лемма |
12. |
Пусть |
|
|
|
lk—n-мерные |
векторы, |
k > |
1 и |
||||||||
> |
ro > ~Y • Имеет |
место |
оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
£ |
|
[ F v ( * ) П А ( / , ) . . . Д ( / f c ) D p w ( х ) I < |
|
|
|
|||||||||
|
|
IP|=IVl=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
< С |
J |
| А ( / , ) . . . A ( / f c ) { [ K v W r D e « W } | + Cr/?3, |
|
(1.60) |
||||||||||||
где |
|
l3|=|V |=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R3=C |
£ |
r * - / + |
1 £ |
|
[Kv (x + у.))Г |
I A ( y . . . |
(Д/,) D*u (x+v) I ' |
||||||||||
|
|
-i. |
|
|
. . . » |
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
K * |
|
|
H.v,// |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l3|=|Vl=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
с |
постоянной |
С, |
зависящей |
только от k, т, |
п, г0 . |
Здесь |
сумми |
|||||||||||||
рование |
по [i, v, |
/, |
распространяется |
по |
всем таким |
индексам, |
||||||||||||||
что [i = |
k |
|
|
к |
г(11Г |
|
принимают |
значения |
|
|
|
|
||||||||
£ Б ^ , |
v = |
£ |
е( |
0 |
ш |
|
1 и |
|||||||||||||
I/ = |
• • ч t/) |
подпоследовательность |
из 1 , . . . , А. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Индукцией |
по А |
легко |
получить |
фор |
||||||||||||||
мулу |
для члена # 4 |
в |
равенстве |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
д (*,)... д ( у {[Vу |
(*)Г/Л} |
= |
ivv |
(х)]г д (/,)... д ( у |
D p |
* + |
я 4 + |
||||||||||||
|
|
+ 2г J [(1 + |
|
(/,)) Vv(x |
+ |
l 2 |
+ . . . + |
lk)]r-'dt |
ФЧ |
(х) х |
|
|||||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ХД (*,) ... Д (У Dv u-Dp u |
|
|
|
|
|
(1.61) |
||||||||
и оценку |
| # 4 l < i # 8 - |
|
При этом |
пользуемся |
равенством |
вида |
(1.13) |
|||||||||||||
и |
представлением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А (/,) IV4 (х)Г= |
j " |
£ |
[{1 + |
tA (/,)) Vy (x)\rdt |
= |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
r j |
[(1 + tA (/,)) V T М Г ' й • Д (/,) Ут |
(*)• |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Непосредственно |
из (1.61) |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
IД ( / , ) . . . Д (lk) {[Vy |
(x)]rDvu |
(x)} I > ([(1 + |
tA (/,)) Vy |
(x + I , + |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
... |
+ |
lk)Ydt • I A(lx)...Д(У |
D v u (x) I - |
|
R6, |
|
(1.62) |
|||||||||
где К К Я з - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Из равенства (1.61) получим, применяя неравенство |
Юнга |
с в |
|||||||||||||||||
ко второму слагаемому правой части, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
IVv |
(х)]г | Д ( / , ) . . . Д (lk) D*u I < |
|Д ( / , ) . . . Д (lk) |
{{Vy (x)]'D*u} |
| + |
|||||||||||||||
|
|
|
+ |
* [Vt (x)]r |
\ A (lx) ...A(lk)Dyu\ |
+ |
\Rt\ |
|
+ |
|
|
|
|
|||||||
+ |
Cr (4") 2 7 3 1 - |
(Vy |
(x + l, + ...+ |
lk)]r +[Vy |
(* + *, + |
. . .+1,))г} |
У |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
X\A(ll)...A(l/)Dyu\. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.63) |
39