книги из ГПНТБ / Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов

где f0 — момент включения системы. Когда известна весовая функция g(t) системы, то характеристики выходного процесса т) (£) определяются через соответствующие характеристики входного процесса по общим правилам, рассмотренным в па­ раграфе 5 главы I.

Если устремить t 0 оо (это соответствует тому, что си­ стема включена бесконечно давно, все переходные процессы закончились и система работает при установившемся режиме), то процесс

на выходе стационарной линейной системы будет уже стацио­ нарным в широком смыслу Действительно, если £ (/) — ста­ ционарный случайный процесс, то

разности аргументов t2—tt и, следовательно, процесс т) (t) ста­ ционарен в широком смысле.

Нас интересует метод получения характеристик тч и /^(т) на выходе системы при установившемся режиме с помощью спектральной теории. Вернемся к передаточной функции Ф (р) системы. При р = ио передаточная характеристика Ф {ш ) называется частотной характеристикой системы, которая в об­ щем случае является комплексной величиной. Физический смысл частотной характеристики Ф (гш) ясно виден на при­

110

передаваемая энергия равна приходящей, умноженной на ко­ эффициент энергетической передачи, а именно на Ф(ссо)р.

Пусть (со) — спектральная плотность процесса Е (/) на входе системы, a (ш) — спектральная плотность процесса

"Л(*•) на выходе системы. Средняя мощность флуктуации про­ цесса т) (t) определяется равенством

со

0 , = [ s, (®) d a .

С другой стороны, в соответствии с тем, что передаваемая энергия равна приходящей, умноженной на коэффициент энер­ гетической передачи, имеем

L\ = f I Ф (гш)|‘ s%(со) rfoj ,

откуда

Итак, для определения спектральной плотности sr (ш) про­

цесса -г] (t) на выходе стационарной линейной системы, рабо­ та которой описывается оператором (2), требуется найти спек­

тральную плотность (со) процесса с (/), поступающего на

вход системы, и умножить ее на квадрат модуля частотной ха­ рактеристики Ф (ш), причем существование спектральной

плотности Хт,(со) на выходе системы процесса т, (t ) гаранти­ руется сходимостью интеграла

со

j I Ф (га) р (со) d ш.

Чтобы получить формулу (12), мы требовали существова­ ния m-й производной процесса Е (t). Однако, даже в тех слу­ чаях, когда на вход стационарной системы поступает недиф­ ференцируемый случайный процесс Е (0 и, следовательно,

процесса Е (<) определяется спектральная плотность s (со)

Ш

процесса т) (t) с помощью формулы (12), причем требуется только сходимость интеграла

j | Ф (ш ) |2 (ш) dw ,

—сю

что в реально существующих системах всегда имеет место. Здесь важно только, чтобы в уравнении (2) было т < п. Тогда квадрат модуля частотной характеристики |Ф (гш)|2 будет ограниченной функцией (порядок ее числителя по крайней ме­ ре на две единицы ниже порядка знаменателя) и существова­ ние интеграла

даже в том случае, когда в уравнении (2) т —п.

Наконец, для определения математического ожидания тл отклика •») (t) по математическому ожиданию /я£ воздействия

I (t) на стационарную линейную систему достаточно в равен­ стве

рассматривать как гармоническое колебание нулевой частоты. Таким образом, полное решение поставленной задачи со­

стоит из следующих шагов:

1. По математическому ожиданию >п. воздействия 5 (0 систему определяем математическое ожидание tnv отклика т( (t) системы:

112

Выходное напряжение v(t) равно падению напряжения на емкости

1л

v(0 = —gr- ^ i (х) dx .

Дифференцированием последнего равенства ио t выразим ток через напряжение:

i (/) =-- С

dv (t) dt

Подстановка тока в уравнение (14) приводит к дифферен­ циальному уравнению, описывающему работу ДС-фильтра:

CR dt— |- V и .

Находим частотную характеристику фильтра:

R C i i + I '

Спектральная плотность выходного напряжения имеет вид:

g o ______

R 2 С2 со2 + 1

Наконец, вычисляем корреляционную функию выходного напряжения:

I W ^ T T da

Для вычисления несобственного интеграла продолжим аналитически подынтегральную функцию на всю комплек­ сную плоскость и воспользуемся леммой Жордана.

114

-go RC

что вполне согласуется со свойствами корреляционной функ­ ции стационарного случайного процесса. Объединяя резуль­ таты вычисления интеграла в одну формулу, получаем

к * Ь ) = ~ Ж ~ е ' ^ '

Итак, выходное напряжение v(t) будет отличным от бело­ го шума, так как его спектральная плотность отлична от по­ стоянной на всей оси частот. Энергетический спектр белого

•шума на выходе стационарной линейной динамической систе­ мы с точностью до постоянного множителя совпадает с квад­ ратом модуля частотной характеристики линейной системы. Это обстоятельство используется для определения ширины полосы пропускания (в энергетическом . смысле) линейной динамической системы. Ширину полосы пропускания системы полагают равной длине основания прямоугольника, высота которого равна максимуму выходной спектральной плотности, а площадь — дисперсии выходного процесса, при условии, что на вход системы подан белый шум.

Если функция зч(ш)=| Ф(гш)|2^0 имеет максимум в точке ш0, равный (ш0). то ширина полосы пропускания |ш— со0|< < Дш линейной системы в энергетическом смысле вычисля­ ется по формуле

115

В нашем примере спектральная плотность выходного на­ пряжения

Решение. Входное Рис. 18 напряжение u(t)

равно сумме паде­ ний напряжения на сопротивлении R, индуктивности L и емко­ сти С\

*0

а выходное напряжение u(t) равно падению напряжения на емкости С:

dx .

Исключая из этих соотношений ток i(t), получаем

116

Частотная характеристика фильтра имеет вид

Несобственный интеграл можно вычислить при помощи теории вычетов. При этом следует иметь в виду, что знамена­ тель подынтегральной функции не должен иметь действи­ тельных корней. В противном случае интеграл был бы расхо­ дящимся, а дисперсия выходного напряжения — неограни­ ченной.

Дисперсия выходного напряжения зависит только от двух параметров У? и С и не превзойдет заданного значения D при

RC >

Itjfn

D

Пример 3. На вход динамической системы, работа которой описывается дифференциальным уравнением

117

Продолжим аналитически подынтегральную функцию на всю комплексную плоскость и для вычисления интеграла при­ меним теорию вычетов:

При х > О

118

119