книги из ГПНТБ / Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов
.pdfтс
|
|
|
щ(о = 2 |
<р*(о |
|
(о • |
|
|
|
• |
|
(5) |
||||||
|
|
|
|
|
|
*■=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
«ч (0 |
- |
м |
J |
с?, (О Е* (t) |
= |
2 |
Ж?Л (О Е* (О = |
|
|
|||||||||
|
|
|
А=1 |
|
|
|
|
|
|
А=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
?* (о м 5* (о = v |
<?* (о ^ |
(о. |
|
|
|
||||||||||||
|
А=1 |
|
|
|
|
|
|
А=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При доказательстве использованы свойства 1 и 4. |
|
— его кор |
||||||||||||||||
6. Если |
Е (t) — случайный процесс и |
Л'? (/ь t2) |
||||||||||||||||
реляционная функция, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Kt |
(t, |
t) |
= |
Di |
(t) . |
|
|
|
|
|
|
(«) |
||
7. Корреляционная |
функция действительного |
|
случайного |
|||||||||||||||
процесса симметрична относительно своих аргументов: |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
К%(*,, U) = |
Къ (t2, f,) . |
|
|
|
|
|
(7) |
||||||||
Свойства 6 и 7 были показаны в предыдущем параграфе. |
||||||||||||||||||
8. Если |
Е (t) |
— |
|
комплексный |
|
случайный |
процесс |
и |
||||||||||
К% {t\, h) — его корреляционная функция, то |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Къ ( / |
„ |
tt) |
= |
k i |
( С , |
ti) . |
|
|
|
|
|
|
|||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
/Се (Л, /2) ■= М Е (/!,) Е (t2) = |
м Е (^ ) |
Е (М = |
Л4 Е (/2) |
Е (^ ) |
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
/С{ |
(^г, |
t L) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Корреляционные |
функции |
К\ (^i, h) |
и |
Ki |
(/2, ifi) |
ком |
||||||||||||
плексного случайного процесса |
Е Ц) |
|
взаимно сопряжены. |
|
||||||||||||||
9. Нормированная корреляционная функция |
rj |
(t\t /2) |
слу |
|||||||||||||||
чайного процесса |
Е (0 |
|
не превосходит по абсолютной величи |
|||||||||||||||
не единицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
(*„ |
/2) | < |
1 • |
|
|
|
|
|
|
(9) |
|||
Это свойство следует из свойства коэффициента корреля |
||||||||||||||||||
ции случайных величин |
Е (£|) |
и |
Е (£>)• |
<р(() |
|
|
|
|
|
|
||||||||
10. Если |
Е (£) — случайный процесс, |
— неслучайная |
||||||||||||||||
функция и |
|
= |
св (t) |
Е (0 . |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
* |
, ) « ?( * , ) |
<р ( * з ) |
( Л . |
|
У |
- |
|
|
|||||||
20
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kn(tlt tz) = Мщ (/,) г] (t2) = |
м [c? (if,) £ (/,) |
— <р(/,) т $(/,)]Х |
||||||||
X |
[? (*з) 5 (^а> — <Р(0 ) mg |
(0 )] |
= |
Л* {? (Л) <Р(*2) I? (0 ) - |
||||||
- |
m 6 ( / , ) ] [S (/■>) - |
|
m g |
(i f2) ] |
= |
с? |
( М/ , ) ! «р( (Л/ \), ) (t2) = |
|||
|
= 'Р (Л) |
? |
(**) Ке (*,. |
/2) |
• |
|
||||
В частности, когда ® |
(/) = |
const, |
т. е. |
|
|
|||||
|
|
■п(0 |
= |
|
(0 |
, |
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М * Р |
0 ) = |
с 8 * е ( 0 , |
/Д. |
(10') |
|||||
Для дисперсии свойство 10 приобретает вид: |
|
|||||||||
|
D, (/) |
= |
«р* (О А |
(О . |
|
|
||||
|
11. Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•ч ( 0 |
= |
<р ( 0 |
5 ( 0 |
+ |
|
ф ( 0 . |
|||
где «с (0 и ф (/) — неслучайные функции, i; (t) — случайный процесс с корреляционной функцией Ка (/1X 2)1 то
К ч ( * „ 0 ) = -■? ( * ,) ? (/2) /че |
У , |
( И ) |
т е. прибавление неслучайного слагаемого к случайному про цессу не изменяет его корреляционной функции.
Доказательство.
от,, (0 -= <р(f) mg (t) + ф(/) .
Ч ( 0 = |
Ч ( 0 - |
щ ( 0 = <Р(О 5(0 Н- ф( 0 - |
* ( 0 |
mg(/) — Ф(/) = |
|
= |
? (О (5 (0 - mg (/)) ^ <? (О £ (О |
||
и на основании свойства 10 получаем (11). |
г, (/) |
|
||
Для |
дисперсии случайного процесса |
формула (11) |
||
запишется так: |
|
|
|
|
D n (t) = X (t) D-, (t) .
12. Если
и (0 = 5, (0 + 52 ( О ,
где с, (if) и £2 (0 — действительные случайные процессы, то
21
Kn (tu |
t2) = |
j<h (tu |
t3) + |
(tb |
t2) |
+ |
(t, |
t2) + |
|
|||||
|
|
|
|
+ K ^ 1 (tl, t i ) . |
|
|
|
(12) |
||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
K n (A. /2) = |
Mri(tih (t2) = |
>W[li(fi) + |
l s(^))[5°i(^) + |
S2(/2)] = |
||||||||||
= M 1 1 ( 1 ^ 2 ) |
+ U t i & |
(**) |
+ ii(A )€a(^) |
+ laC^t) 12(^2)] |
= |
|||||||||
- м ! ,( м |
е а д + м Ы ) |
l,(^2)+iw|1(^) u |
t 2) f л а д ) а д ) |
= |
||||||||||
= ^£, (Л. /3) |
+ K i^ |
(Л, |
^2) + |
|
(^i> |
^2) + |
(ti, t2) . |
|
||||||
Если случайные процессы E, (/) и |
E2 (/) |
некоррелированы, |
||||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K^i2 C^i. |
^2) |
=* 0 |
|
|
|
|
|
|||
и |
|
/С, (/„ f2) = /Се, (f,, |
it) |
+ |
|
|
(/„ /,) . |
(13) |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
Формула (13) обобщается на любое конечное число слагае |
||||||||||||||
мых. Пусть |
qk (t) — последовательность попарно некоррели |
|||||||||||||
рованных случайных процессов, |
K%k |
(/], |
t2) |
— последователь |
||||||||||
ность их корреляционных функций ( k = l, |
2........п) и |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
71 (0 |
= 2 |
Е* (0 . |
|
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
к=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ а д , Q - |
2 |
а д < - |
**)• |
|
(14) |
||||||
|
|
|
|
|
|
А=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если члены последовательности |
Eft (/) |
попарно коррелиро- |
||||||||||||
ваны, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а д , |
а д |
|
i ; |
(«1. *2) -ь 2 |
К е а д , |
*2) -f |
/ а д л . ^ )]. (is - |
|||||||
|
|
|
А=I |
|
к, г—\ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
кФг |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если процессы Е (0 и т](^) — комплексные и C(£) = E(/)+ii(i), |
||||||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а д , а д а д , а д / а д , а д / с а д , а д / а д а д У , о в )
так как
К^ц {t2, /j) — К-ф (Л, t-i) •
Ч
22
Полагая в формулах (12) — (IS) ti = i2 — ts получаем соот ветствующие выражения для дисперсии:
£\ (0 |
= |
A , (О + Dh |
(t) + |
2 Кчч (t, t) |
, |
(12') |
|||
Dn (t) |
= |
D4 (t) |
+ D4 ( t ) , |
|
|
|
(13') |
||
A ( 0 |
= |
£ |
D4 |
(t) , |
|
|
|
|
(14') |
|
|
*= i |
|
|
|
|
|
|
|
Dn (t) |
= |
£ |
Dik (t) + |
2 2 |
KVv(A |
t,) , |
(15') |
||
|
|
fc*l |
|
|
A, r=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ьфг |
|
|
|
|
D : (t) - |
D: (0 |
+ D , (/) + |
2 Re |
(*, |
t) . |
(16') |
|||
Рассмотрим некоторые примеры на применение перечис ленных свойств.
Пример 1. Задан случайный процесс
d {t) = 5 sin Ы ,
где ш = const, <; — случайная величина с плотностью распре деления вероятностей
|
h |
М = |
О |
при |
х < |
0 , |
|
|
|
|
\е~и |
при |
х > |
0 . |
|
||||
|
|
|
|
||||||
Найти характеристики процесса |
£ (t). |
|
ожидание и диспер |
||||||
Решение. |
Вычислим математическое |
||||||||
сию случайной величины |
Е: |
|
|
|
|
|
|
||
со |
|
|
X^ |
|
|
-Ьг---e~uj |
=4- • |
||
AIE, =Xj хе~Хх dx = |
х |
е |
|||||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсию |
£ вычислим по формуле: |
|
|
||||||
|
|
Dq |
= |
Ж§2 |
- |
М°- I , |
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л4£2= X |
Г x-e-Xtdx = ) J ------ у— <?~х-г ------------ |
хе~Хх — |
|||||||
|
|
|
2 |
е -\х |
|
со |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
X3 |
|
|
Э |
X2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
й
D ls = |
|
|
1 |
1 |
|
X2 |
|
X2 |
X2 |
||
На основании свойства 1 |
|
|
|
||
rtii (t) = |
М § sin a t |
= |
sin wt Mi, |
sin at . |
|
Корреляционную функцию |
процесса |
£ (f) определим по |
|||
формуле (10) |
|
|
|
|
|
(Л» h) — М [ £ |
1 |
|
sin a t 2 = -^y |
1 |
|
-----sin a t t |
sin o>£j sin at2 , |
||||
|
D, (t) |
= |
|
X2 sin2 a t . |
|
Пример 2. Найти характеристики случайной гармоники
? (/) = Л cos (at -Ь <f) ,
где А и tp — независимые случайные величины, причем МА —т,
МА2= о2, а случайная величина |
<р распределена равномерно |
||||
в интервале (0, |
2%), |
(со = const). |
|
|
|
Решение. Случайную гармонику представим в виде |
|||||
|
5 |
(t) — a cos a t |
+ b sin coif , |
||
где fl = /4cos®, |
b — —Л sin <?. В силу независимости случай |
||||
ных величин Л и ? |
будут независимыми также Л и cos ®, Л и |
||||
sin «, а с ними величины а и Ь. В примере § |
1 нашли |
||||
М а = Mb = |
0; |
Da = Db = - - о2; |
МаЬ = 0 . |
||
Поэтому
Л1? (t) = М (a cos со£ + b sin at) = cos cof Ma -|- sin at Mb = 0.
A'e (tu |
t2) = M (a cos m/fj-f-ft sin cofj (a cos a t 2-\-b sin wt2) = |
M (a2 |
cos a t Lcos co/3-f-62 sin ooft sin шt2+ a cos co^1b sin at2 + |
+ a cos |
cof2 b sin a t {) = Маг cos cof, cos w/2 f Mb2 sin ш/, sin o>/2 + |
-f Mab (cos |
sin |
a t 2 -f- cos cof2 sin cof,) = |
|
= -^- o2(cos co/t cos cof2-fsin |
cot : sin cof2) = |
o2 cos ш(t2 — i t) . |
|
\ |
|
|
|
24
Полагая h = h = t , находим
D i(t) = Т а2<
Пример 3. Найти характеристики случайного процесса
П
5 ( 0 = 2 («А C0S ШАt + bk sin ш* t) ,
к—\
где а к а Ьк — взаимно некоррелированные случайные величи ны с нулевыми математическими ожиданиями и
дисперсиями |
|
|
|
|
|
|
||
D ak = Dbk = |
о| |
{к = |
1, 2 , . . . , п) . |
|||||
Решение. По условию задачи |
|
|
|
|
|
|||
М ая аг = |
Mbk Ьг = 0 при |
к ф г |
и |
М ак Ьг — 0 , |
||||
при всех /гиг; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
(ак cos шк t |
-f bk sin шк t) |
|
||||
т% (/) = М |
= |
|||||||
|
*=I |
|
|
|
|
|
|
|
/I |
|
|
П |
|
|
|
|
|
— ^ |
M ak cos шА^ -f V |
Mbk sin |
£ = |
0 , |
||||
A=1 |
|
|
A-i |
|
|
|
|
|
и на основании формулы (14) |
и решения примера 2 имеем |
|||||||
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ki (£j, /•>) = У |
оI (cos соАt xcos шА |
4- |
sin wAZ1, sin coAt2) = |
|||||
iwJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A = ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
° * cos |
|
|
~ |
*>) ■ |
|
|
|
A=1 ' |
|
|
|
|
|
|
|
Полагая ti = t2= t, получаем дисперсию процесса |
|
|||||||
|
|
|
А=1 |
|
|
|
|
|
Из последнего равенства следует, |
что при суммировании |
|||||||
некоррелированных случайных гармоник их средние мощности складываются.
Пример 4. Найти характеристики случайного процесса %(t),
который может принимать только два значения: |
+1 |
и — 1, |
причем число перемен знака процесса в интервале |
(t, |
t + ' т) |
распределено по закону Пуассона с параметром Хт. |
|
|
25
Решение. Так как процесс может принимать значения толь ко ± 1, то, очевидно, его математическое ожидание равно нулю:
mi {t) = 0 .
Введем события:
А — четное число перемен знаков за время т; В — нечетное число перемен знаков за время т. Тогда
Ki (t„ ts) = Ki (t, t + x ) = M S ( t ) S ( t + T) = 1 •P (A) -
-1 •P (B) .
Вычислим вероятности событий А и В:
|
|
#=0 |
p p k ) = i i ^ r r |
= c h u ’ |
||||||||
|
|
|
|
k=Q |
|
|
|
|
|
|
||
p |
{В) = |
00 |
P (2k + |
1) = |
№ () *тЛ2*-И |
^ |
^ |
Sh b |
||||
V |
у |
7 I ? - W r |
||||||||||
|
|
t - o |
|
|
|
|
£ i,(2 A + .l)! |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
*=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
K% (Л t + |
x) |
= |
e~1' (ch Xx — sh Xx) = |
|
|
|||||
|
|
_ |
e ->, |
|
|
|
|
^ |
_ e - 8X, |
|
||
|
|
“ |
|
|
|
|
2 |
|
|
“ |
• |
|
|
При |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t -> o |
Ki (/, t |
+ |
T) ^ |
Ki (Л t) |
= Di {t) |
|
||||
и, следовательно, |
Di (t) = |
1. |
|
|
|
|
|
|||||
|
Рассмотрим пример комплексного случайного процесса. |
|||||||||||
|
Пример 5. Найти характеристики комплексной случайной |
|||||||||||
гармоники |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
V ) = |
^ |
, |
|
|
|
|
где |
5 = Ae‘f, |
со = const, |
|
А и ® — независимые |
случайные |
|||||||
величины, |
причем МА —0, DA — o2 |
и случайная |
величина <р |
|||||||||
распределена равномерно в интервале (0, |
2я). |
|
|
|||||||||
|
Решение. По свойству 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
mi (t) — ем Ж5 = 0 ,
так как
Щ = MAefv = МА ■Ме‘? = 0 .
По определению |
|
|
|
Ki (f„ t2) |
= м\ (7 J l |
(t2) = |
= |
= M Aeli9+lolJ |
A e-11**"*** = |
eiu,(t^ ^ |
M A 2 = o2 e,M('i-V . |
Положив t\ —l2= t, получим
D £ (t)
§5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
ИИНТЕГРИРУЕМОСТЬ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Рассмотренные свойства математического -ожидания и кор реляционной функции случайного процесса показали влияние на эти характеристики линейных алгебраических операции над случайными процессами (сложения случайных процессов и умножения их на неслучайные множители). Наша задача со стоит в том, чтобы основные операции математического ана лиза (предельный переход, дифференцируемость и интегрируе-' мость) детерминированных функций перенести на случайные функции Е ( 0 аргумента t й выяснить влияние этих операций на основные характеристики процесса, составляющие основу корреляционной теории.
Однако обычное понятие предела детерминированной функ ции («поточечной сходимости») нельзя перенести на случай ный процесс, так как сечение процесса Е (t) в любой момент t является случайной величиной в общем случае с 'бесконечным множеством возможных значений. Свойства отдельных реали заций процесса не могут представлять большого интереса, ибо эти свойства дают слишком малую информацию о нем. Для нас более важны усредненные в каком-то смысле свойства слу чайного процесса Е (t ) «в целом». В- основу рассмотрения та ких свойств будет положено понятие о сходимости случайных
величин в смысле среднего квадратического. |
Напомним, |
что |
такое сходимость в среднем второго порядка. |
|
|
Последовательность случайных величин Et, |
Е2 |
• |
называется сходящейся в среднем квадратическом к случайной величине Е. если
lira M ( E „ - E f - = 0 .
Л —► оо
Величина Е называется среднеквадратическим пределом последовательности {Ея}. Для сходимости в среднем квадра тическом применяют обозначения
СК lim Еп = £ или l.i.rn. Ел = £ •
27
Отметим важные для дальнейшего свойства СК предела:
1) М (l.i.m. ?„) = lim М\п = М %,
П —> « |
Л —> аэ |
2)lim £ > ( ? „ - £ ) = 0 .
П—>оо
Теперь можно перейти к понятию предела и непрерывности случайного процесса.
Определение 1. Случайная величина называется преде лом случайного процесса £ (t) (пределом в смысле среднего квадратического) в точке t = t a, если
lim М (I (t) - |
10у- = 0 . |
|
|
t-+t0 |
|
|
|
В этом случае будем писать |
|
|
|
l.i.m. I ( 0 |
= |
Ъ0 |
|
t-ft0 |
|
|
|
или |
|
|
|
СК Ига I (t) |
= 50 . |
|
|
t-+e0 |
|
|
|
Очевидно, что |
|
|
|
lim M l (0 |
= |
Afg0 . |
|
' “►'о |
|
|
|
Теперь легко ввести понятие непрерывности процесса I |
(I) |
||
в смысле среднего квадратического. |
(в |
||
Определение 2. Процесс Е: (t) |
называется непрерывным |
||
смысле СК) в точке t = t a, если |
|
|
|
1.1. m. l ( t ) = I (/„) .
/-+/0
Если процесс I (t) СК непрерывен при каждом t из неко торого промежутка Г, то он СК непрерывен во всем этом про межутке.
Покажем, что математическое ожидание ni%{t) СК непре рывного случайного процесса I (t) — непрерывная функция в обычном смысле.
Действительно, если
1.1. m. I (t) «■ l (t0) .
/_y/o
TO
M (l.i.m l (()) — lim M £ { t ) = M l (/„) .
‘-*'a
28
Так как nil (t) — непрерывная функция в обычном смысле, то центрированный случайный процесс
I (*) = ? (О — т (t)
будет СК непрерывен потому, что
l.i.m.£ ( t) = l.i.m. |
|£(/) — |
отДг1)! — |
l.i.m. t(t) — lim me (/) = |
= |
£ (t0) - |
ПЦ (t0) |
= £ (t0) . |
Можно показать, что и корреляционная функция Ki (tu to) непрерывна по обоим аргументам t\ и t2, если процесс £ (t) СК непрерывен. Докажем более сильное утверждение.
|
Теорема. Для того чтобы процесс |
с (t) |
был СК непрерывен |
|||||||||||
в промежутке (0; Г), |
необходимо и достаточно, |
чтобы его ма |
||||||||||||
тематическое |
ожидание Щ (t ) |
и |
|
корреляционная |
функция |
|||||||||
Ki |
(t\, t2) были непрерывными |
функциями |
при всех t, |
tu |
tа |
|||||||||
из промежутка (0; Т). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Докажем необходимость. Выше уже было показано, что из |
|||||||||||||
СК непрерывности |
процесса |
£ (/} |
следует |
непрерывность |
||||||||||
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
At, |
и |
m% (t) и СК непрерывность £ (Л. Дадим приращения |
||||||||||||||
Д/2 |
аргументам t\ и t2 соответственно. Тогда |
|
|
|
|
|
||||||||
Ki (t, + At,x K + A t J - K i (/„ |
t2) = |
Щ (/, + |
Д^,)£ (/, + |
Д/-0- |
||||||||||
- |
/И£ (г1,) £ (t3) = М [£°(f, + |
Дtx) ! |
|
(t2 + M2) ~ |
£ (t,) |
£ (/2)] = |
||||||||
= |
М [£ (/1+ Д*,)|(/а+Д*8) -£ (^ Н Д Ш * з ) |
+ |
W ,\ A i,)\ ((J |
- |
||||||||||
|
- |
i ( t {) l |
(/3)1 = |
Mi (t , + At,) |
[£ (t, + |
ЛК) |
- l (г,)] |
+ |
|
|||||
[ £ ( / , + М , ) - £ ( / , ) [ •
Известно, что
I Ккп| < V D\ D 'i ,
поэтому
IKi (t, + Дt„ + ЛК) - Ki (t„ t2) I <
< V D £ (t, -f- At,) M i°£(t2 + At2) - £ (*,)]* +
Л V DZ, (t2) M [£ (t, + At,) - £ (*t)]3.
29