книги из ГПНТБ / Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов

Пример 4. На вход устройства, работа которого описывает­

ся оператором

i

О

поступает случайный процесс £ (t) с характеристиками

т (0 = 2/ + 3 , Ki {ty, U) = е~^+^ .

Найти характеристики процесса .т, (t) на выходе устрой­ ства.

Решение. Используя свойства математического ожидания и корреляционной функции случайного процесса, а. также воз­ можность перестановки операций математического ожидания и интегрирования, находим

/

3

2 т- ' + '■= Ь [р - т (,+3'!- т fj +',=-г- Г'+Л

41.

Р е ш е н и е .

§ 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. (Общий случай)

В параграфах-4 и 5 рассмотрены некоторые преобразова­ ния случайных процессов (умножение на неслучайный множи­ тель, сложение, дифференцирование и интегрирование) и вы­ яснено влияние этих преобразований на основные характерис­ тики процесса — т (i) и Kt. (tufa)- Дальнейшая наша цель — рассмотреть преобразования случайных процессов бо­ лее общего порядка и изучить влияние этих преобразований на основные характеристики процесса. В общем случае для произвольных преобразований эта задача не всегда разреши­ ма. Но для наиболее простых — линейных однородных и неод­ нородных — преобразований задача отыскания основных ха­ рактеристик преобразованных случайных процессов по харак­ теристикам исходных процессов решается точно и до конца. Приступим к изучению линейных преобразований.

Пусть задано преобразование

т. е. задан оператор А на множестве функций {х (£)}, преобра­ зующий это множество в множество функций {у (£)}.

Преобразование (1) называется линейным однородным, ес­ ли оно удовлетворяет условиям:

1. Асх (t ) = сАх (t), с = const .

2. А [х, (t) + х 2 (0 ] = Аху (t) + Ах, (£) .

Первое условие означает, что постоянный множитель мож­ но выносить за знак оператора преобразования; это условие называется свойством однородности преобразования. Второе условие означает, что преобразование суммы двух функций равно сумме преобразований этих функций; его называют свойством аддитивности преобразования. Будем называть преобразование (1) линейным однородным, если оператор пре­ образования А однороден и аддитивен, а сам оператор будем называть линейным однородным оператором и обозначать сим­ волом L.

Нетрудно убедиться, что рассмотренные нами операции дифференцирования и интегрирования случайных процессов являются линейными однородными операциями, так как обе удовлетворяют условиям 1, 2, т. е. операторы дифференциро-

d

вания -гг и интегрирования суть линейные однородные at

операторы. Преобразование

где «о (t) — вполне определенная функция.

Линейный неоднородный оператор будем обозначать LH.

Линейное неоднородное преобразование получается из ли­ нейного однородного путем прибавления некоторой функции.

Примеры линейных неоднородных операторов:

1. £ и * (0 = ^ р - + < ?(0;

t

2. L Hx (0 = J g (x) x (t) dx -f <p(t) ; 0

3. I u x (t) = g (/) x (t) + ф (t) ,

где <p(/) и g (0 — произвольные, вполне определенные функ­ ции, a x(t) — преобразуемая оператором функция.

Все другие преобразования

у (/) = Ах (/) ,

43

но удовлетворяющие условиям 1, 2, называются нелинейными, а операторы таких преобразований — нелинейными операто­ рами.

Примерами нелинейных операторов могут быть операторы

у' (0 4- в (t) In у (О = л- (0 ,

и т. п.

Будем заниматься только линейными преобразования­ ми случайных процессов. Преобразование случайных процес­ сов осуществляется какими-либо динамическими системами. Под «динамической системой» понимают любое устройство, имеющее вход, куда поступает случайное воздействие, и вы­ ход — «место», где получается результат преобразования слу­ чайного воздействия. Другими словами, динамической систе­ мой называется всякая физическая система, состояния кото­ рой в любой момент времени определяются воздействием внешних факторов («возмущений»). Примером динамической системы может служить любое радиоприемное устройство. Входом системы здесь является антенный контур приемника, а выходом — нагрузка анодной цепи последнего каскада уси­ лителя низкой частоты. С течением времени внешние возмуще­ ния, действующие на вход системы, меняются, следовательно, меняется и состояние системы, что обнаруживается на ее вы­ ходе. Внешние возмущения, действующие иа вход системы, математически можно описать как некоторую функцию време­ ни x(t) (если возмущения случайны, то, естественно, функция x{t) — случайная), а на выходе получаем другую функцию времени y(t), и действие системы заключается в преобразова­ нии функции x(t), поданной на ее вход, в функцию у(1), полу­ чаемую на выходе системы. Для нас совершенно несуществе­ нен физический смысл входных возмущений, действующих на динамическую систему, так же как и несущественно знание со­ стояний системы. При изучении динамических систем важно лишь исследовать те математические операции, с помощью которых входное возмущение x(i) преобразуется системой в функцию y(t) на ее выходе, т. е. исследовать лишь оператор системы.

44-

Динамическая система, оператор которой линеен, называ­ ется линейной динамической системой. Простейшим примером

тических операций, по которым система преобразует входное

описывается либо линейным дифференциальным уравнением

либо системой таких уравнений и, следовательно, оператор си­ стемы есть иитегро-дифференциальный оператор или совокуп­ ность таких операторов. Это обстоятельство будет использова­ но при определении основных характеристик на выходе линей­ ной системы по основным характеристикам непрерывно посту­ пающего случайного воздействия на вход системы. Предвари­ тельно заметим, что операция осреднения по вероятности (опе­ рация математического ожидания) тоже является линейным преобразованием, так как это преобразование однородно и ад­ дитивно. Поэтому М — линейный однородный оператор.

Пусть на вход линейной динамической системы непрерыв­ но поступает случайное воздействие £ (t) с математическим ожиданием те, (t) и корреляционной функцией Kz (ti, t2), а

•45

L — оператор системы. На выходе системы будем получать преобразованную случайную функцию т) [t), связанную с 5 (t) соотношением

Мы применили оператор М к оператору L и получили но­ вый оператор ML, который называют произведением операто­ ров. В общем случае произведение операторов не коммутатив­

произведение матриц не всегда перестановочно). Но оператор линейной динамической системы, как отмечалось выше, цсегда есть интегро-дифференциальный оператор. В § 5 было доказа­ но, что операция математического ожидания перестановочна с операциями дифференцирования и интегрирования. Поэтому оператор М коммутирует с L, т. е. ML — LM и, следовательно,

ЛЬ\ (0 = LAf§ (0 = Lmt (0 .

Итак,

Определим корреляционную функцию /С, (L, U) процесса "Л(£) на выходе системы. Сначала найдем центрированный случайный процесс

ння оператора L к центрированному процессу Е, (t). Теперь

Кц (*„ /а) = Му (/,) *7, ( Q = М [Lj £ (*,) L, | (t3)] .

Здесь L\ и Li означают, что в первом случае оператор L применяется по переменной L. а во втором — по переменной ti. Так как операторы М и L перестановочны, то

1<п (Л, L) = L, L2 М £ (*,) £ (L) = L, L2 Kt (flt L2)

или, окончательно,

46

н у ж н о п р и м ен и ть э т о т о п е р а т о р к м а т е м а т и ч е с к о м у о ж и д а н и ю

Формулы (5) и (6) получены в предположении, что опера­ тор динамической системы однородный. Если оператор систе­ мы линейный неоднородный, то его можно представить в виде

1 п = £-!-< ?(/ ),

где ? (t ) — неслучайная функция. Тогда, на основании формулы (5), получим

а на корреляционную функцию Кт, (t\, г2), как известно, при­ бавление неслучайного слагаемого не влияет.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. На вход динамической системы поступает слу­ чайная функция £ (t), характеристики,которой известны:

Работа системы описывается дифференциальным уравне­ нием

У' (t) + 2 ty{t) = x (t) .

Найти характеристики реакции системы Ч) (t), если извест­ но, что у) (0) — некоррелированная с функцией £ (/) случай­ ная величина, причем

M r , (0) = 1, D r , (0) = 2 .

Решение. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что частное решение линейного уравнения первого порядка

У' + Р (х) у = Q (x) , .

удовлетворяющее начальному условию у{х0)=уо, можно за­ писать в виде

47

С помощью этой формулы запишем решение уравнения, описывающего работу динамической системы

Корреляционная функция суммы некоррелированных случай­ ных процессов равна сумме их корреляционных функций. Сле­ довательно,

48

Пример 2. На вход динамической системы поступает слу­ чайная функция

5 (0 = 1 + 5, 1 + е, ^ ,

где t, и Е2— некоррелированные случайные величины с нуле­ выми математическими ожиданиями и дисперсиями Ос, — 1, DE., => 2. Работа системы описывается дифференциальным уравнением

Общими методами либо методами операционного исчисле­ ния можно показать, что решение уравнения (*) имеет вид:

4 (0 = [4 (0) + 2 Е3 — 1] cos t + [V (0) — Ei] sin t +

+ 1 - 2 Ез + 5i * 4 5a i 2

или

4 (0 = 1 — cos t + Ei (t — sin t) + E2 (t2 -p 2 cos if — 2) 4-

-p 4 (0) cos if p 4' (0) sin t .