книги из ГПНТБ / Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов

т. е. значение корреляционной функции стационарного процес­ са при т = 0 равно его дисперсии. По этой причине в опреде­ лении 2 мы не требовали условия постоянства дисперсии.

ются стационарно связанными, если их взаимная корреляци­ онная функция AV, (^ь h) зависит лишь от разности аргумен­ тов t2—t\ = т:

К-ц (/х, /■>) — Кат, (t, — А) ~ Кхч (т) .

Очевидно, что для стационарно связанных случайных про­ цессов выполняется условие

стационарно связаны, то, как нетрудно убедиться, процессы

будут стационарными. Для этого достаточно вычислить кор­ реляционные функции процессов Tjj (0 и т)2 (£)•

широком смысле, то они могут и не быть стационарно связан­ ными.

Будем заниматься преимущественно стационарными в ши­ роком смысле процессами и лишь в отдельных примерах указывать на роль стационарности в узком смысле. Поэтому в дальнейшем, не подразделяя каждый раз эти два понятия, попросту будем говорить «стационарный случайный процесс».

Приведем примеры стационарных случайных процессов. Пример 1. Случайная гармоника

§ (t) = A cos {Ы -ф- <р)

60

является стационарным случайным процессом, так как ее ма­ тематическое ожидание /я$ (t) = 0, а корреляционная функция

Ki (У,, t-,) = — о2 cos со (/, — /,) = a- cos шт , (о2 — М Л 2)

(см. пример 2 § 4, гл. I) .

Очевидно, что и сумма некоррелированных случайных гар­

Если стационарный случайный процесс модулировать ка­ кой-нибудь неслучайной функцией <р(£), то получим неста­ ционарный процесс. Действительно, пусть £ (/) — стационар­ ный случайный процесс и ® (t) — неслучайная функция, от­ личная от константы. Тогда процесс

•4 (0 = «р(0 5 (О

не будет стационарным, так как

тУ) (t) = © (t) тс ф const,

(tu /•;) = ? (А) ? (А) /Г? (А - /,) Ф К, ((о - А) •

Пример 2. Случайный процесс £ (0 . рассмотренный в при­ мере 4, § 4, гл. I стационарен. Его математическое ожидание 1Щ = 0, а корреляционная функция

Пример 3. Комплексная случайная гармоника

i (t) = ;е,ш/

является стационарным случайным процессом, так как

61

Сумма некоррелированных комплексных случайных гармо­ ник также будет стационарным случайным процессом.

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Рассмотрим основные линейные операции над стационар­ ными случайными процессами: дифференцирование, интегри­ рование, а также действие произвольного линейного операто­ ра на стационарную случайную функцию £ ((). В главе I все эти операции рассматривались для произвольных случайных процессов. Как будет показано, для стационарных процес­ сов линейные операции намного упрощаются.

Предварительно отметим, что условия СК непрерывности для стационарного процесса значительно упрощаются по сравнению с этими условиями для произвольного случайного процесса. Для СК непрерывности произвольного случайного процесса £ (() при любом t е (— со, оз) необходимо и доста­ точно, чтобы его математическое ожидание mi (() было непре­ рывной функцией при всех /, а корреляционная функция была Kz (ti, t2) непрерывной на прямой t2 = t\. Математическое ожи­ дание стационарного случайного процесса вообще не зависит от времени и, следовательно, будет непрерывной функцией при всех — о з < t < 0 0 , а корреляционная функция зависит толь­ ко от одного аргумента т = ^2—1\.

Поэтому для того чтобы стационарный случайный процесс

Как было показано в § 5 гл. I, для дифференцируемости про­ извольного случайного процесса необходимо и достаточно, чтобы его математическое ожидание было дифференцируемой функцией и существовала вторая смешанная частная произ­ водная от корреляционной функции. Если ? it) — стационар­ ный случайный процесс и

ч .

62

то

dtrii

Ki (z). Можно показать, что для дифференцируемости при всех t стационарного случайного процесса £ (t), необходимо и достаточно существование второй производной его корреляци­ онной функции только в одной точке т = 0 . Тогда K i( z ) бу­ дет дважды дифференцируемой функцией при всех z и, если положить

цесса имеет постоянное математическое ожидание, равное ну­ лю, и корреляционную функцию, зависящую только от одного

63

Займемся теперь интегралом от стационарного случайного процесса. Помним, что для существования интеграла

Т (0 = j g (t, х) ? (x) dx , a

необходимо и достаточно существование интегралов

Пусть теперь ? (x) — стационарный интегрируемый на отрезке [а, Ь] с весом g (t, х) случайный процесс,

Щ (х) = пц, (т,, х2) = Ка (х2 — хх)

-п (0 = j g (t, т) I (х) dx .

Тогда

ь ь

aa

Вчастности, если

о0

64

общем случае не является стационарным процессом.

Наконец рассмотрим общее линейное преобразование ста­ ционарного случайного процесса. Пусть f; (t) — стационар­ ный случайный процесс,

= к а ь , t2) = K i{t)

иL — произвольный линейный оператор, а

7)(*) - Ц (t) .

Чаще всего приходится иметь дело с интегро-дифференци- альными операторами. Если оператор L содержит только опе­ рации дифференцирования, умножения на постоянный множи­ тель и сложения, то процесс £ (t) также будет стационарным. Если же оператор L содержит операции интегрирования либо умножения на неслучайный множитель, зависящий от t, то в общем случае процесс tj (t) не стационарен. Характеристики процесса tj (t) определяются по тем же правилам, что и при линейном преобразовании произвольного случайного процесса

ki (х) = 9 e-tt|T| cos рх .

Будет ли этот процесс дифференцируемым при произвольных значениях параметров а и Р (а > 0)?

Решение. Если существует вторая производная корреляци-

ференцируем. Запишем корреляционную функцию так:

Подставляя полученное значение интеграла в выражение для К ц (ti, t2), получаем

Как видим, математическое ожидание процесса ?) {() зави­ сит от времени, а корреляционная функция попросту является функцией двух независимых переменных t\ и t2, а не их раз-' ности t2—tь Поэтому процесс т, (t) не стационарен. Найдем дисперсию процесса ц (t):

xk (t) могут существенным образом отличаться друг от дру­ га. Если в результатах эксперимента наблюдалась некоторая реализация x k (t) процесса £ (7), то в общем случае она со­ держит весьма мало информации об этом процессе, так как

Р {£ (0 = ** (0} = о .

Полную вероятностную информацию о всех возможных реализациях случайного процесса содержат в себе, например, все его /г-мерные.функции распределения или соответствующие плотности распределения. Но, как отмечалось в главе I, зна-

67

нке всех многомерных законов распределения случайного про­ цесса затруднительно, если вообще не невозможно. Оставаясь в рамках корреляционной теории, оперируем одномерными и двумерными законами распределения, с помощью которых

цесса t (i). Путем осреднения по вероятности можно получить математическое ожидание Щ (t ), дисперсию £>$ (t) и корре­ ляционную функцию Ki {ti, t2) процесса ? (t). На практике исследователь, наблюдая в некотором эксперименте течение случайного процесса ? (t ). обычно не располагает даже одно­ мерным законом распределения. Более того, часто в распоря­ жении исследователя имеется лишь одна реализация xk (t) этого процесса, и нет возможности повторить в неизменных условиях проведенный эксперимент, чтобы получить еще и дру­ гие реализации процесса.

Естественно возникает вопрос: можно ли по одной реали­

дения о других его реализациях, о том, как «в среднем» будет протекать этот процесс при повторении подобного экспери­ мента?

В общем случае ответ на поставленный вопрос будет отри­ цательным. Однако существует значительный класс стацио­ нарных случайных процессов, для которых можно ответить утвердительно на данный вопрос. Это так называемые эргодические случайные процессы или процессы, эргодические по от­ ношению к математическому ожиданию и корреляционной функции.■Условия, при которых стационарный случайный про­ цесс обладает свойством эргодичности, определяются следую­ щей теоремой Хинчина.

Теорема. Если непрерывный стационарный в точном смыс­ ле процесс £ (I) имеет конечное математическое ожидание, то с вероятностью единица существует предел

о

Если обозначить данный предел через т, то сформулиро­ ванная теорема означает следующее:

Р

68

Доказательство теоремы Хинчина выходит за пределы про­ граммы курса. Кроме того, она дает достаточные условия эрго­ дичности случайных процессов, стационарных в точном смыс­ ле. В рамках корреляционной теории нас интересуют преиму­ щественно случайные процессы, стационарные в широком смысле. Достаточные условия эргодичности стационарных слу­ чайных процессов определяются следующей теоремой.

Э ргодш еская теорема. Если корреляционная функция ста­ ционарного в широком смысле процесса £ (t) непрерывна и удовлетворяет условию

Докажем, что равенство (3) при наложенных ограничени­ ях на корреляционную функцию имеет место:

Так как операции математического ожидания и интегриро­ вания перестановочны для СК непрерывных случайных про­ цессов, то

69