книги из ГПНТБ / Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов

Для того чтобы правая часть этого неравенства стремилась к нулю при А/, —>-0 и процесс £(/) должен б&ть СК непрерывен, т. е. должны иметь место равенства:

при ДА-^-0 и ДА-^0. т. е- /Се (А, А) — непрерывная функ­ ция по обоим аргументам. Необходимость доказана.

Достаточность. Покажем, что из непрерывности корреля­

ционной функции К% (А, А) следует СК непрерывность цент-

О

рированного процесса g (А . а с ним и процесса £(£)• Для до­ казательства достаточно предположить непрерывность /Се (А, А) на прямой А = А. В самом деле

М [I (А) - 5 (А )]1 = м [Г- (А) - 2 £ (А) I (А) + I (А)] =

= /Се (А. А) ~ 2 /Се (А. А) 4 - /Се (А- А) •

Но при

А -*■ А /Се(А- А) — 2 /Се (А. А) “А /А (А> А) -*■ 0 •

в силу непрерывности корреляционной функции /Се (А, А) на прямой А = А- Следовательно,

Jim Ж [| (А) — 1 (А )]2 = 0

'\*lt

и

l.i.m. g (А) = § (А) •

Г1

О

Так как с (/) = g (А -1- пц (/), а оте (/) по условию непре­ рывная функция, то

l.i.m. g (А) = g (А) ,

т. е. процесс с (/) — С/( непрерывен. Теорема доказана. Перейдем к понятию производной случайного процесса.

Операцию дифференцирования случайного процесса будем по­ нимать в смысле СК.

Пусть £ (t) — СК непрерывный случайный процесс. Рас­ смотрим два сечения этого процесса в моменты t и t At и составим случайную величину

Определение 3. Если существует СК предел случайной ве­ личины (1) при At ->■ 0, то он называется СК. производной процесса t (И в точке t и обозначается одним из символов

6 <0 ши

Если С/( производная (t) существует при всех t из неко­ торого промежутка (0; Т), то процесс £ (t) будем называть СК дифференцируемым в этом промежутке.

Найдем основные характеристики СК производной случай­ ного процесса. При получении математического ожидания и корреляционной функции процесса используем тот факт, что операции СК предельного перехода и математического ожида­ ния перестановочны.

По определению,

и математическое ожидание /«s (/) СК дифференцируемого процесса > (t) — дифференцируемая функция.

„31

Займемся вычислением корреляционной функции СК про­ изводной случайного процесса.

Пусть

и корреляционная функция СК производной случайного про­ цесса равна второй смешанной производной его корреляцион­ ной функции:

Таким образом, если процесс Е (t) СК дифференцируем в некотором промежутке (0; Г), то существует вторая смешан­

д- Ki(t„ t.) является достаточным условием СК дифференци­ dt{ dtn

руемости процесса I (t). Необходимость этого условия выте­ кает из формул (2) и (3).

Итак, СК дифференцируемость случайного процесса ? (t ) является лишь свойством первых двух моментов /п? (t) и Кч {th t2). Поэтому нельзя утверждать, что из СК дифферен­ цируемости случайного процесса вытекает обычная дифферен­ цируемость всех его реализаций. Может случиться, что все реализации процесса I (t) будут дифференцируемыми функ­ циями в обычном смысле, а сам процесс не будет СК диффе­ ренцируемым. Однако во многих практически важных случа­ ях производные отдельных реализаций являются реализация-

32

ми СК производной процесса ? (/)• Это выполняется в том случае, когда отношение

=!im

At

что он дифференцируемый в этом промежутке.

Рассмотрим некоторые примеры. Пример 1. Случайная гармоника

£(t) — A cos (at + ф)

—дифференцируемый случайный процесс, так как его мате­ матическое ожидание пц ({) = 0 — дифференцируемая функ­ ция при всех t и корреляционная функция

K t (t u t 2) = о2 cos со ( t 2 — jfj)

имеет вторую смешанную производную при всех t\ и h ‘.

Этот результат можно получить и непосредственно, если учесть, что

—— — Лео sin (w/ -(- Ср) .

Очевидно, что все реализации процесса

х (/) = a cos (wt + ?)

являются дифференцируемыми функциями. Поэтому в данном случае производные реализаций процесса равны соответствую­ щим реализациям производной процесса.

Пример 2. Случайный процесс Е; (t), рассмотренный в при­ мере 4 предыдущего параграфа, не будет дифференцируемым, так как его корреляционная функция

не имеет производных на прямой tz—t\ (здесь |(г ~1\ |= т). В то же время все реализации процесса есть дифференцируе­ мые функции при всех t, кроме точек разрыва (напомним, что процесс может принимать только постоянные значения -И и

- !) •

Перейдем к рассмотрению вопроса об интегрировании слу­ чайного процесса. Здесь и в дальнейшем нам понадобится по­ нятие оператора, широко применяемое в самой математике и различных ее приложениях.

Пусть задано множество функций {.*:(£)) (в частности, эти функции могут быть и случайными) и множество функций {у(01Если по некоторому правилу или закону каждой функ­ ции х (t) из множества [х (/)} ставится в соответствие одна или несколько функций y{t) из множества (у(/)}. то говорят, что задан оператор на множестве {х(£)} со значениями в мно­ жестве (у(/)} и пишут

у(t ) — А х (t) .

А— это символ оператора, т. е. А означает совокупность тех операций, которым надо подвергнуть функции x ( t ) , чтобы получить функции y { t ) \ x ( t ) — аргумент оператора, а множе­ ство {xf/)} — область определения (область задания) опера­ тора А. Множество (у (0) — область значений оператора А. Если каждой функции x { t ) из множества {■*:(£)} ставится в со­ ответствие только одна функция у (t) из множества (у(£)}, то

34

оператор А называется однозначным. Когда каждой функции x{t) ставится в соответствие несколько функций y(t), то опе­ ратор А называется многозначным.

Итак, под оператором в математике понимают правило, по которому преобразуется одно множество функций в другое. Простейшим примером оператора является обычная функция

У = / (• *) •

где под символом f понимается правило, по которому каждо­ му значению переменной х ставится в соответствие определен­ ное значение переменной у.

Рассмотрим интегральный оператор

о

У (0 = J ё (Л х) х (т) d - (— со < а < b < + °о) ■ (5)

а

(Здесь для получения функции y(t) надо функцию x(t) умно­ жить на функцию g (t, х), которая называется весовой функ­ цией или ядром оператора, и проинтегрировать по т от а до

Ь). Функцию g(t, х) будем предполагать заданной и непре­ рывной в квадрате (а < t < Ь\ а < х < 6) (рис. 3). Если по­ ложить (рис. 4)

35

в момент т, есть случайная величина. Более точно, эта сум­ ма — случайный процесс, ибо она еще зависит от параметра t, входящего в ядро g (t, т).

Подчеркнем, что существование интеграла случайного про­ цесса £ (х) с весом g (/, х) равносильно существованию пре­ дела

Перейдем к вычислению математического ожидания и кор­ реляционной функции интеграла случайного процесса. Если существует предел (9), то в силу перестановочности операции осреднения по вероятности (математического ожидания) и СК предельного перехода имеем

Мц (t) = М l.i.m. V g (t, х,) g(х,.) Дх,

maxIх Дт^.—.-^*flО^A-J

г. e. математическое ожидание интеграла случайного процесса равно интегралу его математического ожидания:

a

37

а при а —О

о

Кроме перестановочности операций СК предельного пере­ хода и математического ожидания при выводе формулы (12) использовано свойство математического ожидания

м 2 с ,5 ( = £ С, МП'.

/'=1 /=|

Из формул (12) — (13) следует, что операции интегрирова­ ния случайного процесса и математического ожидания пере­ становочны. Этим обстоятельством воспользуемся при вы­ числении корреляционной функции случайного процесса.

Заметим, что

38

СК интегрируем на отрезке [а, Ь], то ёго математическое ожи­ дание тг (х) — интегрируемая функция на этом отрезке, а

Можно доказать, что интегрируемость математического ожи­ дания гщ (х) и корреляционной функции /(^(х,, х2) по каж­ дому из аргументов х,, х2 на отрезке [а, Ь] является не толь­ ко необходимым, но и достаточным условием СК интегрируе­

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 3. На вход устройства, работа которого описывает­ ся оператором

t

39