книги из ГПНТБ / Доценко С.В. Теоретические основы измерения физических полей океана

ленной глубине с дрейфующего

судна,

при

нахождении

прибора

на

горизонтах буйковой станции

пли на

придонном устройстве (см.

§

1 гл. I ) . Работа измерительного прибора

во всех этих случаях

описывается одинаковыми уравнениями,

а от

методики

измерения

Найдем спектр на выходе измерительного

прибора, буксируе­

мого в однородном или локально однородном

поле, и исследуем его

связь со спектром измеряемого поля [19].

нечной длины, не л е ж а щ е й в

плоскости

слоев,

полностью характе ­

ризует все поле. Т а к а я модель

может быть

как

детерминированной,

т а к и случайной.

Другой моделью физического поля,

в

рамках которой можно

нее модель), либо осуществления многоточечных измерений.

Н и ж е

мы ограничимся изучением .измерения спектральных

характеристик

изотропных и локально изотропных полей.

Поскольку л ю б а я методика измерения дает возможность иссле­

довать реализацию поля только конечной протяженности,

то

и ре­

ализация процесса на выходе прибора

т а к ж е имеет

конечную

дли­

тельность. М о ж н о считать,

что прибор

производит

измерение

поля

на реализации бесконечной длины, а для получения

статистических

характеристик поля использовалась часть реализации

его

выход­

ного сигнала, имеющая

конечную

протяженность. В

дальнейшем

будем предполагать,

что

прибор

находится во

взаимодействии

с трехмерным случайным

полем бесконечное время, и будем

изучать

р е а л и з а ц и ю

его случайного одномерного

выходного сигнала,

имею­

щую т а к ж е

бесконечную

протяженность.

Погрешности оценки вы­

нечной длительности рассмотрены во многих работах

[40, 57, 67, 84]

и здесь не рассматриваются . Такой подход правомерен, если дли­

тельность измерения значительно превышает максимальный

период

колебаний поля, интересующий исследователя, и избавляет

от не­

обходимости

получения оценки спектра трехмерного

поля

по его

реализации

конечной протяженности, заменяя ее хорошо

извест­

ными оценками

спектра

одномерного

случайного

процесса.

Получим

выражение

для спектра

сигнала

на

выходе

прибора,

.движущегося

по некоторому закону г (г) в однородном «заморожен ­

ном» поле. Зависимость

случайной

составляющей

выходного си­

гнала Y от времени дается выражением (2.4)

V(t)

= §X\r(t—z)-p;

t-z\H{p;

*)d?dt,

(4.1)

где для простоты буквой

X

обозначена только

случайная

состав­

л я ю щ а я измеряемого

поля, имеющая

нулевую

постоянную

состав­

л я ю щ у ю . Из

формулы

(4.1)

в силу

последнего

замечания

следует,

что и постоянная составляющая выходного сигнала

Y(t) =

\x\r(t-z)-p-

t—i\H(p\

-)dPdz=0.

Н а й д е м корреляционную функцию

выходного

сигнала BY (t,

ti).

Используя (4.1),

имеем

By(t,

tx)

= V{t)

К (*+*,) =

= ^X[r{t—z)-?;

<—cj

+

с , ) - р , ;

M - * , - - , | X

Х Щ р ;

^ ) Я ( р , ;

z,)dpdp,dzdzx.

Осредняемое

выражение,

стоящее

под знаком

интеграла,

есть

положения

о «замороженности»,

не зависит

явно

от временных

сдвигов х, Ti и ti,

т. е. имеет вид В [г (t — т) — р, r(t+ti

— t i ) — р,].

Поскольку

поле

считается

однородным,

она

является

функцией

только

разности

своих

аргументов,

а

именно, B[r(t

+

tv — t i ) —

— г(^ — тг) -f-(р — Pi)l-

Следовательно,

корреляционная

функция

выходного сигнала прибора

By(t,

* , ) = | J £ [ r ( ^ 1

- - c 1

) - r ( * - - ' 0 +

( p - P i ) I X

Х Я ( р ;

z)H(px-

zx)dpdpxdzdzx.

В ы р а ж а я корреляционную функцию поля через

его трехмерный

спектр G{a)

с помощью соотношения

(1.14), получим

By(t,

0=|{|я(р;

•с )Я(р 1 ; т , ) С ( а ; t,

tx; z,

zx)d?dPldz

dzx] X

Х О ( * ) е х р [ / а ( р - р , ) | Л * .

(4.2)

Величину

С (a;

t,

^ ) = е х р { У а [ г ( / + / , - м ) - г ( / ? - ^ ) | Ь

зависящую только от вида движения

прибора

в среде,

будем назы­

вать

функцией движения . Заметим, что эта функция

не совпадает

с функцией движения, введенной в гл. I I .

r(t)=v0t

+ r0

При буксировании с постоянной

скоростью

и

С (a;

t,

х, т , ) = е х р [y'av0(-c — +

(4.3)

т. е. функция

движения зависит не от времени

t, а только от прира­

щения времени г( . Следовательно, и корреляционная

функция вы­

ходного сигнала зависит

т а к ж е

только от tit

а

выходной

сигнал

представляет

собой

стационарный случайный

процесс.

П о д с т а в л я я

(4.3)

в (4.2)

и учитывая

(1.10), получим его корреляционную функ­

цию

Вг

(*,) =

J Ма

(a; av 0 ) G (a) exp (yav 0 tjda,

(4.4)

где энергетическая

спектральная

характеристика

прибора

Я

(ее; со) г.

(4.5)

Как известно, энергетический спектр сигнала на выходе

прибора

связан с корреляционной

функцией

соотношением

со

СО

Подстановка сюда формулы

(4.4) и интегрирование

по ti д а ю т

5(ш) =

| Ж ( ? ( а ; av 0 ) G (а) о (av 0 —со)

da,

Выберем

систему

координат

(io, jo, k0 ) таким

образом,

чтобы

вектор v 0 совпал по направлению

с координатной

осью io. При этом

со

a i =

и

VQ

5 ( ( 0 ) = = - ^ - J ^ f

« ( - ^ - ' a 2 . а з ! ш ) ° ( - ^ > a 2 , o-3)da2da3.

(4.6)

Y(f) = jX\(t—i)v0-p\H{p;

т ) с ? р Л ,

(4.7)

inY(tx) = ]\X\{t+tx—i)va-?\-X\{t—z)

V 0 - P J J / / ( P ;

^)d?d--.

Осредняемая величина, стоящая

под интегралом, представляет

Поэтому ту

(/i) =CiVaU.

Отсюда может быть определена

величина

проекции вектора ci на скорость vo.

Найдем

структурную

функцию

выходного

сигнала

прибора.

С учетом формулы (4.7)

получим

DrVd=

] { X \ { t ^ t , - ^ )

v Q - ? \ - X \

{ t - ^ ) v a -

? \ } X

X [X | ( Н - Л - м) V o - p , l - X [ ( * - • : ) V o - p . l l X

_ 2 £ > [ ( T - T I ) V 0 + ( P - P I ) ] } .

В ы р а ж а я

входящие сюда структурные функции через их спектр

с помощью

соотношения (1.17), после несложных преобразований

получим спектральное представление этой величины

2

cos(ov 0 <i)]cos{[(x — x , ) v 0 + ( p —p,)la} G (а) da.

Dy

(rf,)=2 J [1 — COS ( a , ^ i ) ] Ме{*и

о 2 ,

a3 ;

a,l/0 ) X

X G ( j | ,

«о, a3 ) rfa, rfa2 rfa3.

З а м е н я я

в полученном

равенстве aiWo = co

и

сравнивая его

с (1.19), найдем, что спектр сигнала

на выходе прибора в этом слу­

чае т а к ж е дается формулой (4.6).

Следовательно, спектральные

нии однородного

поля, и все выводы, полученные

в

последующих

п а р а г р а ф а х этой

главы, в равной степени применимы

к измерению

как изотропных, так и локально изотропных полей.

da2 da3.

Д л я

приборов, состоящих

из безынерционного датчика и инер­

ционной

измерительной части,

выполняется условие разделения

ния энергетической спектральной характеристики Ме(и;

со) =

=Ма(а)Ма

(со), где:

5 ( ш ) = М и И 5 д ( и > ) ,

(4.8)

где спектр сигнала на выходе датчика

da2da3.

(4.9)

Соотношение (4.8) представляет собой

известное в ы р а ж е н и е

со

/ / .0

\2

/.of-/.,

(4.10)

V ? n H = 2 * j ' A / ( ^ ,

v.) О

где весовая

функция

м[-^-

*) = -яг}М-%-'

z c o s c ?

'

' A S [ n ( ? ) d < ?

( 4 Л 1 )

целиком

определяется только

свойствами

датчика .

Подставляя

в формулу

(4.11) соотношение

(1.15), найдем

со

I '

2

(4.12)

Отсюда

после

интегрирования по

частям

и учета

равенства

м(^——,

oj =/Иа^—^—, 0, oj

получим

связь

выходного

спектра

с одномерным спектром поля в виде

%SA»)=MA(-^,

о, о)

dx.

(4.13)

энергетическая спектральная характеристика Ма[——,

0, 0) , вхо-

д я щ а я

в это слагаемое, зависит только

от волнового-

числа

cti =

=

,

связанного с указанной прямой,

но не зависит

от а2

и а3.

Vo

Второе

ж е слагаемое дает поправку к

этому спектру,

зависящую

от того, каким образом датчик производит осреднение

поля

по ко­

5 Заказ № 516

65

Vo

Поэтому,

если з а р а н е е

неизвестен характер

поведения

Gi (а),

Gi (а)

спектра

д л я

нахождения

по измеренному 5 д (со)

необ­

ходимо

решать

интегральное уравнение (4.13). Аналитически

полу­

чить это решение затруднительно, а

численные методы,

как

пра­

одномерного

спектра

Gi (а)

возможно

представление, аналогичное

(4.8)

v0

где

эквивалентная

спектральная

характеристика

датчика

Мэкв (—)

*ля данного

вида

спектра

поля имеет вполне

опреде­

\

V0 I

ленную форму, хотя и меняется при его изменении.

Обозначая отношение второго слагаемого формулы (4.13) к од­

номерному спектру поля к а к

ч ( ^ ) - ^ у

J

'

'

)

0

1 ^

УШ^]**-

< 4 Л 6 )

представим

эквивалентную

спектральную

характеристику

датчика

в виде

Мэкв[-?~1===Ма

{-^-

,

0,

о)

— vj ^

) .

В дальнейшем

в ка­

высокочастотных

составляющих

гидрофизических

полей спектр,

подчиняющийся

«закону

пяти

третей» Gi

(а) =Саг!'1з,

где

С — кон­

станта, не представляющая для нас интереса. При

этом

формула

(4.15) принимает

вид

со

щ (v)=v'''J F

Х)

(v* +

. X ? r V "

d,X,

где v =

соа

va

Заметим, что

limrj ( v ) = 0

и

Hmrj

(v) =*M0 ( —

,

0, 0 ) .

Это no-

v-+0

v->-co

\ Vo

I

зволяет

сделать

следующие выводы

относительно

эквивалентной

спектральной характеристики

датчика.

1. В

области

низких

частот,

т. е. при

- ^ - < С 1 ,

эквивалентная

V0

спектральная характеристика датчика Мэкъ(

) мало отличается

от характеристики Ма\

——,

0, 0 ) .

\

Vo

I

соа

2. В области высоких частот, т. е. при

^>1,

характеристика

Vo

•Мэкв(-^—j стремится

к нулю быстрее, чем Ма(^

~~,

О, о) •

ничивает полосу пропускания прибора. Это свойство

прибора зало -

ж е но в функции Ма(^—,

0, 0 j .

Осреднение поля

в

плоскости,

перпендикулярной направлению

движения, приводит

к дополни­

жения

зависит от типа датчика и з а л о ж е н а

в функции г) (v).

Выра­

жения

дл я т) (v), как правило, аналитически

не вычисляются,

и для

их нахождения требуется применение численного

интегрирования.

Исследуем преобразование одномерного спектра

поля приборами

Аппаратная

функция

точечного

датчика

(рис.

19 а)

Я р ( р ) =

= 8(р).

Следовательно,

он имеет

энергетическую

спектральную

характеристику

Ма(а)

= \.

Поэтому, согласно

формуле

(4.11),

М

,

а I = 1 , и выражение для

спектра

сигнала

на

выходе та-

Vo

I

кого

датчика приводится

к

виду 5 д ( с о ) = — - — G j ( - ^ — ) .

Он

повто-

VQ

\

vo

I

ряет по форме одномерный спектр поля вдоль оси движения

центра

датчика. При этом спектр

сигнала на выходе всего прибора

5 (со) =

= — — М 0

(co)Gi(——)

отличается

от одномерного

спектра

нали­

цо

\

Оо '

чием

множителя Ма (со). Поскольку, ка к указывалось выше,

прибор

фициент

передачи

Ма (со) = (1 + <»2 7'2 )- 1 , где Г — п о с т о я н н а я

времени

прибора.

Поэтому

окончательное

в ы р а ж е н и е

дл я спектра

сигнала

на выходе инерционного прибора

с точечным

датчиком имеет вид

5*

67

co = aiuo, полоса пропускания

такого прибора

по

волновым

числам,

(т. е. волновое число, при котором коэффициент передачи

прибора

равен 0,5) а.т = — О т с ю д а

следует, что при увеличении

скорости

Vol

измерения необходимо д л я сохранения требуемой полосы ain

умень­

шать постоянную времени прибора.

Из в ы р а ж е н и я

(4.16)

по

измеренному 5 (со)

можно определить

одномерный спектр

поля,

а

следовательно,

п

трехмерный спектр

поля G (а).

г)

д)

е)

ж)

з)

Рис. 19. Датчики различного числа

измерений.

a — точечный;

б,

в — одномерные различной ориен­

тации; г, О — двухмерные различной

ориентации;

е — сферический;

ж, з — цилиндрические

различной

ориентации.

Исследуем измерение

полей приборами

с

одномерными датчи­

чика

с отличным

от нуля размером по оси pi имеет вид Я ( р ь

р2 , рз) =

= Я |

(pi) б (р 2 )б

(р?,), а спектральная характеристика # a ( a )

= # i (ai)

ральная характеристика датчика Ма(аи

a2 , a 3 ) = M i a ( a i )

является

функцией только одной переменной.

Одномерный датчик может быть

различным образом

ориенти­

1.

Д а т ч и к ориентирован вдоль

скорости

движения

(рис. 19

б).

При

этом A f a ( a i , d2 , a3 ) = . M 1 | | a (ai)

зависит

только от

аргумента

ai,

S(»)=-^MA»)MUI.(±)

о , ( - £ - ) .

Следовательно, коэффициент

передачи прибора с таким

датчиком

Ж ( с о ) = у И ш ( с о ) у И 1 | | а ( ^ ) .

Оценим полосу пропускания прибора. П р е д с т а в л я я в полосе про­

пускания энергетическую

спектральную

характеристику

датчика

2

приближенным

выражением

M J ]

| a ( a i ) =

^1

a * ° н j

^ г д

е

0 j

? —

среднеквадратичная

ширина

аппаратной функции датчика,

получим

М (ю)

=

1

1

/

ш

0

(1+«о=7-*)-

2

\

t'o

Отсюда значение частоты, соответствующее границе полосы про­

пускания,

1

(4.17)

7'эфф

где эффективная

постоянная

времени

Т,м,=

ТА*

{3 [ 3 + 2 Л 2 -

У

( 3 + 2 А +

-2А*]

\~ЧГ,

а входящее сюда

А - дается формулой

Л = - ^ — ,

причем

Г , = ] / 3 - ^ .

(4.18)

На рис. 20

представлена

зависимость

™

\~Y~I

"

Область

-<Cl

можно

назвать

областью

инерционности

прибора,

по-

Т

ТМ)нЬ~Т

скольку

в ней

зависит

только

от

постоянной

времени

при­

бора. В ы р а ж е н и е

(4.18)

показывает,

что

прибор работает

в

этой

области

при больших

скоростях

измерения

и

малых

размерах