книги из ГПНТБ / Мяздриков О.Я. Дифференциальные методы гранулометрии

Величина изменения сопротивления, очевидно, будет зависеть от формы частицы. К наиболее простому ва­ рианту решения приходим, приняв для частицы цилинд­

A * = ( d ( A * ) « * g ^ ( l + 4 > f ) , ' (71)

о

где V — объем частицы,

50

Практически случай L<.l не представляет интереса. Действительно, метод должен обеспечить преобразова­ ние размера в электрический сигнал для частиц, разме­ ры которых лежат в области единиц н десятков микро­ метров, что достаточно сложно.

Для сферической модели частицы площадь попереч­ ного сечения а будет определяться выражением

о

Подынтегральная функция этого выражения указы­ вает на сложность зависимости величины AR от разме­ ров частицы. Впрочем, к аналогичному выводу приходят, рассматривая и формулы (68) и (69). Поэтому целесооб­ разно ввести дополнительные допущения. Так, для

В гл. I отмечалось, что преимущественное примене­ ние получила аппроксимация размера частицы произ­ вольной формы некоторым эквивалентным радиусом гэ ; поэтому выразим объем V как объем некоторой сферы

Подставляя значение ijj и площади поперечного сече­ ния £ канала, для скачка сопротивления AR будем окончательно иметь

6 4 p 0 f l - b L '

Таким образом, в результате приходим к зависимо­ сти того же вида, что и в работе [56], но полученной со следующими допущениями:

1. Канал, по которому перекачивается суспензия, моделируется цилиндрическим проводником, плотность тока в котором принимается постоянной.

2. Эффективный объем частицы при прохождении канала моделируется объемом эквивалентного цилинд­ ра, который имеет то же сопротивление, что и регистри­ руемая частица, а электрическое поле идеально его об­ текает, не создавая мертвых зон.

Следовательно, величина изменения сопротивления прямо пропорциональна объему частицы или, что то же самое, кубу ее эквивалентного радиуса. Из выражения (76) следует, что величина изменения сопротивления является и функцией сопротивления электролита р0 . Очевидно, что при прочих равных условиях изменение сопротивления будет максимальным при определенном соотношении между р0 и р. Найдем это соотношение, для

Таким образом, максимальное изменение сопротив­ ления будет в том случае, когда удельное сопротивление ро электролита будет вдвое меньше удельного сопротив­ ления р анализируемой частицы. Отметим, что для по­ давляющего большинства практических случаев это требование невыполнимо, так как сопротивление элект­ ролита должно быть пли слишком малым (проводящие частицы), или, наоборот, весьма большим (диэлектри­ ческие частицы). В первом случае приходят к схеме параметрического генератора с малым внутренним сопро­ тивлением. Следовательно, для данных значений токов требуемые значения напряжений будут относительно не­ велики. А в цепи, элементом которой является провод­ ник второго рода—электролит, неизбежны флуктуации тока вследствие поляризационных процессов на элект-

52

родах, процессов электролиза и других причин, т. е. воз­ никновение шумов. То же самое происходит и при боль­ ших внутренних сопротивлениях источника.

Если учесть, что диаметр D канала достаточно мал, то очевидно наличие в нем сильного электрического по­ ля. При каждом акте прохождения частицы по каналу изменяется плотность тока / в канале при постоянном значении напряженности поля Е или, наоборот, изменя­ ется напряженность при сохранении неизменной плот­ ности тока. Первый режим имеет место при малых зна­ чениях внутреннего сопротивления источника напряже­ ния и относительно небольших сопротивлениях нагрузки.

ния с достаточно большим внутренним сопротивлением или увеличить сопротивление нагрузки. Анализ этого варианта приводит к результатам, аналогичным первому варианту.

Следует отметить, что прохождение электрического тока в потоке проводящей суспензии служит примером сложной электрической цепи. Такая цепь не поддается точному анализу простыми методами, и поэтому полу­ ченные зависимости носят приближенный характер, од­ нако они достаточно удовлетворяют большинству прак­ тических случаев.

В такой цепи сопротивление датчика зависит от ве­ личины протекающего тока, т. е. канал представляет собой типично нелинейный элемент. Качественно это связано с процессами, которые имеют место при прохож­ дении постоянного тока через растворы электролитов. Та­ кое рассмотрение приводит, в частности, к выводу о необходимости выбора величины напряжения на кондуктометрическом датчике, превышающем критическое напряжение поляризационной кривой.

3. ФОРМИРОВАНИЕ ИМПУЛЬСНОГО СИГНАЛА

Как известно, в основе кондуктометрического метода лежит скачкообразное изменение такого параметра электрической цепи, как это сопротивление. Допустим, что скачок сопротивления имеет большую крутизну. Эквивалентная схема прохождения частицы по такому каналу может быть представлена схемой рис. 13; она

53

охватывает оба варианта соотношений между удельны­ ми сопротивлениями ро и р. Действительно, если ро>р, то моменту прохождения частицы будет соответствовать замыкание ключа k: при р о < р — его размыкание.

Когда канал заполнен чистым электролитом, по нему

сопротивление возрастает. Тогда потенциал точки А ока­ жется равным

а следовательно, изменяются и электродвижущие силы

54

Обычно Д/?<С/?Ц +Л?д, поэтому

Итак, скачок напряжения Uc на сопротивлении на­ грузки, возникающий при прохождении частицы по ка­ налу, пропорционален третьей степени радиуса частицы; току, протекающему в цепи канала, и обратно пропор­ ционален четвертой степени его диаметра.

Основные элементы теории электропроводности ге­ терогенных сред, изложенные выше, касались простей­ ших моделей; цилиндрической и сферической, причем в первом случае оговаривалось, что оси цилиндров перпендикулярны вектору напряженности электрическо­ го поля. Но даже для цилиндрической модели, когда угол отличается от 90°, решение, пока еще не найдено. При­ менительно к рассмотренной схеме преобразования размера в амплитуду электрического импульса угол меж­ ду главной осью регистрируемой частицы и вектором напряженности электрического поля может иметь раз­ личные значения. Более того он может изменяться при прохождении частицы по каналу. Поэтому формула (88) является известным приближением к действительной картине процессов, так как в реальных условиях скачок напряжения будет зависеть не только от объема части­ цы и ее формы, но и от ее ориентации по отношению к осп канала. Поэтому выражение для изменения сопро­ тивления канала в момент прохождения по нему частицы следует записать в виде

(89)

55

Эта формула отличается от формулы (76) наличием сомножителя z, называемого фактором электрического поля. Он является сложной функцией величин: фактора f формы и ориентации частицы, отношения удельных со­ противлений дисперсионной среды ро и дисперсной фазы ро, а также объемной концентрации дисперсной фазы р.. Для фактора электрического поля найдено следующее выражение [32]:

Приведенная формула носит упрощенный характер, так как в ней не учитывается влияние параметров вход­ ных цепей последующих элементов схемы, например усилителя, однако с точки зрения основной задачи это несущественно.

Приведем некоторые данные, позволяющие оценить числовые значения наиболее характерных параметров. На рис. 14 показаны зависимости сопротивления канала от величины протекающего тока /о (рис. 14). Удельное сопротивление электролита принято равным 50 Ом-см.

ее движения, асимптотически приближаясь к некоторо­ му пределу. По некоторым данным [32], электропровод­ ность может возрастать до 20%- По-видимому, это явление находит свое объяснение в соответствующей ориентации частиц гидродинамическими силами.

На рис. 15 показан характер зависимости относитель­ ного изменения сопротивления канала AR/R от его диа­ метра D. Рассмотрение графика показывает, что сопро-

56

тивленне канала представляет собой нелинейную величину. Это необходимо учитывать при выборе опти­ мального электрического режима.

Семейство зависимостей скачка напряжения от ра­ диуса частицы при различных значениях диаметра кана­ ла приведено на рис. 16. Рассмотрение графика показы-

R.kOm

вает, что динамический диапазон сигналов, возникаю­ щих при прохождении частицы по каналу, достаточно широк. Действительно, при изменении диаметра частицы

впределах одного порядка сигнал на выходе изменяется

впределах трех порядков. Это не является неожиданно­ стью и хорошо согласуется с формулой (91).

Очевидно, что в момент, когда частица покидает канал, на выходе схемы возникает скачок потенциала противоположного знака и тем самым завершается фор­ мирование импульсного сигнала. Учитывая это, формулу

(91)можно рассматривать как выражение, связывающее

амплитуду импульса напряжения выходного сигнала и радиус частицы.

Таким образом, амплитуда импульса пропорциональ­ на кубу радиуса. Однако для последующей электронной схемы, решающей задачу усиления, анализа и регистра-

57

ции этих импульсных сигналов, существенны и такие параметры этого сигнала, как форма импульса, харак­ тер его фронта и среза и активная длительность. В связи с этим возникает необходимость использования пред­ ставления об эффективном, пли критическом объеме, который включает как объем собственно канала, так и значительные объемы электролита вне его.

Резкое возрастание плотности тока перед входом в канал (рис. 17) обусловливает начало изменения со-

Uc.hB

противления цепи еще до того, как частица входит в объ­ ем канала L . Следовательно, в принципе схема может зарегистрировать импульсный сигнал, как только изме­ нение плотности тока будет достаточным. Граница этого явления для данной полидисперсной системы будет там, где самая большая частица этой системы создает им­ пульс, меньший амплитуды импульса от самой малень­ кой частицы при ее нахождении в капилляре. По существующим данным [49], критический объем в 3 ра­ за больше собственного объема капиллярного канала:

где L — длина канала (рис. 17).

Длительность импульса будет определяться време­ нем прохождения частицей критического объема. Из-

58

вестио, что градиент давления пропорционален ско­ рости:

дх

Коэффициент пропорциональности а имеет размер-, иость сопротивления потоку. Вязкость среды обусловли­ вает параболическое распределение скоростей в канале; максимум скорости находится на его оси. Аппроксими­ руя принятый закон распределения скоростей по радиу­ су канала выражением

(94)

где Rk — радиус канала, получаем следующее значение

находим Ощах- Здесь 1-1—коэффициент вязкости среды. Приняв dx—L, получаем, что время прохождения частицы по каналу определяется только перепадом дав­

ления в нем.

Дадим числовую оценку времени прохождения части­ цы по каналу. Примем, что счетная концентрация час­

объема составит примерно 60 с. Тогда средняя скорость движения жидкости будет порядка 2 м - с - 1 . Следова­ тельно, длительность плоской части импульса прибли­ зительно будет равна 5- Ю - 5 с.

При вхождении частицы в пределы критического объема скорость ее изменяется от некоторого небольшо­ го значения до средней скорости в канале, при выходе — наоборот. Законы изменения скорости частицы на этом участке и картина электрического поля определяют форму и длительность фронта и среза импульсов. Точно учесть эти факторы аналитическим путем сложно. На

59