книги из ГПНТБ / Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов

Т е п е р ь

л е г к о

н ай ти

х а р а к т е р и с т и к и

сл у ч а й н о й

ф ункции

т)

(/),

а и м енно ,

m,t (г)

= 1 — c o s

/

+

ME,

(/ -

s in

t)

+

ME., (Р +

2 c o s

t - 2)

+

-(- M Ti (0) c o s

t

-f- Mt['

(0)

sin

i =

1

—

c o s t + c o s t +

2 sin

l =

==

1

4- 2 sin t ;

ATj (/0

/,)

=

(7,

sin A) Dc[ -f

(t\ -f-

2 cos

— 2)

(t~> -j-

-f

2 cos t.,

— 2) DE., +

cos

cos t., D-f,(0)+sin i xsin t,

DV(0) =

=

(A--sin A) (A - sin A) + 2 (^i + 2 cos

— 2) (^2 + 2 cos A—2) +

+

2 cos /, cos

-|- 4 sin /, sin Aj ;

Dn (0 -

AT, (/,

t)

=

(t

-

sin t f

+ 2 (f- -I- 2 c o s l -

2)- +

+ 2 c o s '-1 4 4 s in 2 i .

Упражнения

1.

Задан случайный процесс

Q(t) - t, / + S2 Р ,

где

и

— независимые случайные величины, имеющие по­

казательное распределение

Л

W

0

при

х < 0

,

—J...V

при

л: >

0

С

1

К

(х)

0

при

х < 0

,

х2

при

х >

0

Найти одномерную плотность распределения процесса £(£).

О тве т:

fi

(*;

О

t (Х2

X,)

(б

~ Г Х.

) ,

(х >

0,

t > 0) .

5 ( 0 = 5,

+ ?2 в"' + t2 ,

где ?i и

— некоррелированные случайные величины, при­

чем £i распределена по закону Пуассона с

параметром

X, а £3 — по нормальному зако­

nii (/) =

+ ае~'

t- ,

Ki (/,, Q =

+

a’

,

D: (/) =

le

~2C~+

o- e~2/.

4.

Найти

математическое

ожидание

и корреляционную

функцию случайного процесса

![ (/) =

3

cos «>/ | 5 i.j Г-

-|- 8 ,

где

со = const,

Е, и

— случайные величины с

/Ис, = 2,

Л?с2 =

3,

DE,

=

1,

DE, =

4

и

/-^ =

0,8..

О т ве т :

т,\ (/) =

6 cos соt -|- 15 t-

+

8 ,

Ki

(/,,

t.,)

— 3 cos to/, cos co/2

+

20 t2 /; +

+

24

{!\ cos u>/2

-I-

t\ cos ш/,) ,

Dt (/)

=>

3 cos2 со/ + 20 /•*

-|- 48 t2 cos ш/ .

5.

Математическое

ожидание и корреляционная

функция

случайного процесса I (/) заданы:

пц (/)

=

2 / + 3,

Ki

(/,.

/2) =

4 /, /2 е~'г '2 .

Найти характеристики случайного процесса

I

(/) = 3 / 5 (0

+

2 /2 -

7 .

Будет ли процесс

rj (/)

СК непрерывен?

О т ве т :

/я, (/) =

15 /2 +

9 t -

7 ,

/С, (*i, /2) =

36 /? й е "^~‘2 ,

D,

(/)

=

36 /<

;

процесс

v)

(/)

С/С непрерывен.

6. Характеристики случайного процесса ? (/) заданы

/я«'(0 = t2 +

2 / +

4,

/Се (*lf /2)

.

ч (0 =

d l (t)

dt

пц ( 0 = 2 7 + 2, /Се (t„ to) = 4 /, U

,

чайный процесс

£ (0 с математическим ожиданием

we (0

=

3 sin «7

и корреляционной функцией

^

(0,

0 )

=

4 е

2 .

Найти характеристики

процесса

г, (()

па выходе устройства.

От ве т:

тп (/) = 3 со соз ш7,

Кц (0> t.>) =

4 е

2

[1 — (/, — О)2] ,

D , (0 = 4 .

8. Характеристики случайного процесса

S (0 известны:

/щ (0 =

72 + 4 7,

(0 ,

to)

= /, /2 + /; 0 •

Найти характеристики случайного процесса

4 (0 ■= f

rf2 £ (О

+

t !-

1 .

dt2

О тв ет :

■q (0

= 1 -

е~‘ -

t e-t +

0,5

(1 — е -'2) +

+

0,25

§2 (1 -

е~2' -

2 £ е~2') ,

(о

=

te~* -

4 "

- т e ~ 2 t - т 1 е ~~‘ *

^ (Л, Л)

=

(1 - ^ (1

-

е“'2) +

0,5 (1 - <Г25 -

— 2 /, е-21!) (1

— е-2^ — 2 t2

е~ 2'г) ,

£>ч (0

=

(1 — е -'2)2 +

0,5 (1 -

е~2' -

2 / е~20 2 .

10.

На вход динамической системы, работа которой опи

вается оператором,

( 0

=

2

е ‘,

К(.

( 0 ,

0 ) —

^ 1+<2 •

Н а й т и х а р а к т е р и с т и к и

с л у ч а й н о г о

п р о ц е с с а

т]

(t)

н а в ы х о д е

с и с т е м ы .

О т ве т :

т-ц (t)

=

2

t

( е {

—

1)

+

t2 ,

К п (tlt

t2) => 4

ty t2 {\

—

e'i

+

^

e 'i) (1

—

e'» +

t2 e 's) ,

£ Ц . ( 0 = 4 f 2 ( l - e ' + Л е ' ) 2 -

11.

Н а в х о д д и н а м и ч е с к о й с и с т е м ы , р а б о т а к о т о р о й о п и

в а е т с я д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м у р а в н е н и е м

у'

(t) +

2 t

у (t)

=

х (t) ,

п о с т у п а е т сл у ч а й н ы й п р о ц е с с

£ (£ )

с х а р а к т е р и с т и к а м и

т

(t)

=

Л

ЛТ$ ( Л , Л )

= t x t 2 .

Н а й т и х а р а к т е р и с т и к и п р о ц е с с а f) ( Л н а в ы х о д е с и с т е м ы

при у с л о в и и , что

~q ( 0 )

=*

1

—

не с л у ч а й н а я вел и ч и н а .

тъ (t) =

-j-

(1 4

е r

)

,

K ^ t u t.^) =

I

- f i - P -

/ 2

-

t 2

~ e

« *(e>

l ) ( e 2 - l ) ,

Dn{t) =

- 1

е- з г ( / _

1)2.

процесс

? (t)

= £ sin 2£,

где

? — нормально распределенная

случайная

величина с параметрами

а = 2, а =

5 V 2. Найти

процесс т)

(/)

на выходе

системы и его характеристики, если

работа

системы описывается дифференциальным уравнением

У" ( 0

+ 3 /

(t)

+ 2 y ( t ) = x ( t ) ,

причем т) (0) = 2

и

V (01— 3 — неслучайные величины.

О тве т:

I (0

=

—

------

у -

е_2‘

------ ftp

c«s 2 t -------

fo~ sin 2/ +

+

— т

е _ и—

^ ~ c o s 2 ^ — ^0“ sin2^ ^ ~ 2);

Щ ( 0

“

~ y -

------ ------------------- cos 2 / -------------

щ- sin 2 t\

A .(0 = so (-§-

e •/-_ .L g-211

—

20

cos 2 /-

sin 2/

20

всех сечений Е (£,)>

? (г.,),

Е (fs)

С ) на одну и ту же

величину

т.

Это означает, что «-мерная функция распределения стацио­

нарного случайного процесса

Е (0

при любых п и г

удовлет­

воряет условию

F n (хи х2

,

, хп\

t{,

(2 ,

, tn) =

= Fn (JCj,

х2

, . . . , хл;

t

x +

х,

t2 +

-с , . . . , tn +

т) .

(1)

Отметим некоторые свойства стационарных случайных про­

цессов.

Е (t) — стационарный в точном смысле

Если

случайный

процесс,

то по определению

/у (х ; t) = F, (х ; / + т ).

Полагая

т = —t,

получаем

F x(х, 0

=

F,

(х;

t — t) =

F j (х)

,

(2)

т. е.

одномерный закон распределения процесса Е

(t)

не зави­

сит от времени.

закон распределения

процесса

Покажем,

что двумерный

Е (t)

зависит не от четырех аргументов х ь х2,

t\ и i2,

а только

от трех: хь Хг и разности t2—1\.

Действительно, полагая в равенстве

F 2

(Х „

Х2,

t xt

t y )

■—

F о (Xj, X2,

-j- w,

t-y

x)

t = — tu п о л у ч а е м

Fo ( x ], A2>

^2) —

F*2 (X „

X.,,

/j

/j,

^2

= F

( x , , x 2;

/3 - г1, ) .

(3 )

П р и т — — 1\ д л я л ю б о г о « - м е р н о г о з а к о н а р а с п р е д е л е н и я

п о л у ч а е м р а в е н с т в о

F„ (xj,

Х2 , . . . , х„,

0У t 2

Л 1 •••»^/г

*

v4)

Е с л и с т а ц и о н а р н ы й

в у з к о м с м ы с л е с л у ч а й н ы й п р о ц е с с и м е ­

ет в с е « - м е р н ы е п л о т н о ст и р а с п р е д е л е н и я , то , к а к э т о с л е д у е т

из ф о р м у л (2 ) — ( 4 ) ,

Л

(**.

0

=

f i (*;

0 )

( х ) ,

(5 )

f 2 (х^, х 2; /j, t 2)

”

f i

( - Л ’

x2y

t2

=■ f 2 ( X j , x 2, x ) ,

( 3 )

/ «

( * 1 , -Vo , .

. . , V„,

/(,

Z?o)

••. K) =

= f n (*P

*2 •■. .

, JC„; 0,

^2

— t,

------tn ~ t , ) ■

(7)

(t) = 1 ’ x f x(х- t)

dx =

j

x f x (x) dx = тгц, ,

—

c *

—

e-o

D? (0

=

^ (jc-

nv.(t.))-f{{x\

t ) d x = j

(x —mi)1f x(x)dx = D £.

— CC

—

CO

Найдем корреляционную функцию стационарного в узком

смысле процесса:

*0

••

K\[tu

ti) =

[

j

(xx—mi(tx))(x2—mc(t2))f2(xXlx2\txJ 2)dxxdx2 =

j

(х, — mi) (хо — mi) fo

(хи

х 2;

t2 — tx) dXi d x 2 =

oo

— mi) (x3 — mi) f 2 (x lt

x2;

x) dx1 d x 2 ■= fa (x) ,

=

I

j

(V2

— oo

— oo

в узком смысле процесса £ ((). Если даже

( £)’= const,

D£(/)=const и

Ki (ty,

t2) — K i ( t 2—1\),

то из этого еще не

следует выполнение, например, равенства (4).

Оставаясь в

рамках

корреляционной

теории, изучаем

ционарного случайного процесса.

1. Если

5 (/) — комплексный

стационарный

случайный

процесс, то

Ki (*„ t2)

= K i { t 2, t,) =

Ks (t2 -

f,) = Кг [ -

{U - f j]

или

ki (x)

= ki ( — x) ,

(8) .

Для вещественного

стационарного случайного процесса

Ki (tu f2) -

K i (t2 -

= Ki (/, -

t2)

или

ki (x) =

ki (— x) ,

(9)

Ki (/, t) = Ki

= h (0) = Di

( 10)