книги из ГПНТБ / Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов

Из теории рядов Фурье и курса ТЭРЦ известно, что одни детерминированные функции имеют дискретный (линейчатый) спектр, а другие — непрерывный (сплошной).

Дискретным спектром обладают периодические и почтипериодические функции *, непрерывным — непериодические функции. Случайные процессы также бывают с дискретными и непрерывными спектрами. Рассмотрим классы таких стацио­ нарных процессов.

§ 1. СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ С ДИСКРЕТНЫМ СПЕКТРОМ

Отметим сразу, что стационарный случайный процесс бу­ дет иметь дискретный спектр только в том случае, когда в его природе заложена «скрытая периодичность» (например, си­ нусоидальные токи и напряжения со случайными амплитуда­ ми и фазами). Простейшим примером стационарного случай­ ного процесса с дискретным спектром является случайная гар­ моника

g (t) = A cos (a t -Ь ©) ( а — const) .

Спектр ее будет состоять из одной линии.

Возникает вопрос: какой же длины построить эту линию, при условии, что амплитуда А является случайной величиной? Ранее мы вычислили характеристики случайной гармоники

средняя мощность, развиваемая гармоникой на единичном со­ противлении в течение периода, пропорциональна квадрату амплитуды гармоники. Покажем, что средняя мощность слу­ чайной гармоники пропорциональна ее дисперсии. Действи­

Такой функцией является, например, колебание, периодически модулиро­ ванное по амплитуде.

80

а средняя мощность флуктуационной части l{t) равна мате-

О

матическому ожиданию квадрата £2 (t):

N cp = М Ь (t) = Ds .

Дисперсия случайной гармоники равна о'\ поэтому ее спектр имеет вид (рис. 6).

Итак, для построения амплитудно-частотного спектра ста­ ционарного случайного процесса достаточно знать его корре­ ляционную функцию и построить спектр корреляционной функ­

была периодической функцией. Тогда ее можно разложить в ряд Фурье, и, следовательно, спектр корреляционной функции будет дискретен. Если корреляционная функция Кг (т) почтипериодическая функция, то и в этом случае ее можно представить в виде конечной или бесконечной суммы гармо­ ник различных частот, но не целых кратных некоторому чис­ лу со, а значит спектр корреляционной функции будет дискре­ тен. Так как корреляционная функция Кг (т) четная и если она периодическая или почти-периодич^ская функция, то всег­ да можно представить ее в виде

периодическая функция. В разложении (1) коэффициенты при cos а)Ат всегда будут положительны и равны дисперсиям со-

ответствующих гармоник, ибо каждый из этих коэффициентов пропорционален средней мощности соответствующей гармони­ ки — величине положительной.

Если корреляционная функция представима в виде (1), то ее спектром будет совокупность чисел (о|, ш*) (/г= 1, 2,...).

Итак, мы пришли к следующему заключению: для того что­ бы стационарный случайный процесс имел дискретный спектр, необходимо и достаточно, чтобы его корреляционная функция была периодической или почти-периодической функцией.

Остается выяснить, каким условиям должен удовлетворять случайный процесс, чтобы его корреляционная функция была периодической или почти-периодической.

С этой целью обратимся к примерам. Пусть

ванных случайных гармоник различных частот. Очевидно, что

12

где x = t2 — /, .

Процесс E (/) стационарен. Его корреляционная функция

тен. Он представлен на рис. 7.

83

При сделанных допущениях относительно случайных величин

и почти-периоднческой функцией, если кратности между час­

является суммой бесконечного ряда взаимно некоррелирован­ ных случайных комплексных гармоник, причем все ЖЕ* = О, a /ЭЕ* = о2. Этот процесс стационарен в широком смысле, так

как (t) — 0, а

зависит только от разности аргументов fi—/2= т:. Если все wk соизмеримы, то корреляционная функция представлена рядом

представимы в виде конечной или бесконечной суммы взаимно некоррелированных действительных или комплексных случай­ ных гармоник, будет периодической или почти-периодической функцией. Такие случайные процессы называют процессами с дискретным спектром.

Можно доказать, что, если корреляционная функция ста­ ционарного случайного процесса t (0 является периодиче­

84

ской или почти-периодической функцией, то такой процесс представим в виде (2) или (3). Другими словами, всякий ста­ ционарный случайный процесс с дискретным спектром пред­ ставим в виде конечной или бесконечной суммы взаимно не­ коррелированных случайных гармоник с нулевыми средними значениями и дисперсиями of.

Заметим, что если корреляционная функция Kz (т) ста­ ционарного случайного процесса Е; (t) периодическая или поч- ти-периодическая функция, то она не стремится к нулю при

ство используют для обнаружения «скрытой периодичности» случайного процесса.

Итак, стационарные случайные процессы, обладающие «скрытой периодичностью», имеют дискретный спектр. После­ довательность чисел (°l, coft) (£ = 1 ,2 ,3, . .. ) показывает от­

носительный вклад каждой отдельной случайной гармоники в образование случайного процесса. Каждое из чисел of про­

порционально средней мощности соответствующей гармоники,

S5

Ционарный случайный процесс ё (t), ибо по спектру легко вос­ становить его корреляционную функцию

функции стационарного случайного процесса Ё (t). Спектраль­ ная функция определяется равенством

3. Спектральная функция — неубывающая функция.

4. Спектральная функция S (ш) непрерывна слева

^ (ша — 0) = S (wft) .

§2. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

СНЕПРЕРЫВНЫМ СПЕКТРОМ

Пусть стационарный в широком смысле случайный процесс Ё (t) не принадлежит к классу случайных процессов с дискрет­ ным спектром. Тогда его корреляционная функция Ki (х) не будет периодической или почти-периодической, и, следователь­ но, она не представима в виде суммы ряда косинусоид на всей оси Ох. Предположим, что процесс Ё (t) СК непрерывен. Тог­ да, как известно, его корреляционная функция Ац (т) будет непрерывной в обычном смысле при всех г. Если корреляци­ онная функция абсолютно интегрируема на всей оси Ох и в каждом конечном промежутке (а < х <Ь) удовлетворяет усло­

86

виям Дирихле (достаточным условиям разложения функции й ряд Фурье на данном интервале), то она может быть пред­ ставлена интегралом Фурье. В силу четности корреляционной функции, она представима косинус-интегралом Фурье

ОО

Введем обозначение

о

Равенства (2) и (3) представляют собой два взаимно об­ ратных косинус-преобразований Фурье для функций К е (х) и Se (со). Функцию

естественно назвать действительной спектральной плотностью амплитуд.

Определение. Стационарные случайные процессы, корре­ ляционные функции которых представимы интегралом Фурье, называются случайными процессами с непрерывным спектром.

Хотя мы определили стационарный случайный процесс с непрерывным спектром как процесс, у которого корреляцион­ ная функция представима интегралом Фурье, можно доказать, «то функция (т) будет корреляционной функцией стацио­ нарного в широком смысле случайного процесса £ (/) тогда и только тогда, когда она' представима интегралом Фурье. От­ сюда следует, что все СК непрерывные случайные стационар­ ные процессы — суть процессы с непрерывным спектром и са­ ми допускают представление, аналогичное интегралу Фурье. Приведем без доказательства следующую важную теорему.

87

Теорема. Всякий СК непрерывный случайный и стационар- > ный в широком смысле процесс представим в виде

со

Ъ(t) = т* + I" {Zj (ю) cos cot + Z2 (со) sin ш/} d<n , (5) 6

где случайные процессы Z,(u>) и Z2(co) взаимно некоррелированы, имеют нулевые математические ожидания и удовлетво­ ряют условию

Вместо полного доказательства теоремы приведем лишь нестрогие наводящие соображения.

Так как корреляционная функция h\ (т) удовлетворяет условиям Дирихле в любом конечном промежутке, то ее мож­ но разложить в ряд Фурье в интервале (—Т, Т). В силу чет­ ности корреляционной функции, ее ряд Фурье будет иметь вид:

88.

как Ki (т) — непериодическая функция. На основании рассуждений предыдущего параграфа можно предполагать, что

Л= 1

где a k и b k — взаимно некоррелированные случайные величины, причем M ak =* МЬк = 0, D ak = D bk — Dk. Преобразуем ряд Фурье для корреляционной функции, домножив и поделив его

is ■

D Т

и величина — -— представляет собой среднюю плотность энертг

гии, приходящейся на участок Д©4. Обозначим эту среднюю плотность s r (шА) и ряд (6) перепишем так:

А= 1 ш = 1

89