книги из ГПНТБ / Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов

г г \

Меняя в последнем интеграле порядок интегрирования, по­ лучаем

70

Из условия (1) следует, что при TWoo

Теорема доказана.

Так как из сходимости в смысле среднего квадратического вытекает сходимость по вероятности, то из доказанной теоре­ мы следует: каково бы ни было е>0, при достаточно боль­ шом Т с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, вы­ полняется неравенство

единице, и с наперед заданной точностью находить математи­ ческое ожидание процесса 5 (t) путем осреднения по време­ ни любой отдельной его реализации x(t) на достаточно боль­ шом промежутке времени (О, Т ).

71

Если стационарен не только процесс q (t), но и процесс

ОО

д{t) = £ (г) £ (£ + х), где х — любое действительное чис­

ло, то достаточным условием эргодичности процесса д (i) по отношению к математическому ожиданию (и, следовательно, эргодичности процесса £ (t) по отношению к корреляционной функции Кь (х), ибо

где s — также любое действительное число.

Подытоживая все вышеизложенное, можно так дать опре­ деление эргодичности стационарного случайного процесса.

Определение. Стационарный случайный процесс 5 (£) на­ зывается эргодическим по отношению своих основных харак­ теристик и Кь (х) или просто эргодическим, если обе эти характеристики с вероятностью, сколь угодно близкой к еди­ нице, могут быть получены осреднением по времени любой от­ дельной реализации x{t) процесса ? (/), когда время осред­ нения достаточно велико.

Таким образом, для эргодических случайных процессов от­ дельная реализация является как бы «полномочным предста­ вителем» всех возможных его реализаций.

Отдельная реализация эргодического процесса в среднем достаточно «полно» представляет характерные особенности, присущие всем или «почти всем» возможным реализациям это­ го процесса. А это для практики и представляет большую цен­ ность.

Рассмотрим простейшие примеры.

Пример 1. Случайный процесс задан разложением

72

Решение. Вычислим характеристики процесса £ (t) й вы­ ясним, является ли он стационарным:

= o2 cos со/, cos ait2 + a2 sip co^ sin шt2 =

= o2 cos a) {t2 — tj) = a2 cos cot: .

Следовательно, процесс £ (t) стационарен в широком смысле. Достаточное условие эргодичности процесса по отно­ шению к математическому ожиданию также выполняется, так как

О2

— lim — т=г sin соТ — О

Т-уео 0)7

и процесс ^ (() эргодическнй по отношению к математическо­ му ожиданию.

Значительно сложнее проверить выполнимость достаточно­ го условия эргодичности процесса по отношению к корреляци­ онной функции, ибо для этого потребовалось бы находить центральный смешанный момент четвертого порядка, что не всегда возможно, так как для вычисления момента четверто­ го порядка необходимо располагать четырехмерной плот­ ностью распределения U(xi, х2, Хз, х4; tь /2, t3, ti). В нашем примере не задан даже одномерный закон распределения про­ цесса Е, U), не говоря уже о четырехмерном. Если процесс нор­ мальный, то для эргодичности процесса достаточно выполне­ ние условия

т

Иш —^г- j* (х) rfx = 0 .

U

73

о

Рассмотренные примеры показывают, что проверка условий эргодичности случайного процесса весьма затруднительна. Кроме того, исследователь, наблюдая течение случайного прОг цесса, не располагает не только законами-распределения это­ го процесса, но и не имеет характеристик процесса., оценки ко­ торых он должен построить по наблюденной реализации про-- цесса. Об эргодичности наблюдаемого случайного процесса обычно судят интуитивно, исходя из основ физических сооб­ ражений, связанных с существом этого процесса.

Вопросы для самоконтроля

1.Какой случайный процесс называется стационарным в узком смысле?

2.Чему .равны математическое ожидание и дисперсия ста­ ционарного случайного процесса?

3.В чем характерная особенность корреляционной функ­ ции стационарного случайного процесса и какими она облада­ ет свойствами?

4.Какой случайный процесс называется стационарным в широком смысле?

5.Какие условия являются необходимыми и достаточными СК непрерывности, дифференцируемости и" интегрируемости стационарного случайного процесса?

6.Будет ли стационарным процессом производная стацио­ нарного случайного процесса?

7.Как определяются основные характеристики, производ­ ной стационарного случайного процесса?

8.Будет ли стационарным процессом интеграл стационар­ ного случайного процесса?

9.Какой случайный процесс называется эргодическим по отношению к математическому ожиданию. Какой смысл.'вкладывается в понятие эргодичности?

10.Сформулируйте теорему Хинчина.

11.Сформулируйте эргодическую теорему о достаточных условиях эргодичности.

75-

i 2. Какой процесс называется эргодическим по отношению

ккорреляционной функции?

13.Как можно найти основные характеристики эргодиче-

ского случайного процесса?

14. По каким критериям определяется эргодичность слу­ чайного процесса на практике, в эксперименте?

величины с нулевыми математическими ожиданиями и диспер­ сиями

Будет ли процесс £ (() дифференцируем и если да, найти корреляционную функцию и дисперсию его производной.

О т в е т : Процесс £ (/) дифференцируем. Если т) (t) — £' (t), то

А Г ,( х ) = о2 а2 е~а№(1 — а | х | ) .

3. Сколько раз дифференцируем случайный процесс £ (/), если

Kz (t) = е -« 2 (а > 0) .

От в е т : Сколь угодно раз.

4.Корреляционная функция случайного процесса £ ( t )

имеет вид

Kz (х) = °2 е -а|т|^1 + а I х I + i - as x2\ (а > 0) .

76

Определить корреляционную функцию и дисперсию процес­ са т) (£), если

О тве т:

/<7|(т) = о2e-aix|! 1+ « |х |+ or т2+

+(а2х2-а|х1 - 1) + —^— (а3х2— 5 ®|т|— 3)|;

Найти корреляционную функцию и дисперсию процесса

т/(0 = [ £ (х) dx .

о

О тве т:

7. Корреляционная функция стационарного случайного про­ цесса имеет вид

СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ 3 СТАЦИОНАРНЫХ

СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

которого четырехполюсника. Тогда на выходе четырех­ полюсника имеем преобразованный случайный ток Если четырехполюсник линейный с постоянными парамет­

рами, то методами, рассмотренными в предыдущей главе, по

дет показано ниже, относительно просто определяется корре­ ляционная функция АГт] (т) процесса т) (£) при установив­ шемся режиме.

Напомним, что понятию «спектр», обязанному своим про­ исхождением оптике и широко применяемом в математике, фи­ зике и технике, приписывается вполне реальный физический смысл: спектром некоторого колебательного процесса называ­ ется функция, описывающая распределение амплитуд по час­ тотам (амплитудно-частотный спектр). Рассматривают и фазо­ частотные спектры, описывающие распределение фаз по час­ тотам.

Амплитудно-частотный спектр данного процесса раскрыва­ ет его Внутреннюю структуру, показывает, колебания каких частот преобл'а'дайт в этом процессе. Эта глава посвящается1 методам изучения спектрального .состава стационарных слу­ чайных процессов’. ' ............... ' '..................i „л :

79