книги из ГПНТБ / Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов
.pdfАналогично преобразуем представление (7) процесса |
(£) |
|||||
?г ( 0 = |
|
cos |
1 + |
sin со* |
-~т— |
|
или,обозначая |
|
|
|
|
|
|
a k Т |
-г , ~\ bk T |
= |
. |
ir |
, |
|
—s— = |
Zt (ш*), |
Z, (со*) , |
—— = |
|
||
получаем
t,r (t) = /«;.+ V, {Z| (шА) cos со* t + Z2 (со*) sin со* /} Дш* . (10)
Правая часть равенства |
(9) |
напоминает интегральную сум |
|||||
му функции s у. (со) |
cos сот |
для |
со>0. |
|
Предполагая, |
что пре |
|
дел этой суммы существует при Т |
°о (Дш* -*-0), |
получаем |
|||||
Ига |
(т) |
= |
f |
(со) cos |
сот с/со . |
|
|
т~у’° |
|
|
о |
|
|
|
|
Но |
Нш K \ b ) = K i{ г) , |
|
|
||||
|
|
|
|||||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
Kk (*) = |
f |
|
(ш) cos сот d<o |
|
|||
l.i.m. £г (£) =• /гае ■+- l.i.m. YfZAto*) cos co*/+Z,(w*) sin со*£}Дсо*.
|
|
|
T—> |
|
|
t . e. |
|
|
|
|
|
5 (t) |
= |
+ J |
{Zj (со} cos co^ -j- Z 2 (со) sin cot) dcо . |
||
|
|
о |
|
|
|
Итак, |
если корреляционная функция Kt (т) |
стационарно |
|||
го в широком смысле случайного процесса § (t) |
абсолютно |
||||
интегрируема на всей оси От, то процесс £ (?) |
имеет непре |
||||
рывный спектр, т. е. спектральная плотность |
(со) |
будет не |
|||
прерывной функцией на полуоси [О, оо], причем |
|
|
|||
|
|
s, (») |
К £ (т) cos сот dx |
|
(4) |
90
h сам процесс 5 (t) представим в виде спектрального разло жения (5).
Спектральная плотность (со) > 0 при всех со, так как она является пределом отношения двух неотрицательных ве
личин Dk и Дсо*. Полагая в формуле (4) т = |
0, получаем |
|
. |
м |
|
f o ( 0 ) = A = |
j s6(«)do), |
(11) |
|
о |
|
т. е. средняя мощность флуктуационной части стационарного случайного процесса (которая, как выше было сказано, равна
дисперсии этого |
процесса) |
равна |
интегралу |
от спектральной |
плотности St (ш) |
по полуоси |
со > |
0. Всегда |
будем предпо |
лагать, что рассматриваемые случайные процессы имеют огра ниченные дисперсии, в противном случае их флуктуационные части обладали бы неограниченной энергией. Поэтому инте грал в правой части равенства (11) всегда будет сходящимся. Из сходимости такого интеграла вытекает интегрируемость спектральной плотности (<о) в любом конечном промежутке
[0, со].
Следовательно, для спектральной плотности существует не прерывная первообразная 5$ (<»), которую мы назвали спек тральной функцией (функцией спектрального распределения энергии), т. е.
Si (со) = j |
(и) d u . |
(12) |
о |
|
|
Для со < 0 следует положить Si (со) = 0. Спектральная функция St (со) численно равна средней мощности флуктуа ционной части процесса в полосе частот [0, со]. На ее свойствах мы останавливались в предыдущем параграфе. Напомним только, что (со) неотрицательная, неубывающая функция и Si (со) = Di. Если известна корреляционная функция ста ционарного случайного процесса с непрерывным спектром, то спектральную функцию можно получить из следующих соотно шений:
(<■>) |
(и) du — |
Ki (т) cos их dx \ du = |
]
2
dx \ Ki {х) cos их du —
TZ
о
и
Действительная спектральная плотность |
(со) является |
косинус-преобразованием Фурье корреляционной функции. Ча ще бывает удобнее пользоваться комплексной формой преоб разований Фурье. В этом случае энергия условно перерас пределяется и на отрицательные частоты со < 0. Вместо дей ствительной спектральной плотности вводится понятие ком
плексной спектральной плотности s; (со), связанной с дей ствительной соотношением
I ss И I = -J- % (») 1
Покажем, как перейти от действительной к комплексной спектральной плотности:
4 “ ( ш) = |
4 " Ке ( * ) c o s coxcfx » |
j Ki (х) cos сох dx |
|
О |
|
(функция |
Ki (х) cos сот — четная по х, |
поэтому интеграл по |
промежутку [0, а] равен половине интеграла по промежутку
[—а а]).
Интеграл |
па |
|
|
|
1 |
|
|
||
J |
K i (х) sin сох d-z = |
О |
||
2тс |
||||
—оо |
|
|
||
|
|
|
||
как интеграл от нечетной |
функции Ki (х) sin сох по проме |
|||
жутку, симметричному относительно нуля. |
Умножая его на |
|||
i = Y —1 и вычитая из предыдущего равенства, получаем:
- i |
- (со) = |
Ki j*(х) cos coxrfx- - - - - - -j* |
Ki (x) sin coxc/x = |
|
|
— —• |
oo |
|
оe |
|
e> |
= |
■1 — j |
K i{t)(cos cox—i sin wx)rfx= ■ |
j Ki (x) e~h,~rfx . |
Так как корреляционная функция /Се (х) четная, то ее комплексное преобразование Фурье будет вещественной и чет ной функцией аргумента со и, следовательно, комплексная
спектральная плотность (со) всегда вещественная и четная функция, определяемая равенством
92.
.SE (со) = |
1 |
Ki |
(т) e~lm~- dz . |
(13) |
|
2* |
|||||
|
|
|
|
||
Корреляционная функция |
K i(z) |
выражается через |
ком |
||
плексную спектральную плотность ss (со) обратным преобра зованием Фурье:
К i (т) |
= |
j |
st (ы) е 1ш~rfu) . |
(14) |
Полагая в формуле (14) |
т=0, находим |
|
||
А |
= |
£ |
se (<о) d a . |
(15) |
Спектральная функция S i (ш) с помощью комплексной спектральной плотности определяется равенством
ш |
(16) |
Si (ш) = £ s- (и) da . |
Очевидно, что Si (со) неотрицательная, 'неубывающая и непрерывная функция на всей оси ш, причем
Si (со) ~ Di и Si ( — оо) = 0 ..
Иногда вместо спектральной плотности пользуются норми рованной спектральной плотностью
(со) =
Di
или
где Di — дисперсия случайного процесса. ■ 1 • • Нормированная спектральная плотность и нормированная корреляционная функция связаны теми же преобразованиями
Фурье |
’ |
|
ае (ш ) |
ге (т) cos сот dz , |
т |
|
и |
|
93
rs (z) |
= |
j |
o$ (to) cos tox C?0) |
(18) |
|||
в действительной форме и |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
со |
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
||
°Е (ш) = |
‘ |
- |
| |
Г( (т) е~ы' dz , |
(19) |
||
2тг |
|||||||
|
|
ОС |
—N |
|
|
||
|
|
|
(ш) |
dco |
(20) |
||
^ (х) = |
|
I |
|
||||
в комплексной форме. |
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что |
|
|
|
|
|
|
|
се |
|
|
ее |
|
|
||
в£ (ш) day = |
f |
(to) di0 = 1 , |
|
||||
оо
анормированная функция спектрального распределения энер гии
5 { (ш ) = j |
(ы ) du |
_ее |
|
обладает всеми свойствами функции распределения вероятнос
тей непрерывной случайной величины. |
стационарного слу |
||
Графическим изображением |
спектра |
||
чайного процесса будет кривая |
(со) |
(или |
(со)) (рис. 9). |
Вследствие того, что спектральная плотность |
(ш) описы |
||
вает плотность распределения энергии по частотам флуктуа-
О
ционной части £ (£) процесса ? ( t), ее называют энергетиче ским спектром случайного процесса.
Мы ограничились рассмотрением стационарных случайных процессов с дискретным и непрерывным спектрами. Все мно гообразие стационарных случайных процессов не исчерпывает ся этими двумя классами. Существуют «смешанные» стацио нарные процессы, имеющие характерные черты как процессов с дискретным спектром, так и процессов с непрерывным спект ром. Их можно представить в виде суммы двух процессов
5 (0 = (0 + S. (*)
и рассмотреть в отдельности каждое слагаемое. Рассмотрим простейшие примеры.
Пример 1. Корреляционная функция стационарного случай ного процесса задана выражением
(т) = D e-‘M (D > 0, а > 0) .
94
Найти комплексную спектральную плотность ^(ш) и спек тральную функцию (ш).
Решение. Корреляционная функция Кь (т) непрерывна при всех х, абсолютно интегрируема на всей оси
(х) |dx = 2D |
e~az dx = |
2D |
|
а |
|||
|
|
имеет только один максимум в точке х=0, и, следовательно, разложима в ряд Фурье в любом конечном промежутке. По этому процесс £ (О СК непрерывен и имеет непрерывную
спектральную плотность s5(w), которую найдем по форму
ле (13): |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
D |
|
g-a|z| е -Ых |
D_ |
|
|||
«е (со) = |
|
|* е(а~'ш)г dx -{- |
||||||
|
|
2 |
тс |
|||||
|
|
|
оо |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g—(a+№h fa |
D |
g{a |
|
|
g-(a+im)T |
|
||
2к |
a — ш |
|
|
10) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
D |
|
|
1 |
_ 1_ |
|
|
D a |
f |
2k |
|
a — ш + |
a -)- iw |
|
|
ic (a2 -f- ша) |
|
|
95
Определяем спектральную функцию по формуле (16):
ш
Da |
d u |
D |
, |
и |
Si (to) = |
- r ~.— , = |
— |
arctg — |
|
|
a- И- |
•к |
° |
a |
|
(0 |
|
|
|
arctg |
a |
|
Графики корреляционной функции, спектральной плотнос ти и спектральной функции изображены на рис. 10, 11 и 12 со
ответственно. Из графика спектральной плотности S- (ш)
видно, что наиболее существенный вклад в образование слу чайного процесса £(г) вносят случайные гармонические ко
лебания низких частот. Две третьих энергии флуктуационной
У Т
части процесса £ (£) распределено в полосе частот 0, а —
(с учетом того обстоятельства, что на отрицательные частоты энергия распределяется чисто условно).
Интересно проследить, как влияет изменение параметра a на перераспределение энергии флуктуационной части процес
са. Читателю рекомендуется |
проделать |
это самостоятельно. |
|
Пример 2. Действительная спектральная плотность |
(to) |
||
стационарного случайного процесса £ (() |
постоянна в полосе |
||
частот © ,• < « '< <»2 и равна нулю вне этой полосы. |
Найти |
||
корреляционную функцию |
(т) этого процесса. |
|
|
96
Решение. Читателя не должно смущать то обстоятельство, что функция sf (ш) разрывна в точках со, и о>2. Постоянство
спектральной плотности в некотором интервале частот озна-
Рис. 11
чает, что вся энергия флуктуации этого процесса равномерно распределена в этом интервале. Если же в некотором интерва
ле частот спектральная плотность равна нулю, то это означает, что гармонические колебания этих частот не вносят никакого вклада в флуктуационную часть процесса, попросту они явля-
7. Зак. 525, |
97 |
ются неслучайной составляющей процесса ? (£), и его можно представить в виде
$ (t) - с, (0 + ® (0 .
где tp (/) — неслучайная функция. Итак,
( |
при СО, < СО< СО, , |
'со, —
I |
о, |
СО< СО, при со > со3 , |
что можно получить из следующих соображений:
Dt — j |
(со) d a = j c d a = с (co3 — со,) , |
откуда
с =
Di
(О, — (О,
По формуле (3) определяем корреляционную функцию:
А^(т)= ^ |
(ш) cos сот d a = |
А |
Л cos сот d a |
А |
X |
|
со2—со, |
||||
о |
|
|
|
|
|
sin сот |
2 Di |
|
со, 4- со. . |
со.. — со, |
|
X |
7------------- Ч - COS |
2- Т _ . . 1 т s in _ |
4 _ ----- !— т . |
|
|
|
(со3 — со,)т |
|
1 |
2 |
|
Заметим, что корреляционная функция имеет устранимый разрыв в точке т = 0. Чтобы она стала непрерывной, доопре делим ее в нуле предельным значением
Кг (0) = Нш Кг (т) — Iim — |
— cos |
^ х х |
|
X - J-0 |
"->-0 ш2 |
® 1 |
^ |
СО, — СО,
|
S in ----- — |
— |
т |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
= А . |
|
Таким образом, |
|
СО, + (О, |
. (О, — со, |
|
|||
|
2 Di |
|
|
||||
Кг Ы == | |
(со2 — со,) т |
COS |
|
2 |
---- |
Т Sin ■ - |
при т^О, |
| |
Di при |
т = |
0 , |
|
|
|
|
что согласуется с общей теорией.
Графики спектральной плотности |
(ш) |
и корреляционной |
функции Ki, (т) показаны на рис. |
13 и 14 |
соответственно. |
Рис. 13
Вывод: В рамках корреляционной теории стационарный случайный процесс с непрерывным спектром полностью оп
ределяется математическим ожиданием mt и спектральной плотностью (ш),
99