книги из ГПНТБ / Доценко С.В. Теоретические основы измерения физических полей океана

* ( P i ,

Ра, Рз;

^) =

5 ( Р 1 ) Ч Р а ) Ч Р з ) Ч - 0 .

то

Г = / / 0 ( г ь

го, г3 ;

t),

т. е. аппаратная функция есть реакция датчика

на

четырехмерный

импульс.

Несмотря на то что вывод соотношения

(1.2)

проведен

не строго,

точные в ы р а ж е н и я преобразования, рассчитанные

для

различных

линейных датчиков,

имеют

именно такой

вид,

а

достигнутая при

ных случаях

(гл. V I I ) .

Отметим,

что аналогично может быть введено понятие

аппарат ­

ной функции

всего прибора в целом,

учитывающее

свойства не

только

датчика, но

и инерционность

остальной

части

прибора.

В дальнейшем, если

не

оговорено противное, под Н0 понимается

именно т а к а я

функция.

З а п и ш е м

в ы р а ж е н и е

(1.8) в более компактном

виде. Обозначим

радиус-вектор центра

датчика

r = r 1 i 0 - f - r 2 j 0 + r 3 k o ,

где i 0 l jo, k 0 — единичные орты, г радиус-вектор точки

измерения

Р = Р 1 io -f- Р2 Jo+Рз^о,

элемент

объема

dp=dpi

dp2

dp3.

Тогда

t

К = j dp j X (P ;

*) tf0

(r - Pi t ~ -0 d-s

(1 -9)

— 00

ства,

их характеристики

очень

гибки

и могут изменяться

в

широ­

ких пределах в отличие от датчиков,

имеющих, как правило,

жест­

кие

параметры,

определяемые

конструктивными

требованиями.

Вследствие

этого

часто

оказывается,

что

самым

неуправляемым

элементом прибора является датчик,

а измеритель

и

регистратор

д о л ж н ы рассчитываться на основании его параметров .

Б о л ь ш а я

часть

авторов, занимающихся

гидрофизическими ис­

следованиями, не принимает во внимание свойство датчиков

осред-

нять

измеряемую

величину по пространству, тем самым

молчаливо

предполагая, что датчики являются точечными. П р е д е л ы

примени­

мости этого

предположения, изложенные выше, требуют детального

или

интеграл Фурье) .

П о л я

измеряемой

физической

величины

Х(р;

т)

и аппаратные функции

# о ( р ; т) в

общем

случае

зависят

от трех пространственных координат и времени.

Согласно

теории

кратных

преобразований

Фурье,

функция

четырех переменных

(трех

координат

и времени)

f (pi, рг, рз', х), удовлетворяющая усло­

виям

Д и р и х л е по всем переменным,

может

быть

представлена

в виде

[59, 74]

со

/ ( P i .

Р2> Рз!

*)=~(ЩГ

Щ

d

a i d

a 2 d

a i X

— СО

со

X

J

/ ( « . ,

« 2 ,

« 3

;

w)eHa'9'+°*H+a3fMda,

— со

где

четырехмерный спектр

этой

функции

дается

выражением

со

со

7(«ь а 2 , а 3 ;

№)=I

I J

d P i dpodp3

j

/ ( Р ь Р 2 , р 3 ;

"ОХ

Здесь величина

со есть круговая

частота,

а величины « ь аг, а з —

волновые числа,

связанные

соответственно

с координатами pi, рг

и р3 . Обозначив:

. в

do. = dax

doL2

daz,

м о ж но записать эту пару

преобразовании в векторной форме:

/ ( р ;

-•) =

, r , l v l

( / ( « ;

(о) exp[y(ap-4-tot)]afarfi.

(2r0-i

(1.10)

/ ( « ;

< • > ) = / ( р ; х ) е х р

[ — У (ap +

шт)] ofp fif-c.

Предположим,

что функция

f (pi, р2 , рз; т)

не зависит

от р3 , но

записана в четырехмерной форме. Тогда

7 ( а ъ а 2 . а з ; w ) = J / ( P i - Р_>; Т ) Х

со

X в " у

rfPl

rfP2

J <T; 'a *' tfp3

— 00

00

и, учитывая

известное соотношение

Je- Ja P^p = 2n6 (a), где б (a) —

дельта - функция Д и р а к а ,

найдем

—со

/ ( « ) ,

an, a 3 ; ш ) = / ( а ь

а 2 ;

w )

(<?-3).

Это соотношение дает

возможность совмещать

преобразования

Фурь е функций разного числа измерений.

Отметим, что аппаратные функции приборов всегда

удовлетво­

ряют условиям Д и р и х л е

(в силу ограниченности объема

измерения

и инерционности),

и для них всегда

справедливо

представление

(1.10). Этим ж е условиям удовлетворяют

и многие

детерминирован­

вероятности р ( | )

{N)(X\,...,

XN) не меняется при любых парал ­

лельных переносах точек р ( 1 ) , ... , p(jV>

[44, 51]. В силу однородности

поля

Х(р)

его среднее значение

Х(р)

д о л ж н о быть

постоянным.

При

этом

без ограничения

общности

можно

считать, что Л"(р) = 0 ,

заменяя,

если надо,

исходное

поле

Х(?)

полем

Х'(р)=Х(р)

—

X ( p ) = j e x p ( ; a p ) r f Z ( « ) ,

(1.11)

со

5 ( r ) = j е>""0, («,) da,

(1.14а)

В (г) =

j j J е > <«•'•+•«">> С? (l/"a?+al+as ) da, da2 da3 .

— CO

Корреляционная функция поля на рассматриваемой прямой да­

ется частным случаем этой

формулы

при /*2 = гз = 0, т. ё.

со

£

(r) = j

J j eJa'r

G ( j / a l + a g + a j j ) da, da2

da3 .

CO

Д л я упрощения

этого

в ы р а ж е н и я

перейдем

в

плоскости

(а», а3)

к полярной системе

координат

a 2 = 7 . cos

ср,'

a3 =v. sin «р.

Учитывая, что при этом

элемент

площади

есть

xdxdcp,

и

инте­

грируя по ф, получим

da,

Производя

во внутреннем

интеграле замену

переменной

а =

= Уа^ + и 2 , окончательно

найдем

со Г

со

5 ( r ) = 2 i c

j

e h

' r \ О (a) a. da.

da,.

Дифференциру я эту формулу по ai, получим

в ы р а ж е н и е трех­

мерного спектра через

одномерный

0

(

а ) =

*

(1.15)

4

'

2яа da

однородные случайные поля

Х(р),

все распределения

вероятностей

для разностей значений которых в некоторой совокупности

пар то­

чек не меняются при любом

параллельном

переносе всех

рассмат ­

риваемых точек. Среднее значение

приращений

такого

поля является

линейной

функцией

вектора

г

т (r) =

[ ^ ( p + r ) - ^ ( p ) j = c , r >

где ci — постоянный

вектор,

а общий

второй

момент

приращений

АхХ(д)

поля Х(?)

£ > ( Р 2 - Р , , г ь

г2 ) = [X(р,

+

г,) - X ( Р 1 ) |

\Х(?о +

Го)

- X ( Р 2

) ]

в ы р а ж а е т с я через структурную функцию этого поля

D(r)

=

[X(P+r)-X(P)}*

при помощи равенства

D(p,

г,,

ro) = 4 - [ D (P - r . ) +

^ ( P + r 2

) - D ( p - r , + r o ) - £ > ( p ) ] .

(1.16)

Структурная

функция

однозначно

определяется

своей

спект­

ральной плотностью

(трехмерным

спектром)

G(a)

D(r)=2

j ( l - c o s a r ) G(a)rfa .

(1.17)

Локальн о однородное

поле,

зависящее

только

от г = | г | ,

назы ­

вается локально

изотропным.

поле У (t)

Если

локально однородное

одномерно,

то оно

носит

название

случайного

процесса

со стационарными

приращениями .

Среднее значение его приращений

туЦ{)=^7Щ1^¥Ш=а^,

(1.18)

где di — константа, а структурная

функция

Dy(({)=2

j (1 — coscoz',) 6* (ш) й?ш.

(1.19)

— оэ

Поэтому следует признать наиболее

типичным измерение

поля

д в и ж у щ и м с я прибором и рассматривать

неподвижный прибор

как

частный случай движущегося . Р а з н и ц а

между

движущимся и не­

подвижным прибором существенна только для

датчика прибора,

стве и от времени. Остальные ж е части измерительного

прибора

не­

чувствительны

к положению относительно

исследуемой

среды,

а,

следовательно, и к характеру своего движения в ней.

Н а й д е м связь между величиной измеряемого поля и величиной

сигнала на выходе прибора при условии

произвольного

поступа­

тельного (без вращений) движения прибора в море.

Если датчик прибора неподвижен относительно начала

коорди­

нат, в

которых

рассматривается поле

Х(р;

т), то

нормированный

сигнал на выходе прибора дается выражением (1.9), причем радиус-

вектор

центра

датчика

г есть

постоянная

величина.

При

этом

У (г; t)

является явной

функцией координат

центра

датчика

и вре­

мени.

Если ж е датчик с течением

времени

перемещается в

рассматри­

ваемой

системе

координат, то

радиус-вектор его центра

является

цией только времени. Выясним, как изменится при этом

выражение

(1.9). Д л я этого представим его в иной форме. Считая

г = const,

со

Y=\dr'

j

x { r - r '

;

t-t')H0(r';

t')df.

о

Найдем вид этого в ы р а ж е н и я

в

том случае, когда датчик пере­

мещается в пространстве так, что

радиус-вектор

его

центра меня­

ется по закону г (/).

П р е д п о л о ж и м вначале, что поле и датчик

одномерны. При не­

подвижном датчике

СО

СО

У (г,; 0 = j

dr\\x{rx-r\;

t-t')H0(r[;

i)

dt .

—со

0

Обозначая

x = t —

f,

(2.1)

P i = r i — r [ .

получим

К (г,;

0 =

] dr[]x(Pl;

i)H0(r\;

t)

dt

(2.2)

Пусть центр датчика

движется

по закону n = r i ( 0 -

Координата

поля

имеет вид X (pij т ) , местоположение центра датчика i\ =

= г\

(т), и соотношения (2.1) принимают

форму:

Pi — '"i (*)—>"i=r, (t —

t)—r[.

V(t)=

J

dPl\X[ri(t-^)-Pu

t--.\M0(Pl;

— со

0

поступательного движения прибора

со

y ( 0 = J r f P J > [ r ( / — с ) - р ; t—z\H0(p-

-с) Л .

(2.3)

о

цифика ж е датчиков

заключается

в том, что они

осуществляют

трансформацию функций четырех

переменных

Х{р;

т) в

функцию

одной переменной У (г). Поскольку

измерительный прибор

создается

с целью определения

структуры именно поля

А'(р; т ) , необходимо

V(t) = ^X [г ((-'.)-р;

t-i\H{?;

z)dpdt,

(2.4)

^ ( р ; х ) = (2я)4 § х ( а >

° > 1 ) е х р [ / ( о р + м 1 т ) ] ^ 0 ^ ш 1

YW=~J5K)*~§X(a'

ш 0 е х р { / [ а г ^ - ^ - а р + ш ^ - ю , ^ } X

X

И (р; t ) dp dt da е Ц .

K ( w ) = J

y(t)e~Jal dt.

то отсюда

получим

У(ш)=

1

J -А'(а; ш,) е х р | у

[ar( * — <с) — ap-j-co,* — ш^ —и/!]] X

( 2

i l ) 4

^ с ° ) = - ( 2 ^ г !

^ ^ ( P i ' ^ ' e x p l - y f a p + H J r f p X

X Л

j

exp {J [at (t -

x) + (со, - M ) (t - *)]} dt da

dw{.

Отсюда,

учитывая, что

H{u;

a)) = J / / ( p ; x ) e x p [ - y ( a p + ^)Jrfprft

(2.5)