книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка

Обозначим слагаемые

в правой части

(1.22) соответственно

через L,. L 2 , L 3 . Пользуясь

(1.16)

и

(1.21),

пол>чим

1

п°\\и\

L 3 < C 3 A o y

f f

;

1

1+a)

L [Я I

(=1

о

Q

do

4

S^ i lIIlJ

1+

-y- (n+ I a I — m+1 )

/=1 О

О

'

_L

1

I

T

(12) работы [64].

Нам еще понадобится ряд свойств пространства

С. Л. Соболева

W^{Q). Через

BR(xQ) обозначаем

шар радиуса R с

центром в

хд.

Лемма

4.

Пусть

f (х) — произвольная

функция

из W\ (BR (л:0))

и

предположим,

что

для некоторого

измеримого

подмножества

GcBR(x0)

выполнены

неравенства

> С,

vrai

max | / (х) | < С"

с

положительными

постоянными

С,

С". Тогда

J

\f{x)\ndx^C0Rn[

J

\vf\"dx+l)

(1.23)

BRl.x0) '

1-Btf(*0>

I

с

постоянной

C„,

зависящей

лишь

от

п,С',С.

Здесь

v ^ W

=

_

/ df (х)

а/(ж) \

дх.

'•'

дх

Г

Д о к а з а т е л ь с т в о

достаточно провести

для гладкой

функ­

ции f(x)

и пусть

F(x)

=

\f(x)

\ п

. Для

x£BR(x0),

y£G

имеем

1

F(x)-F[y)

=

^

F

(

x

+

(y~x)x)di.

о

Отсюда,

интегрируя по

у, получим

mes G | F (х) | <

С" mes G +

+

I

\x-y\l\\vF(x

+

(y-xyt)\<h\dy.

а.24)

В

последнем

интеграле

заменим

х +

х(у — x)=z.

Пусть

при

этом BR

(xQ) перейдет в

Gx,

G, =

BR

(xQ). Тогда

,f

lx

— y\U\vF(x

+

{y —

x)x)\(h\dy<

i

<[^krj ^ i

r j

|v^(z)|-\\vF(z)\| — x.\z| -x\dzd*<

:

d 2

0

G x

1

j

| V ^ ( 2 ) | | Z - X |

j

_ L r d T d 2 <

2Д

(2ЯУ

f - H ^ L d 2 .

^

(1.25)

Из

неравенств

(1.24), (1.25)

получим

j

IF (x)

I dx <C"mes5R (x0 )

+

f \F(x)\dx<e*

{Rn + R (

\sjF(x)\dx},

где С( 2 ) зависит только

от

п, С , С . Подставляя затем

в послед­

нее неравенство F (х) =

\ f (х) \п

и

оценивая

возникающий

при

этом

справа

интеграл

|

\f (x)\n~l

\ yf

(x)\dx

по

неравенству

Гель дера, придем к оценке

(1.23).

Аналогично лемме 4 можно доказать еще два важных в дальней­

шем

утверждения.

Лемма 5.

Пусть

G — произвольная

область

в R"

с

границей

класса С°°. Тогда для произвольной

функции g(x)£\Vl(G)

при

д > л

имеет место - неравенство

1 - - L

llC(G)

я

с постоянной

С, зависящей

лишь

от

G.

В

случае

G =

BR{xQ)

для функции

g(x)

аналогично (1.24),

(1.25)

имеем

mesB R |g(*)| <

\

\g{y)\dy

+ {

^

\

dz.

Ко второму слагаемому справа применим

неравенство

Гельдера с q > п,

q' =

:

Оценим последний

интеграл

f

•

jK=wdz<

f

;

ra-<dz<

J

z—x

0

J ,

I z—*

< c j p (

n -

i , ( I - , ' , d p

= J

i -

1)С - (2Д)

2 *

,_

, v , , n m ( « - ' ) ( M ' ) + l

0

q — n

и приходим к онеравенству

1

j _

г ( * ) | < с {

( Ц г ( 2 ) | * +

[ f

"7

\w(z)\"dz\q}

N * 4 < W < C * ' , l v * W . »

а ' 2 6 )

с постоянной

С, зависящей

лишь от п и р.

Проверим

(1.26) при р >

п, так как

случай 1 <

р < п,

полу­

чится отсюда применением

неравенства

Гельдера.

Если

g(x)£

\g(*)\<C

j

J ^ M , *

BR{x0)

и дальше продолжим

для р > п

по неравенству Гельдера

| g w i < c

J

isaMl_|V g(2 )|

р —

BR(XO)

\ г — х\2р

\г—х\"

2 р

( В Л ( Х 0 ) | 2 _ Х |

2 /

( в л ( х 0 )

}

\вки0)\г-х\

Си—

Отсюда простым подсчетом следует неравенство (1.26).

Отметим, что неравенства

вида (1.26) приводятся

в работе [841.

§ 3.

Первое основное неравенство

квазилинейного уравнения

порядка

2 т

(т >

1):

£ (-D]aiDaAjx,

и,...

Dmu) =

£

( -

1)MD%, x£Q, (1.27)

|a|<m

|а|<л>

й—ограниченная

область

в

Rn.

щ$в"

2

(Rn)

(1.28)

(стоящую в условии (1.28) функцию считаем

продолженной

ну­

лем вне Q).

Отметим, что из вывода 2 §

1 следует,

что

в

условии

(1.28)

нельзя

заменить

Вч

на В,

с q <

2. Это

показывает

точ­

ность

условия (1.28).

В

настоящей

главе

будут рассматриваться обобщенные

реше­

ния, удовлетворяющие

условию

(1.28),

что

позволит

сформул и-

ровать условия на Аа

в более общем,

чем

обычно,

виде.

Пред­

полагаем,

что функции

Аа(х,|)

непрерывно

дифференцируемы по

всем своим

аргументам

до порядка

-^-1 +

1

при

х £ Q

и

£ =

= {£„: | а | <

т) £ RM,

где М — число

мультииндексов

длины, не

большей,

чем т,

| ^

— целая

часть

Будет

предполагаться,

что для

уравнения

(1.27) выполнено

условие

эллиптичности в

виде

Б Ae e (*.Bvi3>c1 (|E'D(i+

S 1 М Г 2 - S

( L 2 9 )

|a|=|3l=m

\

lV|=m

/

|a|=m

Здесь

С,— положительная невозрастающая непрерывная

функция,

S' = {la:\a\<m},

х&, t£RM,

^R",

дАа(х£)

Естественными условиями для

уравнения

(1.27) также

принято

считать ограничения на рост функций Аа(х,

£) и их производных

при | §

о о .

Аа

(х, £)

Предполагаем, что для функций

имеют место оценки

URM,

хф,

|5| +

e < [ y ] +

l, | Р (

0 | < т :

а)

при

| в | > 0

или l a +

| р< 1 ) | +

. . . + |p*(s) | < (s +

1)т

H(iu..^cx.i)i<c,(iE'i)(i+ J j ^ l f

(L 3 0 )

б) при |a| = |p( 1 ) | = . . . = | P ( s ) | = m , j a I — О

I^S»)...p(.)('.S)l<c2

(|S'|)fi+ £

\^lAs),

(i.3i)

где p£s> = р — 2 при s = 1, p(,s)

= р — 3 при s > 1,

Функции

/ а ( * ) . стоящие в правой

части

уравнения

(1.27), без

ограничения

общности можем считать

заданными ъ Rn

н предпо­

J

Е

Аа(х,и,...,

Dmu) Davdx

= { £

faDavdx.

(1.32)

Я |a|<m

Q |a|<m

Из оценки

(1.18) получаем,

что при cp£Co°(Q)

функция

ыср при­

надлежит

H^(i?") при любом q.

Отсюда по

теоремам вложения

С. Л. Соболева

получаем и£Ст~1

(Q). Таким

образом,

как сле­

дует

из

(1.30),

(1.31),

стоящий в (1.32) интеграл существует при

любых u £ C"(Q) . И, следовательно,

понятие

обобщенного реше­

ния определено

корректно.

Отметим, что (1.32)

имеет место и для тех

носители

которых лежат внутри £2. В этом убеждаемся

непосредственно пре­

дельным

переходом.

Замечание

1. Незначительные

усложнения

рассуждений настоя­

щей главы

показывают, что дальнейшие результаты верны и при

более

слабых

предложениях относительно Аа

(х, £):

1)

можно

предполагать,

что Аа дифференцируемы до

по-

рядка

и что

производные

порядка

удовлетворяют

условию

Гельдера;

2)

можно

ослабить

оценку (1.31);

в частности, можем считать

^ ( * . Э 1 < с Д ' | ) (1 + S I U

V

IV|=m

/

неравномерно эллиптических уравнений.

В дальнейшем d — произвольное

число,

заключенное между

нулем и единицей,

тл — max JO,

+

1 — m

j .

Пусть и {х) — удовлетворяющее условию

(1.28) обобщенное

реше­

ние уравнения (1.27). Подставим

его в (1.32)

v (х)

= т„. А3 ( -

h) {[wx

(х, h) ]r • Лр (h)u.ф'

(x)},

(1.33)

где

wx(x,h)=

£

Vy(x,h)xy,

Vy(x,h)=l

+

&

±

\

\

|V|=m

1

(1.34)

i = {ry:\y\

=

ni}£T<=RN,

T= ( T : T v > 0 ,

£

x,

=

l \

'

IVl=m

I

8— произвольный

мультииндекс

длины

m + Щ,

P' — произволь­

ный мультииндекс

длины

т

такой, что В' < В,

О <

h < 0 .

^_

,

г, s—произвольные

числа,

удовлетворяющие

неравенствам

г >

> 0, 2m < s <

C0(r

+ 1), -ф(лг)—произвольная

функция,

принад­

лежащая С " (£2d) (область Qd

определена

в § 2).

Предполагаем,

что для функции if и ее

производных выполнены

оценки

0 < г | > ( * ) < 1.

|£>а я|)|<Л-| а | , | o | < m .

(1.35)

V

£

f T f 5 , f

b?(h)[Aa(x,u

Dmu)-fa(x)]x

|p|=m+m, |a|«m T

Q

(1.36)

X Da

{[wx

(x,

h)]r • A p (А) и

• т|/ (x)} dxdx =0.

множителей, стоящих под знаком интеграла.

Лемма

7 . Пусть

с некоторым

iQ

В=г'0 +

В, | В | = m — 1.

Тогда

при

2 < / <

1 имеет

место

равенство

A*(h)Aa(x,u,...,Dmu)

=

= I

Е

(х +

theh

+ цА,

(1 + *At < )

Dmu(x+vh))dth*Dbu+

О |fl|«m

+ 1 S

2

А Ы П А ' " ,

( А ) Л ( Х + Ц ' Л А ) Х

fc=2 j=o akiiiRk,i

i=l

X Jdtv

• • $ *k[c

{(fl 4 l

^ , )

| J

( |

(* + tQh + vh, ...

о

о

I

. . . .

£

b^WD^ix+ph))),

(1.37)

n«P-x

'

где Cfi—положительные

постоянные,

£ С д = 1 ,

Ca f t f ,

by.— не-

прерывные

функции,

зависящие

только

от т,

п,

Ok,i — следующий

набор

индексов {X, х, б ( 1

) , . . . ,6е 0 ,

р, v, со ( ", ... , со( 0 ,

[х( 1 ) ,... ,\i(C)),

и

множество Rk.i определяется

соотношениями

i

Я. +

£

«>(Л + и = Р.

| и | =

k — I,

о)( Л +

(г, л <

Р, | со"' | >

О,

16('>

] <

т,

| р | =

k, р + X +

v <

р;

X =

О

при

k <

/.

Д о к а з а т е л ь с т в о

л е м м ы

проведем

индукцией

по

При / = 1 равенство (1.37)

следует

из

равенства

1

\o(h)AJx,u

Dmu)

=

\^Aa{x

+

thelt,...

о

i

. . . . (1 +

tAj

Dmu

(x)) dt=U

£

Aa6(x

+

theUt...

. . . . (1 + tAJ

Dmu

(x)) • AcD6u

(x) +

АУ

(x

+

the^,...

. . . . (1 +

tAt)

Dmu

(x)) h J dt

(1.38)

и формулы (1.14):

b?(h)Aa(x,

u,...,Dmu)

=

l

=

(

£

£

С*АЛ

(x +

theia

+

ph,.

. . , (1 +

tAJ

Dmu(x+

+ |iA))AP De «(х)Л + j {

£

£

C^A^A^(*

+ fl^

+ ц Л , . . .

0

|6|<m

7 <

~

v<p —V

n<v

. . . . (1 + fДJ D m u (JC +

цА)) AV A, D6 u (x+vA)+A р / £ ' ' '

(x+the^,...

...,{l

+

t^Jjru(x))h\dt.

Применяя дальше

к последним

двум слагаемым соотношение вида

(1.38), получим (1.37) при / = 2. Предполагая

по индукции

дока­

занной

формулу

(1.37)

при I < /0 ,

получим

ее для

Z = /0

- f 1,

пользуясь формулами (1.14), (1.38). Также очевидно, что в (1.37)

можно добиться выполнения X = 0 при k <

I. В противном случае

следует еще применить (1.38).

и(х)—

Оценим

второе слагаемое в правой части

(1.37). Функция

обобщенное

решение

уравнения

(1.27) — предполагается

удов­

летворяющей

условию

(R)

и,

следовательно, принадлежит

C m _ 1

(Qd ) .

Обозначим

11 и \ \

_

через М0

и пусть

С,=С,(Л10 ),

С2 = С2 (М0 ),

где С, (0,

C2(t) — функции

из

(1.29) — (1.31).

В дальнейшем

в

оценках

буквой

С без

всяких

индексов

будем обозначать

все постоянные,

зависящие

только

от т, гс,р,

р р

С0 ,

Ср

С2 .

Лемма 8.

При

|<х| =

т

выполнено

равенство

A&(h)Aa(x,u,...,iru)

= Rl

+

1

+ J

S

S с М а 6

(х +

thett

+ ixh,...,

(1 +

tbit)Dmu

(х +

+

шЧ)) df Ap D6 u,

(1.39)

где для

Rl

имеет

место

оценка

в

Qd

£

S

(1 +

Е

I Dyu (х + мЛ)1 У" 3

П

| Ae V " ^ X

*=2

"*«К

'^вт

'

X ( X

+ V W A ) | + S

2

^ 2

f i +

S

|/)г «(^ +

^ ) | Г ' -

П

| A M ( V ( ' ' ' « ( * + V ( /

V I ) |

(1.40)

Здесь

a, = { f f l ( 1

, , . . . , « l

" ; 6 l l ' . . . . , a l l ' ; v s "

v"'},

=

аА :|б( 1 >|=...=|бГ =m; m+m,> £

|a><»! > [Ц

+ 1;

/=1

со*'» _|_ V W) < р, |

(/), >

О},

£<?>=( а £ : Л — ( " *

— I

б</ '1) > ° -

I е

0 ' " ! >

°> 16(Л1 <

т,

m + /и, > k — / + £

I co(/)| >

I

+y

1, o ( / ) + v ( / , < p | .

/ = 1

'•

Утверждение леммы

8

получается

непосредственной

оценкой

из формулы

(1.37)

при I =

[ т ]

~Т"

1 и

применением

неравенств

(1.30), (1.31).

Аналогично устанавливается следующая

лемма.

Лемма

9. При \ а | < т

имеет

место

оценка

lAHh)Aa(x,...,Dmu)\<C~%

/ 1

+

*<='

<=°

0,6*g> \

+

2^ | D7 « (*+цА)| У'-П

I A

"

'

V

\ (л; +

vW ) A)|,

(1.41)

где

/2»)

=

j ay. ft -

1

+

J)

I со<»| >

[ J ]

+

1. I co( / ) l >

0,

| 6<»|

<

I ) ( u ( / ) + v ( ' ) < p j .

Укажем

теперь

значение

второго

множителя

подынтегрально­

го выражения в (1.36).

Лемма

10. Имеет

место

равенство

Da {[wT

(х, п)]гА* (Л) m|)s (х)}

= [wx (х, h)]r

Др

(A) D a и г р »

+ # 2

+

| Л 2 | < с ( л + 1 Г л т 2 К ^ л ) Г ' v

п

/ - 0

|v(0|=m 1

= 1

cc«x.a('><a

X | A p D a % | i | / - m .

а-43)

Здесь а = а( 0 ) + а ( , ) + . . . +

а'