книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка
.pdfдля u£S следует |
X < 1. Тогда уравнение |
|
Ки + Fu = и |
имеет решение в |
D. |
Аналогичное |
следствию утверждение для случая выпуклой об |
ласти D доказано в работе [119]. Впервые признак существования |
|
неподвижной точки отображения К + F получил М. А. Красно |
сельский [81]. В дальнейшем этот признак обобщался в работах
других ученых (см., например, [119, 161, 162, 61, |
131, 60]). |
В заключение параграфа докажем сходимость |
метода Галер- |
кина для рассматриваемых операторных уравнений. Сходимость метода Галеркина для уравнения вида и + Fu — 0, где F — вполне
непрерывный |
оператор |
в |
банаховом |
пространстве, |
получена |
||||||
М. А. Красносельским |
[81]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть X — сепарабельное |
рефлексивное вещественное |
банахово |
|||||||||
пространство и пусть vit |
i = |
1, 2, |
. . . — |
такая |
система элементов |
||||||
в X, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LJ^n = |
X, |
|
|
|
|
|
|
||
где Fn — линейная оболочка элементов иъ |
. . . , |
vn |
и черта обозна |
||||||||
чает замыкание. |
|
|
|
|
Аи = |
|
|
|
|
|
|
Приближенным решением |
уравнения |
0 назовем |
элемент |
||||||||
"п€ Fn такой, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Aun,vt) = |
0, |
i=\,2,...,n. |
|
|
|
(Ш.61) |
||||
Теорема 13. Пусть |
D — |
ограниченная |
область |
пространства |
|||||||
X и А : D -*• X* — ограниченный |
деминепрерывный |
оператор, |
удо |
||||||||
влетворяющий |
условию а). Предположим, |
что |
в |
области |
D |
поле |
|||||
Аи имеет единственную критическую точку |
ненулевого |
индекса. |
|||||||||
Тогда приближенные решенияипуравнения |
Аи=0существуют |
|
прип, |
||||||||
больших некоторого п0, |
и при п |
= |
оо приближенные решения ип |
||||||||
сходятся к решению уравнения |
Аи |
0. |
|
|
|
|
|
Аи, |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Из определения |
вращения поля |
теоремы 2 и леммы 5 следует, что при достаточно больших п вра щение поля Ф„(ы), определяемого равенством (III.17), отлично от нуля на S H Fп (S — граница области D). Тогда из свойств враще ния конечномерного векторного поля следует, что Ф„(«) обращается
в нуль в D Г) |
Fn. |
Решения уравнения Фп(и) |
= 0 |
будут |
приближен |
||||||||
ными решениями уравнения |
Аи |
= 0. Это доказывает первую часть |
|||||||||||
теоремы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и0 —реше |
||
Докажем сходимость приближенных решений. Пусть |
|||||||||||||
ние уравнения |
Аи—0 |
в D, е—произвольное |
положительное |
число |
|||||||||
и Вь(и0) |
— шар |
радиуса е |
с |
центром в и0. На множестве |
D& — |
||||||||
= D\Be |
(«0) |
поле |
Аи |
не |
имеет |
критических |
точек |
и аналогич |
|||||
но лемме |
4 |
убеждаемся, |
что поле Ф„(«) |
при |
достаточно |
боль |
|||||||
ших п |
не |
обращается |
в |
нуль |
на Dif)Fn. |
Таким образом, |
при |
150
больших п все |
приближенные |
решения |
находятся |
в Ве |
(u0)[\Fn, |
|
что и доказывает второе утверждение теоремы. |
|
|
|
|||
Замечание. |
Аналогичное теореме 13 |
утверждение можно |
до |
|||
казать для оператора А : Х-УХ, |
удовлетворяющего |
условиям |
п. 4 |
|||
§ 2. |
|
|
|
|
|
|
Обоснованием метода Галеркина для уравнений с монотонными операторами занимались Р. И. Качуровский, М. М. Вайнберг. В работах [72, 73] рассматривались уравнения с монотонными опера торами, а в работе [30] — с равномерно.монотонными операторами. Содержащиеся в этих работах результаты непосредственно следуют из теоремы 13.
§ 6. О разрешимости нелинейных граничных задач
Укажем сейчас некоторые приложения развитых выше топологи ческих методов исследования нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах к граничным задачам для нелинейных эллиптических уравнений.
Сохраним относительно области Q предположения |
§ 1 настоящей |
|||||||||||||
главы и рассмотрим задачу нахождения |
решения уравнения |
( I I I . 1), |
||||||||||||
удовлетворяющего интегральному тождеству |
(II 1.2). При этом пред |
|||||||||||||
полагаем, что функции Аа |
удовлетворяют |
условиям |
1), |
2) § 1 и |
||||||||||
fa£LqJQ), |
где значение |
qa |
указано |
в § 1. |
|
|
|
|
|
|||||
Сформулируем вначале общую условную теорему существова |
||||||||||||||
ния. |
Предположим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) |
уравнение |
( I I I . 1) включено |
в |
параметрическое |
семейство |
|||||||||
уравнений того же вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
V ( - \pDaAa(*,*,..., |
|
Dmu) |
= |
£ |
( - |
1)WD% (t, х), |
|
(111.62) |
||||||
\а\<т |
|
|
|
|
|
|
|
|a|<m |
|
|
|
|
|
|
t£[0, |
1], |
так |
что |
для |
|
(x,l)^ixRM: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Aa(\,x,l) |
= |
Aa{x,t), |
|
fjhx) |
= |
fjx); |
|
|
|||
б) |
функции |
Aa(t, х, £) |
непрерывны no |
t при |
(х, |
|
QZUxR", |
|||||||
удовлетворяют при ££[0,1] условиям |
§ 1 и равномерно по t |
|||||||||||||
удовлетворяют |
неравенствам |
(III.3), |
(III.4). |
Функции |
fa(t,x) |
|||||||||
принадлежат |
при f £ [ 0 , l ] |
Lq<x(Q) |
и непрерывны |
по |
t. |
|
|
|||||||
Решение |
уравнения |
(III.62) |
будем |
понимать |
аналогично <j 1, |
т. е. будем рассматривать такие решения и, что для cp£ V выполнено равенство
j |
£ Ajt, х, и |
Dmu) Da<pdx = J £ / а (t, x) Da<pdx. (111.63) |
ft |
|a|«m |
Q |a|<;m |
151
Аналогично |
§ |
1 |
определим |
семейство |
операторов |
At: V |
V* |
|||||||||
равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(Atu, |
ф) = |
J £ |
{Aa(t,x,u,..., |
Dmu) |
- |
fa (t, x)} Daq>dx. |
|
||||||||
|
|
|
|
Q |
|a|«m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 14. Пусть выполнены условия а), |
б) и предположим, |
что |
||||||||||||||
для произвольных |
|
решений и (t, |
х) уравнения |
(II1.62), |
удовлетворяю |
|||||||||||
щих |
(III.63), |
выполнена |
оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
I I |
« M I L |
. P < |
* |
|
|
|
|
(Ш-64) |
|
с некоторой |
постоянной |
К |
и |
что |
вращение |
поля |
А0и |
на сфере |
||||||||
|
|
|
|
|
V°> = {"ev:H|m ., = tf} |
|
|
|
||||||||
отлично от нуля. |
Тогда |
существует |
по крайней мере одно решение |
|||||||||||||
граничной |
задачи |
для |
уравнения |
(1.1), соответствующей |
простран |
|||||||||||
ству |
V. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Как отмечали |
в § 1, решение гранич |
||||||||||||||
ной задачи для уравнения (1.1), соответствующей V, эквивалентно |
||||||||||||||||
нахождению критических точек поля Ахи. |
Из условий теоремы сле |
|||||||||||||||
дует, что поля А0 |
и и Ах |
и гомотопны на5/<-(0) в смысле определения 4 |
||||||||||||||
и, следовательно, |
их |
|
вращения одинаковы. Таким образом, вра |
|||||||||||||
щение Ах и на SK(0) ненулевое и утверждение теоремы следует из |
||||||||||||||||
принципа |
ненулевого |
|
вращения. |
|
|
|
|
|
|
|
Теоремы существования решения граничной дифференциальной задачи можно получить, переформулируя для оператора А, опре
деляемого равенством (III.5), признаки существования |
критиче |
||||||||||
ских |
точек § 5. |
Ограничимся аналогами теорем |
8—10. |
|
|
||||||
|
Теорема |
15. |
Пусть |
функции |
Аа удовлетворяют |
условиям |
1), |
||||
2) § |
U f„ £L |
(Я) и пусть |
при некотором |
R > |
0 |
|
|
|
|||
|
|
{Аи — / , а > > 0 |
для |
u£SR(0), |
|
|
|
||||
где A, f определяются равенствами |
(III.14), |
(III.5), |
(II 1.6). |
Тогда |
|||||||
существует по крайней |
мере одно решение |
u£V |
уравнения |
(II |
1.1), |
||||||
удовлетворяющее |
(II 1.2) |
и |
неравенству |
|
|
|
|
|
H«1L„<*. (И1-65)
Это утверждение непосредственно следует из теоремы 8. Следствие. Пусть функции Аа удовлетворяют условиям 1), 2)
§ 1 и пусть
|
11111 71 |
П |
= - р |
UU. |
ll"l|/n.p-*«> " " |
l l |
m ^ |
|
|
Тогда уравнение -(HI. 1) |
имеет |
решение, |
удовлетворяющее (III.2), |
|
при произвольных fa£Lq |
(Я). |
|
|
|
152
Подобные результаты были получены М. И. Вишиком, Ф. Е. Бра-
удером, Ю. А. Дубинским и др. (см. [32, 17, 47]). |
|
Замечание. В главе I I при доказательстве леммы 4 |
использова |
лась разрешимость задачи Дирихле для уравнения |
вида (II 1.2) |
в области достаточно малой меры. Этот результат, например, можно
получить из теоремы 15 при определенных условиях на |
Аа, |
если |
|||||||||||||||||||
воспользоваться |
неравенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
п—{т—1)р |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
| | « | | < t , < C { i n e s Q } T |
|
|
|
|
~\\и\\т.„ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
справедливым |
для |
u£W™ (Q), / < |
m, q < п |
_ |
^ |
—i)P |
с |
|
постоян |
||||||||||||
ной |
С, не |
зависящей |
от и, |
Q. |
Аа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Предположим, что функции |
|
удовлетворяют |
условиям |
|
||||||||||||||||
|
1) Аа(х,$=А™(х,1) |
|
+ |
А™(х,% |
где |
А^ |
(х,1), |
А^ |
(х,1) |
оп |
|||||||||||
ределены для x£Q, |
l£RM, |
измеримы |
по х |
при всех значениях |, |
|||||||||||||||||
непрерывно |
дифференцируемы |
по |
£ |
почти |
при |
всех |
х и удов |
||||||||||||||
летворяют |
неравенствам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 4 ? ( * , ! ) | < С, ( |
I + |
| |
£ | |
Д |
/ = |
0 , 1 , |
|
|
(111.66) |
||||||||
где |
р 0 |
= |
р — 1 , р, < р — 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2) функции Аа0) |
(х, £) положительно |
однородны |
по |
£ |
порядка |
|||||||||||||||
р — |
1 |
и для |
|
RM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Х 0 |
) ( * . - & ) = - 4 ? |
(хЛУ, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3) |
для |
x£Q, |
l£RM, |
T\£RN |
выполнено |
неравенство |
(III.4) и |
|||||||||||||
|
|
|
|
Е |
|
^ |
^ |
V b |
> |
C |
2 |
|
% \ \ Г 2 |
|
1 |
Ъ |
|
(111.67) |
|||
|
|
|
|a|=|P|=m |
|
|
|
|
|
I7l=m |
|
|
| а | = т |
|
|
|
|
|||||
с положительной постоянной |
С2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Рассмотрим |
еще |
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
£ |
(_ \)^DaAa°\x, |
|
и,..., |
Dmu) = 0, |
и £ 1Л |
|
(II 1.68) |
||||||||||
Теорема |
16. |
Предположим, |
что |
выполнены условия |
1) —3) |
на |
|||||||||||||||
стоящего |
параграфа |
и граничная |
задача |
для |
уравнения |
(III.68) |
|||||||||||||||
имеет |
только |
нулевое |
решение, |
соответствующее пространству |
V. |
||||||||||||||||
Тогда |
уравнение |
(II |
1.1) имеет |
по |
крайней |
мере |
одно |
решение, |
удо |
||||||||||||
влетворяющее |
(II |
1.2), |
при произвольных |
функциях |
fa£Lq^ |
|
(Q). |
Теорема следует из теоремы 10. При этом индекс нуля поля отличен от нуля по теореме 9.
153
Отметим еще сходимость метода Галеркина при решении гра ничных задач, причем приближенные решения понимаем аналогич но § 5.
Теорема 17. Пусть выполнены предположения теоремы 15 и уравнение (II 1.1) имеет единственное решение и0, соответствующее подпространству V. Тогда галеркинские приблиоюения ип, соответ ствующие этой краевой задаче, существуют при всех п и сходятся
при п ->• оо к и0.
Теорема следует из теоремы 13 и замечания к теореме 8. Замечание. Выше предполагалось, что функции Аа(х, £) диф
ференцируемы по £. Очевидно, можно ослабить это условие и во обще можно формулировать предположения для граничной задачи в операторной форме. Также ясно, что все рассуждения относи тельно граничной задачи тривиально переносятся на системы диф ференциальных уравнений. Таким способом можно получить непо средственно результаты Браудера [21].
В заключение рассмотрим нелинейную задачу Неймана для эллиптического уравнения второго порядка. Интерес к этой задаче вызван тем, что, как отмечается в работе [84], в случае нелинейной зависимости граничного условия от производных и, к такой задаче не применим метод Лере — Шаудера, а в работе [84] при доказа тельстве разрешимости задачи делаются дополнительные предло жения. Рассмотрим задачу
L < u ) = И ж 7 а * ( х ' » * • % ) + а • / • " • - £ ) = 0 , |
X ^ Q ' |
( Ш - 6 9 ) |
1=1 |
|
|
п |
|
|
В (и) ^ £ а , (х, и, -g-j cos (п, х() + <р (*, и) | 5 |
Q = О, |
(II 1.70) |
t=i |
|
|
где Qcz/?r t |
— ограниченная область, п — орт внешней |
нормали к |
||
dQ |
в точке |
х. |
|
|
< |
При формулировке следующих |
условий предполагаем, что 1< |
||
р < п. При р > п условия имеют немного другой вид. |
||||
|
Пусть при (x,u,l)^QxR1xRn, |
I = (1,, • . . , ln) |
выполнены |
|
условия: |
|
|
|
1)at(x, и, | ) , <р (л:, и) трижды дифференцируемые, а (х, и, £)— дважды дифференцируемые функции своих аргументов.
2)выполнены неравенства для r\ £ R" с положительными по
стоянными Съ С2 и положительной неубывающей непрерывной функцией ц
S da.(х, и, £) |
0,(1 + 161)"2 h l a , |
i.j=\ |
|
154
|
|
i,i=\ |
|
|
|
i=\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ro = i + l « f ^ + |
| l | , |
| Ф | < С 2 ( 1 + | « Г Т ' . |
e < |
|
" ' |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi < |
p - 1- |
|
da. |
|
da |
(1 +151) |
+ |
da |
|
|
da |
< |
|
|
|
|
|
|
|||
dx. |
+ |
|
du |
+ dx. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
3) |
существует |
R > |
0 такое, что |
при |
| ы \ > |
|
R |
|
|
|
||||||||
|
|
|
1=1 |
dx.du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ |
а. (x, ы, 0) cos (л, хг ) |
+ |
ф (х, и) > 0 , |
лг£дЯ. |
|
||||||||||
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема |
18. |
Пусть |
выполнены |
условия |
1) —3) |
и |
д Q — |
поверх |
||||||||||
ность |
класса |
С2Л, |
X > 0. |
Тогда |
при некотором |
б > |
0 |
задача |
||||||||||
(111.69), |
(111.70) имеет решение, принадлежащее |
|
С2'6 |
(Я). |
|
|
||||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Включим |
задачу (III.69), |
(III.70) в |
|||||||||||||||
следующее параметрическое семейство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ад |
|
( 1 - - о | 2 ^ | ( 1 |
+ |
du |
iP—2 dU |
— и |
= 0 , |
|
(111.71) |
|||||||||
+ |
dx |
I |
ах.i |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
tB(u) |
+ (l~t)(\ |
|
+ |
|
|
p - 2 |
du |
|
= |
0. |
|
|
(III. 72) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ian
Разрешимость задачи (III.69), (III.70) доказывается аналогично теореме 14. Для проверки условия вида (III.64) заметим, что из работы [122] следует принадлежность произвольного обобщенного решения и (t, х) задачи (III.71), (III.72) классу С2 (Я). Из прин ципа максимума модуля для линейных эллиптических уравнений второго порядка просто получается оценка
max | и (t, х) | < М0
Й
с некоторой положительной постоянной М0. И тогда из интеграль ного тождества следует оценка
\\"V.x)\\l*<Ml
с некоторой постоянной Mv
155
Вращение поля AQu
на SM , (0) равняется единице по замечанию к теореме 8. И теперь аналогично доказательству теоремы 14 устанавливается теорема 18.
§ 7. Существование решений некоторых нелинейных задач механики
В этом параграфе будут рассмотрены приложения к нелинейным задачам механики. Во всех рассматриваемых ниже задачах на гра нице будут задаваться условия Дирихле, хотя, как ясно из предыду щего параграфа, аналогичные результаты справедливы и для других граничных условий.
Развитые выше методы позволили дать простые доказательства известных результатов (п. 1, 2), а также и получить новые резуль
таты в ряде задач нелинейной механики (п. 3—6). |
|
|
|
|||||||||
1. Система |
уравнений Навье — Стокса. Пусть Q — ограничен |
|||||||||||
ная область n-мерного эвклидова пространства с границей S, |
и = |
|||||||||||
— {иъ |
. . . , |
«„) — вектор-функция, |
определенная в |
Q. |
Будем |
|||||||
искать |
в |
Q решение стационарной |
системы |
уравнений |
Навье— |
|||||||
Стокса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- v A U + Y u f t - J p - = = - g r a d p |
+ |
/, |
v > 0 , |
|
(111.73) |
|||||
|
|
|
k=\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
div и = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяющее условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
« | s |
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
(III. 7 |
Рассмотрим пространство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Я = |
{« = |
(«,, .. „un):u.£W2(Q), |
|
i |
= |
1 , . . . ,n . divu |
= 0}, |
|
||||
H—гильбертово |
пространство |
с |
нормой, |
соответствующей |
ска |
|||||||
лярному |
произведению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"с ди. dv.
(./=1 й
Обобщенным решением задачи (III.73), (III.74) назовем векторфункцию и€.Н, удовлетворяющую при всех ф € Я равенству
156
Определим |
оператор |
|
А-Н-+Н |
|
и элемент |
F£H |
так, |
чтобы |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
С |
J^, |
i |
ди. |
дц>. |
ди. |
, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
( Л Ф ) = £ |
|
( / , Ф А |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(-16 |
|
|
|
|
|
|
|
||
При этом предполагается, |
что |
fi£Lq(Q), |
Я~п^_ч |
|
|
при |
п > 2, |
|||||||||||
о > |
1 при |
= |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично § 1 убеждаемся, |
что Л—ограниченный непрерывный |
||||||||||||||||
оператор, |
удовлетворяющий |
|
условию а). |
Кроме |
того, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(Аи, |
и) = v || и ||*, |
|
|
|
|
|
(Ш.75) |
||||
что |
следует из легко проверяемого равенства |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
У" |
с |
|
ди. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
i./=i я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Непосредственно из теорем 8,13 следует такая теорема. |
|
|
||||||||||||||||
Теорема |
19. |
1. Задача |
(II 1.73), |
(II 1.74) имеет обобщенное |
реше |
|||||||||||||
ние |
при |
произвольных |
v > |
0, |
fi£Lq(О,). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
• 2. Пусть |
v, |
/ таковы, |
что задача (III.73), |
|
(III.74) |
|
имеет |
един |
||||||||||
ственное |
обобщенное |
решение |
и0. |
Тогда галеркинские |
приближения |
|||||||||||||
ц ( л ) задачи |
(III.73), |
(111.74) существуют при |
всех п |
и при |
п-+ оо |
|||||||||||||
приближенные решения «<п) сходятся к и0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Здесь |
и |
в дальнейшем приближенными |
решениями |
дифферен |
||||||||||||||
циальной задачи называем определенные в соответствии |
с § 5 при |
|||||||||||||||||
ближенные решения операторного уравнения Аи = F. |
|
|
|
|||||||||||||||
Другими |
методами |
результат |
теоремы доказан |
в |
работах |
[38, |
||||||||||||
86, |
72]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Система |
сильного |
изгиба |
тонких |
пластин. |
Задача |
||||||||||||
сводится |
к |
нахождению |
решения |
граничной |
задачи для |
прогиба |
||||||||||||
w и функции напряжений F: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
-?-A2w-L(w,F) |
|
|
= -±-q(x,y), |
|
|
|
|
(111.76) |
-J- &*F + L (w, W) = 0,
W\ |
dw |
= F\ |
dF |
|
~dh~ |
dn |
|||
|
|
(x,y)£Q,
(III. 77)
= 0,
s
где A — оператор |
Лапласа, |
|
(W' ' |
dx* " ду* + ду* ' дх2 |
дхду • дхду ' |
157
Q — ограниченная |
область на плоскости с |
границей 5, h, Е, D —- |
|||||||||||||||
положительные |
постоянные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Рассмотрим |
гильбертово |
пространство |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Я = |
{« = |
(и>, |
F):w,F£Wl(Q)} |
|
|
|
|
||||||
со |
скалярным |
произведением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
(".*) = |
£ |
f ^{DawD\ |
+ |
|
DaFDaq}dxdy, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|а|=2 |
|
Й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
х = |
(ф> 'Ф)- Обобщенным |
решением задачи |
(III.76), (III.77) |
|||||||||||||
назовем |
вектор-функцию |
« € # , удовлетворяющую |
при всех |
% £ # |
|||||||||||||
равенству |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
j j |
|
ДшАф — L (ш, F) Ф + - | - Д^Д\р |
+ |
|
|
|||||||||
|
|
|
- f L (w, w) ф| dxrfy |
= X |
j " j |
9 |
^ ф |
^ ' ^ |
d x |
d y - |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
Определим оператор А:Н-*-Н |
и элемент |
Q£H |
так, |
чтобы |
|||||||||||||
(Аи, х) = |
j j | - р ДИУДФ — |
L (a;, F) ф + |
-|г- Д/^Аф + |
L (ш, ю) ф| |
dxdy, |
||||||||||||
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Q. X) = |
X |
j " j <7фЛ«*0. |
|
|
|
|
|
|||||
При этом |
предполагается, |
что |
q(x,y)£L1(Q). |
|
|
|
|
непре |
|||||||||
|
Аналогично |
§ 1 |
убеждаемся, |
что |
А — ограниченный |
||||||||||||
рывный |
оператор, |
удовлетворяющий |
условию |
а). |
Легко |
прове- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рить, что для w, |
FqW2(&) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
^ |
L(w, F) wdxdy == Ц L (w, w) Fdxdy. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
получаем, |
что с |
некоторой положительной |
постоянной С |
|||||||||||||
справедливо неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
( Л « , « ) > С | | « | | | , . |
|
|
|
|
|
(III 78) |
Теперь непосредственно из теорем 8, 13 следует такая теорема. Теорема 20. 1. Задача (III.76), (II 1.77) имеет обобщенное реше
ние при произвольной функции g^L-L (Q).
2. Если задача (111.76), (Ш.77) имеет единственное обобщенное
решение и0, то при любом п существуют галеркинские |
прибли |
зь
жения «<"> задачи |
(III. 76), |
(III.77) |
и при |
л - > о о |
приближенные ре |
||
шения |
ы(л> сходятся |
к и0. |
|
|
|
в работах [103, |
|
|
Этот результат другими методами был получен |
||||||
39, |
72, |
51]. |
|
|
|
|
|
|
Замечание. Аналогично |
могут |
быть |
рассмотрены полная си |
|||
стема уравнений сильного изгиба пластин |
[52], задача о равновесии |
пологих тонких оболочек [40], граничные задачи для уравнений типа Кармана [4].
3. Изгиб пластинки в условиях установившейся ползучести.
Эта задача поставлена Л. М. Качановым в работе [74]. Скорость
прогиба |
пластины |
|
w (х, |
у) удовлетворяет |
уравнению |
(см. [68]) |
|||||||||||||||
|
Я 1 1 " 1 (до) |
|
|
|
|
|
|
1 |
d2w |
+ дхду |
Н^~1 |
(до) дхду |
+ |
|
|||||||
дх* |
|
дх2 |
|
+ |
-9- |
|
|
|
|||||||||||||
|
+ |
|
Я ц |
_ 1 (до) |
|
|
|
+ |
|
д2ш |
= |
f (х, |
У), |
|
(111.79) |
||||||
|
|
ду" |
|
ду* |
' |
2 |
дх2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
(х, |
У) £ Q, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
d2w |
|
|
|
d*w |
|
d2w |
|
d2w |
|
|
|
||
тт2 , |
> |
/ |
|
Л |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
(Ш.80) |
||||||||
|
|
ду2 |
|
+ |
1\ |
дхду |
+ дх2 |
|
ди2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Q — ограниченная |
плоская |
область |
с границей |
5. Если |
пластин |
||||||||||||||||
ка жестко закреплена |
на |
краю, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
до |
dw |
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
(111.81) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача (111.79), (III.81) рассматривалась в работе [70] при |
|||||||||||||||||||||
условии |
| х > 1 . Однако, |
как правило |
[74], 0 < J I < 1 . |
Ниже |
бу |
||||||||||||||||
дет рассмотрена |
задача |
|
при |
условии \а > |
0. |
Пусть |
р = |
р . + 1. |
|||||||||||||
Будем |
искать |
обобщенное |
решение |
задачи |
|
в |
пространстве |
||||||||||||||
0 о |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 |
|
|
. Функцию |
|
° 2 |
|
|
|
|
|||
wp(Q), |
предполагая, что f£[Wp(Q)] |
w£Wp(Q) |
назы |
||||||||||||||||||
ваем обобщенным |
решением |
задачи |
(III.79), |
(III.81), |
если |
для |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
произвольной функции |
ф £ Wp |
(Q) выполнено равенство |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d*w |
|
1 |
|
д'ш |
|
д \ |
|
|
|
д \ |
+ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ду |
|
дх2 |
Т |
дхду |
дхду |
|
|
|||
|
|
+ |
d2w |
+• |
•* |
|
d2w |
|
|
dxdy |
= |
(f,<f). |
|
|
|
|
|||||
|
|
ду2 |
|
дх' |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
J ду |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Как обычно, |
задача |
сводится к решению операторного |
уравнения |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Aw |
= |
f, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
159