книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка
.pdfПрименим теорему Эдельштейна, выбирая в качестве В прост ранство У (его равномерная выпуклость известна; см., например, [471) и в качестве S множество AtG. Тогда соответствующее множе ство С плотно в Y.
|
Получаем |
отсюда существование |
последовательности пп, сходя |
|||||||||||
щейся |
к 0, и последовательности uv |
|
£ G такой, что |
|
|
|||||||||
|
|
|
\\hn-Al»n\\Y |
|
= ^\\hn-A,v\\Y. |
|
|
(11.58) |
||||||
Из |
(11.57') следует, что при |
гс>п0с |
|
достаточно большим |
nQ |
A{in£ |
||||||||
£R |
и, |
следовательно, по лемме |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
I K |
+ |
f\\v/m+HB) |
|
< |
К2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я |
|
|
|
|
|
|
|
так что ип—внутренняя |
точка |
G. Из |
(11.58) получаем, |
что для |
||||||||||
v£X, |
iHl^m+i^., |
' П Р И |
достаточно |
малом |
положительном & |
|||||||||
|
|
ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
WK - А,ип\\у |
|
< 11Ал ~ |
А |
г К + « С |
|
|
(П-59) |
||||
Зафиксируем |
п и представим At (ип |
|
+ sv) в |
виде |
|
|
|
|||||||
|
|
|
At |
(ип + sv) = А,ип |
+ sA'r (un) v + о, (s), |
|
(11.60) |
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4-lK(s>Hy |
Опри s-^ 0. |
|
|
|
||||||
|
По |
лемме 5 |
IIй» + / L m i a . , ^ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и тогда по лемме 8 для |
любого s > 0 |
можем |
выбрать |
v |
такое, |
|||||||||
чтобы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A't{u^v |
|
= ha-Atun^-^{s), |
|
|
(11.61) |
|||||
|
|
|
|
|
|
lK(s)|| y |
<s . |
|
|
|
|
|
||
Подставляя |
(11.60), (11.61) |
в (11.59), |
имеем |
|
|
|
|
|||||||
ИЛИ |
WK-А, |
|
" X < \К - А , и Х (1 - + I K |
+ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
HI. |
л |
п |
^ HV'Hly . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
\ K - A |
A < — S |
— |
+s- |
|
|
|
||||
откуда следует |
Atun = hn. |
Отсюда в силу леммы 9 получили, что |
||||||||||||
|
|
|
|
0£Л,О |
при t£[t0,t0 |
+ e]. |
|
|
|
|||||
Получаем противоречие |
с выбором |
|
tQ, |
так |
что |
предположение |
tQ < 1 не верно и тем самым лемма 10 доказана.
100
Из леммы |
10, таким |
образом, следует |
существование элемента |
|||
и(1>, принадлежащего |
G, такого, что |
|
|
|||
|
|
|
|
Л,«( 1 ) = Э. |
|
(П.62) |
|
|
|
|
о |
|
|
Функция и(1> принадлежит |
^ ( Q * ) Г) W^+ha.), |
и по определению |
||||
оператора |
Л, из (11.62) |
|
|
|
||
U |
Е |
Aa(x,...,Dm |
(и{[) |
+ f)) D\dx |
= S |
в (х) D<° V * |
ft. |
Mo|<m |
|
|
\a\<m fl. |
|
для ф£С™ (QJ. Отсюда получаем, чтои( 1 >+/—обобщенное реше
ние уравнения (11.22), принадлежащее uQ+ |
W™^). |
|
|
|
|||||
Из леммы 5 имеем, |
что в |
функции |
u0nu(1)-\-f |
совпадают. |
|||||
Следовательно, и0 |
£ W™+1 (Q*) |
и по теореме |
вложения |
с |
некото |
||||
рым I > 0 и0 £Ст* |
(Q*). |
|
|
|
|
|
|
||
Тем самым |
доказана |
такая |
теорема. |
|
|
|
|
||
Теорема 3. |
Пусть ип(х) — обобщенное решение уравнения |
(11.22), |
|||||||
принадлежащее |
о |
(Q). |
Предположим, что с некоторым pQ > |
1 |
|||||
|
|||||||||
Fa (х) 6 B§'(Q), |
<&м/сцыы |
^ а (*>£) np« x£QcR2, |
1 = {la:\a\ |
< |
|
||||
£ RM |
дважды непрерывно |
дифференцируемы |
по всем аргументам |
и |
|||||
удовлетворяют условиям |
(11.23), |
(11.24), д й б С * . Тогда |
при некото |
||||||
ром |
к > 0 и0 (х) £ Ст-К (П). |
|
|
|
|
|
Непрерывность производных более высокого порядка получает ся при соответствующей гладкости Аа, Fa из работы (1].
Еще раз обратим внимание на то, что для вариационных урав нений условие (11.24) выполняется всегда.
§ 3. О непрерывности обобщенны» решений
Известный результат де Джорджи [56] состоит в том, что всякое, принадлежащее W2(£i), обобщенное решение эллиптического урав нения
с ограниченными измеримыми коэффициентами atj(x) удовлетворяет условию Гельдера. Аналогичное утверждение не всегда имеет место для уравнений порядка 2 т при т > 2 (см. .уравнение Эйлера функционала 1г в § 1 гл. I).
101
В настоящем параграфе указываются условия непрерывности
обобщенных решений линейных и квазилинейных |
эллиптических |
||||||||||||
уравнений |
высокого порядка. Примеры § 1 гл. I показывают, что |
||||||||||||
полученные |
условия |
неулучшаемы. |
|
|
|
|
|
||||||
Рассмотрим общее |
|
уравнение |
2 m-го |
порядка |
дивергентной |
||||||||
ФОРМЫ...... •;, . . . |
|
i)M DaAa (х,и |
Dmu) = 0, |
|
|
||||||||
|
|
|
£ |
( _ |
|
(11-63) |
|||||||
предполагая, что функции Аа (х, I) |
измеримы при x£Q \ = {£а :]а|< |
||||||||||||
< m}£RM |
и с положительными постоянными С р С2 |
при |
р > 1 вы |
||||||||||
полнены |
неравенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
V |
А^хЛП^С, |
У \lf-C2 |
£ |
\l^-f(x), |
|
(11.64) |
|||||
|
la|=m |
|
|
|a|=m |
|
IP|<m |
|
|
|
||||
|
|
|
\Аа(х,Щ<С2 |
У |
! l / a P |
+ f a |
W , |a|<m . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
IPI«m |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
ря , |
рцд — произвольные |
числа, |
удовлетворяющие |
соотноше |
||||||||
ниям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
1 < Р р < „ _ ( т |
% | ) р |
при |
| Р | < т , |
|
|
|||||
|
0 |
< А > < Я 0 , |
я " - ( т 1 Я ' ^ Г Р |
П Р И |
|
+ | Р ! < |
|
( I L 6 5 ) |
|||||
|
|
|
|
pap = |
Р — 1 при |<х| = |р| = |
т, |
|
|
|||||
f(x), |
fa(x) |
— такие |
функции, |
что |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
/ (х) £ L q (Q), |
q > |
1, / а |
(х) £ L а |
(Q), |
|
(11.66) |
||||
|
|
|
|
|
. |
|
пр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 а > |
п ( р - 1 ) + ( / п - | а | ) р • |
|
|
||||||
Граница д Q области Q предполагается принадлежащей |
классу Ст е , |
хотя это условие можно заменить условием определенной конечной гладкости. г
Функцию и, принадлежащую W™ (Q), называем, как и раньше, обобщенным решением уравнения (11.63), если для cp£ W™(Q)
|
|
[ |
£ Аа(х,и,. |
..,Dmu{x))Daydx |
= 0. |
(11.67) |
||
|
|
Й |a|«m |
|
|
|
|
|
|
Основной |
результат |
параграфа дает |
такая теорема. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
Теорема' |
4. |
Пусть |
и (х) £ W^(^)— |
обобщенное решение |
урав |
|||
нения |
(П.63). |
Предположим, |
что п = тр, т > 2, Аа(х, |
£)— изме |
||||
римые |
функции |
и выполнены |
условия (11.64) — (11.66). Тогда |
и(х)£ |
102
£C(Q) и max\u(x)\ оценивается постоянной, зависящей лишь от
С,, Cs , т, п, \\f\\LqiQ), \\fa\\LqaW, Р, Ра, Ра В , q, qa, И т , р -
Замечание 1. Основным условием, возникающим при т > 2, является т р = п. Это условие является необходимым в том смысле, что при произвольном положительном е можно указать (см. § 1 гл. I) пример уравнения при 0 < п — тр < е, имеющего неограниченное решение. В случае же п < тр непрерывность и {х) следует из тео ремы вложения С. Л. Соболева.
Замечание 2. Из теоремы 4 следует и непрерывность (при необ ходимых предположениях) обобщенного решения линейного урав нения с измеримыми коэффициентами. Такое уравнение получится из (11.63) при
4 £ а а 0 ( * ) £ р + £а (х).
|р|«т При доказательстве теоремы сначала устанавливается ограничен
ность обобщенного решения и оценка для него, а затем непрерыв ность. Доказательство ограниченности и непрерывности основано на получении оценок нормы обобщенного решения или вспомогатель ной функции в Lr (Q) при больших г. Так как метод получения этих оценок одинаков, то проведем доказательство только непрерывности,
а ограниченность доказывать не будем. Отметим, что |
независимо |
от автора ограниченность решения доказал Фрезе [54]. |
|
Сначала будут получены неравенства, аналогичные |
первому и |
второму основным неравенствам главы I . Предполагается, что оценка vrai max \и (х)\ < С
уже доказана. В дальнейшем в настоящем параграфе все конс танты, зависящие лишь от т, п, С,, С2,р,ра, Р ( ф , <7,<7a>!lfj|L?cn), H U ^ a r
I M I I ^ I Q ) ' обозначаем |
буквой С без индексов. |
|
Пусть сначала xQ — произвольная внутренняя точка области Q, |
||
d0 — расстояние от х0 |
до границы 5Q области Q, Вд(*0 )— шар pa |
|
|
|
ri |
диуса R с центром в xQ. |
Обозначим для |
произвольного R < -у |
со. = со (R) = vrai |
т'ти(х). |
со =-- со (R) = vrai max и (х), со = со (R) = со, (R) — со. (R).
Считаем, что |
со (R) > 0. Доказательство непрерывности |
основано |
на получении |
оценки в L r (Q) нормы вспомогательной функции |
|
|
o v - o w + n W |
( I K 6 8 ) |
|
|
юз |
где |
|
|
|
|
|
|
|
mes Bp |
(x0) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
и (x), если |
mes GR |
> |
|
^ |
|
|
|
|
(11.69) |
|||
|
Q |
{х) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
mes |
Bp (x0) |
|||
|
|
|
2 со, — со — и (x), |
если |
|
|
|
||||||||
|
|
|
mes G„< |
s |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
GR= |JC £ BR (*0 ): |
и ( x ) < co2 |
— -yj |
|
|
|||||||
|
т)(#) — выбираемая |
далее |
функция, 0 < |
r\(R) < |
1. |
|
|||||||||
|
Подставим |
в уравнение |
(11.67) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
<p(x) = [V(x)]rtf(x), |
|
|
|
(П. 70) |
|||||
где г, s — произвольные числа, |
удовлетворяющие |
соотношениям |
|||||||||||||
г > 1 , |
т<8*^С^,С0 |
— абсолютная константа, |
ф(лг) — произволь |
||||||||||||
ная функция, принадлежащая C^(BR(x0)), |
равная |
единице в BR(x0) |
|||||||||||||
и |
такая, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
\DaM |
|
|
|
при |a|<m, |
|
|
(11.71) |
|||
|
|
|
|
|
|
0<ip(jc) |
< 1. |
|
|
|
|
|
|||
Простые |
вычисления |
дают |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
D\ |
(*) = |
в |
[V{x))r+lDau(х)У |
|
(х) + Qa, |
(11.72) |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I Qa I < |
С |
("ff J" |
IV (x)Y+mtf-m |
|
(x)\ |
1 | D p « r |
+ ( I ) " |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IPI>0 |
|
|
|
|
|
и |
E |
равно + |
1 или — 1 в зависимости от того, определяется Q верх |
||||||||||||
ней или нижней строчкой в формуле (11.69). |
|
|
|
||||||||||||
|
Покажем,- как оценивать члены, возникающие при подстановке |
||||||||||||||
Ф из выражения |
(11.70) в уравнение (11.67). Используя |
первое не |
|||||||||||||
равенство |
из (11.64) и неравенство |
Гельдера, имеем |
|
||||||||||||
|
|
|
J |
£ |
|
|
Aa(x,u,...,Dmu),[V(x)]r+lDau{x)tf{x)dx> |
||||||||
|
|
|
Q |al=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
C j J |
£ |
|
|
|
\Dau\PlV(x)]r+\ps(x)dx- |
|
||||
|
|
|
|
|
a |
|a|=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.73) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
/ Г |
I/ (x)\"dx\4 |
I j |
|
I f [Vr+X |
(x) a|>s (x)) 4~xdx\ |
" |
|||||
|
|
|
|
j j I/ ( * ) № } 4 |
[F |
|
{*) i|> (x)] |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
_n_ |
PplPI |
|
|
|
n |
|
" - IP |
||
|
|
|
IPKm |
Q |
|
|
|
С |
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
IBI<-m |
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
104
Из второго |
неравенства в (11.64) и неравенства |
Гельдера следует |
|||||||||
IJ |
Е |
\ (х, и, ... Dmu) |
{ V (x)Y+]Daii (*)4>ч (X) dx\ < |
||||||||
С |al<m |
Л_ |
|
|
|
|
п |
|
|
|||
|
|
|
Ja]_ |
|
|
IP| |
|
||||
|
|
|a|<m П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
101 « m |
|
|
|
|
|
n—|a|—IPlPojj |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x[l{vr+i(x)^(x)}n-^-^dx] |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.74) |
|
|
|
|
|
|
"In |
|
|
nqa—\a\qa—n |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
\lQaAa(x,u,...,Dmu)dx\< |
|
|||||||
|
|
|a|<m Й |
|
„ 'VI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|a|,W|«m П |
|
|
IP lf»|<m П |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n—|a|— p n v |yl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|a|n |
|
|
"-Paylvl |
|
|
||||
ПК |
\ п~"а-у№ С |
|
|
|
j+ |
||||||
|
|
\ |
|
|
|
|
|
||||
+ [ ( T ) |
j(V*~ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|al |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|a|<m Q |
|
e |
|B|«ro |
Q |
|
, , |
|
|
X |
+c(i)"s{li |
//^r {s[jp «FH" |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
nQa |
|
|
|
nqa—n—\a\qa |
|
|
|
|
|
|
nqa—n—\a\qa |
|
-, |
|
"?a |
|
||
|
|
|
|
|
|
dxj |
|
|
(11.75) |
||
|
|
[a\qa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
(ffa-lj(v^(x)^(x)ya-1dx]4a} |
|
|||||||
Из (11.73) — (11.75) следует такая |
лемма. |
|
|
|
|
|
|
||||
Лемма 11. Пусть и (х) £ |
|
(Q) — обобщенное решение |
уравнения |
||||||||
(11.63) и пусть выполнены предположения теоремы 4. Тогда |
для произ |
||||||||||
вольных чисел г, s, удовлетворяющих |
неравенства |
г > 1, т < s< С0г, |
105
и |
произвольной |
функции |
(х), |
принадлежащей |
СТ (BR (xQ)) и |
||||||
удовлетворяющей |
условиям |
(11.71), |
имеет |
место |
оценка |
|
|||||
|
|
|
£ |
J раи\р |
[V ( х ) ] г + У (х) dx < |
|
|
||||
|
|
|
|al=m Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
С [ i f 1 |
[т)П\\Vr+m |
(х) |
(х)] dx\Х , |
(11.76) |
|||||
|
|
|
|
|
|
я" |
|
|
|
|
|
где % — зависящее лишь |
от п, т, ра, р<ф, а , qa |
положительное число |
|||||||||
и функция V (х) определяется формулой |
(II.68). |
|
|
|
|||||||
|
Неравенство (11.76) аналогично первому основному |
неравенству |
|||||||||
главы I . Оно будет играть важную роль при получении рекуррентно |
|||||||||||
го |
соотношения |
для выражения |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Б |
$ У (х) V (x)\Dnu\Ial |
dx. |
|
|
flI77 |
||||
|
|
|
0<|a|<m Я |
|
|
|
|
|
) |
||
Будет также |
применяться |
неравенство |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
^tW - o ) ) <C*||g|| v ,,„ ( B R U o ) ) , |
• |
|
(11.78) |
|||||
|
|
|
|
о |
(BR (xQ)) при k < m, n = mp и следующее |
||||||
справедливое |
для g £ Wp |
||||||||||
из |
теоремы |
вложения |
С. Л. Соболева. |
Постоянная |
С* зависит |
||||||
только от т, п. |
Из |
неравенства |
(11.78) и леммы |
6 гл.1 следует |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
существование |
постоянной С |
такой, что для g£ W™(BR (хп)) при |
||
Р > 1 |
|
|
|
|
|
|
l l * H v w < |
c ' / ? ' l | * i l < ( w - |
( П - 7 9 ) |
Первое |
слагаемое в (11.77) оцениваем по (П.79), при р = 2Кр: |
|||
{^Г f |
[Vr (х) ф4 (x)fdx] X <С |
£ { j |Z)a [ l / ^ ( x ) V ^ ) ] | p £ t e j ' . |
(И.80) |
|
Я |
|
|a|<m Я |
|
|
Далее продолжим по (11.72) |
|
|
||
|
|
Г |
s |
|
|
|
\\Da[V2p |
(x)^lp~(x)]\pdx< |
|
|
|
a |
|
|
|a|<m |
Q |
0<|p|«la| |
(11.81) |
|
|
|
|
|
106
Применяя к стоящим в правой части (11.81) членам с |В| — т не равенство (11.76), получим
I |
l\Da[V2p(x)^2p |
(x)f |
d* < |
|а|<м Q |
|
|
|
< С I |
{i-)n\VJ+n(x)^~n(x).\Dau\^'dx |
+ |
|
0<|a|<m |
fi |
|
|
+ C ( i r ) |
U ^ J ^ |
|
(П.82) |
Последнее неравенство вместе с неравенствами (11.80), (11.81) дает оценку первого слагаемого правой части (11.77) через
pl>("2~ + п + т ~ Ь - у — " ~ m ) f -
Для оценки второго слагаемого сначала преобразуем его, при меняя (11.72):
|
|
[vr{x)T\>s(x)\Dau\|a| |
dx |
|
||
|
|
Q |
|
|
|
|
|
< C j | D n { l / " |
(x)i|> |
" (x)}\wdx |
+ |
||
|
|
О |
|
|
|
|
+ c(if"~U |
|
0<lP|<|a|£ |
Й |
|
^m-^(x)tf-™(x)\\D*u\^+-Jr}dx |
|
Повторное |
применение |
этого неравенства дает |
|
|||
|
|
jV |
|
(x)^s(x)\Dau\Wdx<, |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
i r rt(m— l)(lu|—IPI) » |
|
|
||
<С |
£ |
(-5") |
|
)\I?{V'^{x)tfM)(x)}\® |
dx + |
|
0<|P|«|a| |
|
|
П |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
r (a, p) = M [r + |
(|a| - IPI) (m - 1) n] - |
1, |
|||
|
s |
( a - P) = |
-7J- [s — (|o| — |p|) (m — 1) л]. |
107
Первый интеграл правой части (11.83) оценим по неравенству (11.78)
'№ {Vriafi) |
(x)^afi)(x)}\Wdx< |
|
т |
< С Е { J \Dy lVrlaS) |
(х) у«а*> (x)]\pdx) IPI < |
+ ( F ) " E j F P R T A , P ) + N (*)V < M < E ' W - N (x) p ^ d x } ^ . (11.84)
0<|-V|<m Q
Последнее неравенство получено из (11.82). Замечая, что рг(а, Р)<
IPI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< — |
г + ( т — 1 ) 2 л , |
и |
применяя неравенство |
Гельдера, |
из нера |
|||||
венств |
(11.80), (11.82)—(11.84) получаем следующее |
утверждение. |
||||||||
Лемма 12. Пусть |
и (х) £ W™(Я) — обобщенное решение |
уравнения |
||||||||
(11.63) и пусть выполнены предположения |
теоремы 4. Существуют |
|||||||||
положительные постоянные тх , т2 , |
зависящие лишь от т, п, такие, |
|||||||||
что |
для |
произвольных |
чисел |
г, s, |
удовлетворяющих |
неравенствам |
||||
г > |
1, ттг < s < С0г |
и для |
произвольной |
функции |
г|э (х), |
принад |
||||
лежащей C^(BR(xJ)) |
и удовлетворяющей условиям |
(11.71), |
выполнено |
|||||||
неравенство |
|
|
|
|
|
|
at—1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.85) |
Из неравенства (11.85) аналогично § 6 гл. I получим непрерыв |
||||||||||
ность и (х) в точке |
х0. |
0, 1, 2, . . . |
|
|
|
|
|
|||
Определим при k = |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
^ = (^гг)" + |
^ 1 . |
|
|
|
sh = / ^ r r ) * 2 / " ' c i — m T i
и пусть
Неравенство (11.85) перепишется в виде
10S
(В— |
постоянная, |
зависящая |
лишь |
от т, п), |
откуда |
|||
|
. L h < |
(Co)-Tl) e ~ ' 5 ( e - " |
Ll |
|||||
и, следовательно, |
при всех k |
|
|
|
||||
|
|
|
{Lh)rk^-\{L0 |
|
+ \\ |
|
Ш.87) |
|
где т0 зависит только от /я, п. Сейчас покажем, |
как выбрать ц (/?), |
|||||||
для |
того чтобы значение L 0 |
было |
ограниченным |
(не зависящей от |
||||
R постоянной) |
|
|
|
|
|
i_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ВЯ<*0) |
|
|
|
|
|
+ |
|
£ |
j |
V m x ' ( x ) | D a « | | a l |
dx< |
||
|
|
|
0<|a|<m B ^ U 0 ) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
B«(*o> |
|
|
I |
|
|
|
+ |
|
£ |
J |
VnXi(x)\Dau\w |
dx< |
||
|
|
|
0<|a|<m |
В д ( х 0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\Dauf]dx |
|
|
|
R<*0> |
|
) |
0<|a|<m Вд'(*( |
|
|
|
|
|
BR\x0) |
|
) |
0<|a|<m Вд(х0 > |
|
Второе неравенство здесь получено из леммы 7, возможность при менения которой следует из выбора V (х). Таким образом, доста точно взять
r\(R) |
= minjl,|7 j |
\yu\ndx\K |
+ |
|
+ |
£ |
j \DaupdxjmXl^ |
I . |
|
|
0<|a|<m BR{x0) |
J |
I |
|
Заметим, что т| (R) стремится к нулю при R, |
стремящемся к нулю. |
|||
Из неравенства |
(11.87) получим |
wQ |
|
|
|
|
*евл и„) |
|
|
|
|
vraiТmax V (х) |
|
|
« 9