книги из ГПНТБ / Мяздриков О.Я. Дифференциальные методы гранулометрии

тального материала убеждает, что в реальных порошках данного состава форма частицы не зависит от их массы: частицы различной массы геометрически примерно по­ добны. Следовательно, их масса т, объем V, площадь поверхности 5 и размер г связаны в общем случае соот­ ношениями:

Под дисперстностыо порошка понимают характери­ стику крупности частиц, составляющих данный порошок. Эта характеристика может быть выражена различно: средним размером, средней поверхностью, массой, функ­ цией распределения и т. д. Наиболее исчерпывающей характеристикой является функция распределения, ко­ торая может быть дана по массе частиц, площади по­ верхности частиц и их размеру. Функция распределения является важнейшей характеристикой п в прикладном значении, определяя области, в которых та или иная дисперсная система может быть использована. Поэтому нахождение функции распределения по тому пли иному параметру является основной задачей гранулометрии.

2. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТИЦ

Функции распределения могут быть заданы различ­ ными способами. Так, молено задать относительную до­ лю dn числа частиц, эквивалентные радиусы которых лежат в пределах значений от г до r-\-dr:

о

В этом случае кривая, выражаемая функцией п(г), носит название дифференциальной кривой распределе-

П

нйя или кривой плотности распределения размеров1 частиц.

Более точно эта функция может быть определена как кривая счетного распределения размеров.

Площадь, ограниченная участком кривой счетного распределения, осью абсцисс и двумя вертикалями к ней в любых двух точках п и г2, определяет долю числа час­ тиц, эквивалентные радиусы которых заключены в (пре­ делах значений от Т\ до г2 .

Аналогично для случая кривой весового распределе­ ния, определяющей весовую долю dg частиц с радиусом от г до r-j-dr, можно написать

при условии, что

где у—-плотность вещества частицы;

V— средний объем частиц, и если в полидисперс­ ной системе отсутствуют агрегаты, то весовое распределение g(r) тождественно объемному распределению V{r).

12

Функции счетного it весового распределения наибо­ лее употребительны, но иногда используются функции распределения по массе или объему частиц. Первая из них показывает, какая счетная пли весовая доля частиц имеет массу, лежащую в пределах от т до m-\-dm\ вто­ рая объем, лежащий в пределах от V до V-\-dV.

В ряде случаев в зависимости от схемы аппаратуры или при решении некоторых технических задач удобнее применять не дифференциальные, а интегральные кри­ вые распределения. Последние показывают, какая доля частиц по счету или по массе обладает радиусом боль­ шим (или меньшим) данного значения г.

Очевидно, что соответствующие функции "распределе­ ния получаются для счетного распределения путем ин­ тегрирований выражения (2) в пределах от г до оо пли от г до 0:

Вид дифференциальных и интегральных кривых рас­ пределения представлен на рис. 1 и 2.

Ситовые и седиментационные методы анализа по са­ мой своей сущности и аппаратурной реализации приво­ дят к функциям распределения, описываемым выраже­ ниями (12) и (13). Методы, подлежащие рассмотрению ниже, предусматривают получение дифференциальных кривых распределения. Именно они позволяют получить более точные результаты анализа и обусловливают зна­ чительный выигрыш во времени, затрачиваемом на его проведение.

13

Использование экспериментально полученных кри­ вых распределения в ряде случаев неудобно. Поэтому целесообразно представить их в виде тех или иных ана­ литических выражений с минимальным числом коэффи­ циентов. Такие аналитические аппроксимации облегча­ ют экстраполирование, вычисление по данным анализа средних характеристик, например среднего эквивалент­ ного диаметра п т. д.

При анализе дисперсности имеют дело с достаточно большим числом частиц, -поэтому при таких аиалптпче-

ских аппроксимациях может быть привлечен аппарат дифференциального и интегрального исчисления. Дей­ ствительно, применительно к дисперсной системе с чис­ лом частиц п, где п достаточно велико, под dn можно понимать их очень малое число; размеры частиц в пре­ делах этого числа отличаются не более чем на dr. Функ­ ции распределения по размерам имеют, как правило, один четко выраженный максимум с пологим спадом

вобласть более крупных частиц и более крутым спадом

вобласть более мелких частиц [1, 2]. Сложность про­ цессов образования дисперсных систем и разнообраз­ ность технологических приемов их получения затрудняет теоретический вывод формул для функций распреде­ ления.

Для продуктов разрушения твердых материалов предложен логарифмически нормальный закон весового распределения частиц по их размерам:

Для дифференциальной кривой распределения числа

15

Отсюда получаем выражение для постоянной норми­ ровки:

понимается распределение площади поверхности частиц

марный объем или массу всех частиц исследуемой полндисперсной системы.

При вычислении по экспериментальным данным па­ раметров логарифмически нормального распределения используются обычно вероятностно-логарифмические координаты, при этом графики представляются прямы­ ми линиями. Причем для кривой распределения по оси абсцисс откладывается in г, а по оси ординат — соответ­ ствующие значения функции Гаусса от In г.

данного Р(г), получим

Медиана I по своему определению равна такому раз­ меру частиц, для которого р ( | ) = 0 , 5 . Если известно зна­ чение медианы, то дисперсия находится по любой точке

кривой, для которой р(1) ^ 0 , 5 , т. е. In — = ^ = 0 .

16

распределение, соответствующее конкретным условиям образования дисперсной системы и методу определения распределения по фракциям.

Особую осторожность следует проявлять при исполь­ зовании этих формул для целей экстраполяции распре­ деления по крупности за пределами, обеспечиваемыми тем пли иным экспериментальным методом. Такая экстраполяция не может быть достаточно достоверной, так как вне этой области возможны различные отклоне­ ния, связанные с изменением условий образования, выз­ ванных проявлением дополнительных факторов.

3. ПРЕДСТАВИТЕЛЬНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Задача гранулометрического анализа заключается в получении информации о распределении частиц в си­ стеме по некоторой ограниченной совокупности частиц — пробе. Следует заметить, что при всех дифференциаль­ ных методах гранулометрии величина пробы всегда ограниченна. Иными словами, генеральная совокупность числа частиц N, представляющая собой данную полиди­ сперсную систему, всегда значительно больше числа ча­ стиц я, составляющих счетный объем проанализирован­ ной пробы.

Предположим, что область изменения размеров раз­ бита на М интервалов, при этом относительное числа частиц t-того интервала — р; [7]. Число частиц /-того интервала размеров в пробе будет случайной величиной

Если данная случайная величина будет подчиняться нормальному закону распределения, то дисперсия этой случайной величины определится выражением

Для нашего случая дисперсия числа частиц /-того интервала размеров будет соответствоват!? квадрату

18

среднего квадратичного отклонения (погрешности) of математического ожидания, отражающего истинную картину распределения частиц по размерам. Следова­ тельно:

Следовательно, если задано относительное среднее квадратичное отклонение, может быть найдено необхо­ димое число частиц в пробе:

И, наоборот, если известно число частиц в пробе, то мо­ жет быть найдено ожидаемое среднее квадратичное от­ клонение:

Выше указывалось, что результат анализа получает­ ся в виде кривых распределения. Такое квантованное представление о распределении частиц по 'размерам яв­ ляется также источником искажения информации. Из­ вестно [25], что для передачи кривой распределения, соответствующей нормальному закону распределения, исходя из условия допустимой погрешности аппроксима­ ции необходимо М участков квантования