книги из ГПНТБ / Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов

§ 3. УЗКОПОЛОСНЫЕ И ШИРОКОПОЛОСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. БЕЛЫЙ ШУМ

Спектральная теория стационарных случайных процессов позволяет разделить их на два важных класса: узкополосные п широкополосные.

Стационарный случайный процесс Е (t) называется узко­ полосным, если его спектральная плотность s- (го) (его энер­

гетический спектр) существенно отлична от нуля в относи­ тельно узком интервале частот |ы — го0 1< Д«> и равна нулю или весьма быстро убывает к нулю вне этого интервала.

Спектральная плотность s; (&>) узкополосного случайного

процесса Е (£), как правило, в точке го = го0 принимает свое наибольшее значение. Вся или почти вся энергия флуктуации такого процесса распределена в полосе частот о)0 — Дго < со < <ш0-|-Д;о. Примерный график спектральной плотности s, (со)

узкополосного случайного процесса показан на рис. 15. К уз­ кополосным случайным процессам можно отнести и процесс, рассмотренный в примере 2 предыдущего параграфа.

Впротивоположность узкополосным случайным процессам

кширокополосным относятся такие процессы, в среднюю мощ­ ность флуктуаций которых вносят существенный вклад гармо-

100

иические колебания всех или почти всех частот, начиная с ну­ левой. Спектральная плотность s $ (со) широкополосного слу­

чайного процесса £ (/“) существенно отлична от нуля почти на всей полуоси частот 0<со<.оэ.

Примерный график спектральной плотности широкополос­ ного случайного процесса представлен на рис. 16. Следует, од­ нако, иметь в виду, что реально существующие как узкополос­ ные, так и широкополосные случайные процессы обладают ко­ нечной мощностью. Поэтому для любого широкополосного слу­ чайного процесса

j" sE(ш) da> < -f- со .

о

Большой интерес представляют широкополосные случай­ ные процессы, спектральная плотность которых постоянна при всех частотах,' т. е. IV1.•

S$ (со) =3 const.

Стационарный случайный процесс £ (t), энергетический спектр которого постоянен во всем диапазоне частот (s£(co)=c,

О со < со), принято называть «белым шумом». Понятие бе­ лый шум аналогично понятию «белый свет», который получает­ ся в результате равномерного смешения всех цветов видимого

101

Спектра. Реально такие процессы не существуют, так как энер­ гия белого шума не ограничена. Однако это понятие (белый шум) является удобной математической абстракцией тех про­ цессов, спектральная плотность которых примерно постоянна во всей интересующей нас полосе частот. Так как реально су­ ществующие процессы обладают ограниченной мощностью, то при рассмотрении белого шума полосу частот нужно всегда предполагать конечной. В противном случае получится либо бесконечная мощность, либо нулевая спектральная плотность.

К белым шумам относятся, например, тепловой шум, дро­ бовой эффект постоянного тока, флуктуации электродвижущей силы шумов в сопротивлении и т. п.

Между шириной спектра и корреляционной функцией ста­ ционарного случайного процесса существует тесная связь. Что­ бы выяснить влияние корреляционной зависимости между раз­ личными сечениями стационарного случайного процесса на ширину его спектра, обратимся к примерам.

В примере 1 предыдущего параграфа рассмотрен стацио­ нарный случайный процесс Е (t) с корреляционной функцией К\ (х) = De- ’!'1 и комплексной спектральной плотностью

s, («)

Da

г. (а2 + со2)

Очевидно, что на степень статистической связи между различ­ ными сечениями Е (Ч) и £ (^) процесса Е (t) определенным образом влияет параметр а, который можно назвать коэффи­ циентом затухания корреляции между различными значения­ ми процесса Е(0- С ростом а корреляционная функция Кг (у) будет убывать. При любом фиксированном т Ф О

ски становятся некоррелированными. В то же время с ростом

будет уменьшаться, точки перегибов кривой — отодвигаться

102

вправо и влево от оси ординат (точками перегиба графика

У Т

sc (ш) будут ш= + а — ; см. рис. 11).

Если же а уменьшать, то корреляционная зависимость между различными сечениями процесса 4 (/) будет возрас­

тать, максимум спектральной плотности s5 (ш) в точке ш— О

Таким образом, параметр а влияет на распределение энер­ гии процесса 4 (0 по частотам, и, следовательно, распреде­ ление энергии по частотам флуктуационной части стационар­ ного случайного процесса с непрерывным спектром зависит от «тесноты» статистической связи его различных сечений. Чем «теснее» статистическая связь между различными сечениями процесса (корреляционная функция Кг (т) медленно убывает к нулю при т -5- оо), тем уже полоса частот, в которой распре­ делена почти вся энергия флуктуационной части этого процес­ са. И наоборот, чем «слабее» статистическая связь между раз­ личными сечениями процесса 4 (t ) (корреляционная функция Кг (т) энергично стремится к нулю при т -* оо), тем шире полоса частот, в которой распределена почти вся энергия флуктуационной части этого процесса. В предельном случае, когда различные сечения 4 (А). 4 (^г) процесса 4 ( 0 стано­ вятся практически некоррелированными, мы имеем дело с «бе­ лым шумом».

Пример. Корреляционная функция стационарного случай­ ного процесса 4 (0 имеет вид

Кг (т) = De~*-? (а > 0, D > 0) .

Найти полосу частот, в которой распределено 90% энергии флуктуационной части этого процесса. Каким следует выбрать а, чтобы эта полоса не вышла за пределы интервала (0; 1)?

Решение. Найдем комплексную спектральную плотность процесса:

103

Вся энергия флуктуационной части процесса равна его дис Персии; полосу частот, в которой распределено 90% этой энер гки,определим из уравнения

где Ф(я) — функция Лапласа:

* Р

о

Таким образом,

Ф= 0,9 .

У'2а)

104

В таблице значений функции Лапласа находим

ш

1,65 ,

У~2а

откуда отрезок 0 < ш < 1,65 Y 2& и определяет полосу, в ко­ торой распределено 90% энергии флуктуационной части про­ цесса.

Для того чтобы данная полоса не вышла за пределы интер­ вала (0; 1), нужно положить 1,65 V 2а = 1, откуда а^=0,21.

§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ЛИНЕЙНЫМИ СТАЦИОНАРНЫМИ СИСТЕМАМИ

В предыдущих главах были рассмотрены общие правила линейных преобразований случайных процессов, сводящиеся к тому, что при линейных преобразованиях случайных процес­ сов их основные характеристики — математические ожидания и корреляционные функции — подвергаются тем же линейным преобразованиям, что и сами процессы. Однако определение характеристик реакции линейной динамической системы по ха­ рактеристикам случайного воздействия в общем случае — трудно разрешимая задача. Пусть, например, работа линейной динамической системы описывается интегро-дифференциаль- ным оператором вида

и%(t) — случайное воздействие на систему, а rt (t) — отклик.

Вэтом случае даже задача определения математического ожидания (() отклика системы сводится к решению линей­ ного дифференциального уравнения с переменными коэффи­

циентами

которое разрешается в конечном виде только в отдельных частных случаях. Для нахождения корреляционной функции Кц {t\, U) пришлось бы решать линейное дифференциальное уравнение в частных производных порядка 2я с переменными коэффициентами, которое в общем случае можно решить толь­ ко приближенно. В случае, когда работа линейной динамиче­ ской системы описывается оператором вида (1), даже при ста-

105

ционариом случайном воздействии на вход системы ее реакция на выходе будет нестационарным случайным процессом.

В этом параграфе ограничимся рассмотрением преоб­ разования стационарных случайных процессов стационарными линейными системами. Под стационарной линейной динамиче­ ской системой будем понимать любое механическое, радиотех­ ническое или какое-либо другое устройство, параметры кото­ рого не изменяются во времени (постоянны) и работа которого описывается линейным дифференциальным уравнением с по­ стоянными коэффициентами

или системой таких дифференциальных уравнений, когда ди­ намическая система имеет несколько входов и выходов.

Будем рассматривать реакцию системы x\{t) на входное случайное воздействие £ (t) при установившемся режиме, ког­ да с начала воздействия прошло достаточно много времени и все переходные процессы в системе можно считать закончен­ ными. В этих предположениях при стационарном случайном воздействии Е, (t) на систему ее отклик т) (t ) также будет ста­ ционарным случайным процессом. Наша задача заключается в том, чтобы показать, как используется спектральная теория стационарных случайных процессов для определения характе­ ристик тл и (т) отклика стационарной линейной системы по характеристикам пц и Ki. (т) входного воздействия на си­ стему. Начнем рассмотрение с простейших систем.

Пусть линейная система является дифференцирующим уст­

106

Дифференцируя равенство (3) по г и взяв результат со знаком минус, получаем

изводная будет абсолютно интегрируемой функцией на всей оси.

В силу этого:

1. Операция дифференцирования в формуле (3) под знаком

а мы ограничиваемся рассмотрением процессов с конечной дисперсией).

2. Случайный процесс д (/) имеет спектральную плотность

^ = ~ h ~ f Кг> w е~'“" dx ’

которая, в силу единственности представления функции инте­ гралом Фурье, может быть получена из равенства (4). Так как

случайного процесса его спектральная плотность умножается на со2. Теперь необходимые и достаточные условия дифферен­ цируемости стационарного случайного процесса можно сфор­ мулировать по-иному:

Для того чтобы стационарный случайный процесс 5 (0 со спектральной плотностью s£ (со) был дифференцируем, необ-

107

хбдимо и достаточно, чтобы интеграл в бесконечных пределах от функции ш2 s$ (со) был сходящимся, ибо

Методом полной математической индукции этот результат легко распространится на любое п > 1.

Для того чтобы стационарный случайный процесс ? (t) со спектральной плотностью (ш) был дифференцируем п раз, необходимо и достаточно, чтобы сходился интеграл

•о

J s : (ш) ( ш ) - п d m .

—м

Очевидно, что спектральная плотность s (со) я-й произ­ водной

случайного процесса £ (/) выражается формулой

Предположим теперь, что на вход стационарной линейной динамической системы, работа которой описывается операто­ ром вида (2), поступает т раз дифференцируемый стационар­ ный случайный процесс 5 (0 и на выходе системы получается преобразованный п раз дифференцируемый случайный про­ цесс т) (t), который при установившемся режиме также будет стационарным. Тогда имеет место следующее равенство:

или в развернутом виде

108

Если положить —р, то равенство (7') перепишется так:

(а„ р п + й„_| рп~1 + . . . + а 1р + а0) ц (t) =

или короче —

Формально разрешая (9) относительно т, (£), получаем

отношение операторов Вт(р) и Л„(/?) называется переда­ точной функцией или передаточной характеристикой систейы к обозначается Ф (р):

Передаточная функция системы равна отношению выход­ ного и входного процессов и по существу является коэффици­ ентом передачи. Передаточная функция системы Ф{р) являет­ ся преобразованием Лапласа (изображением по Лапласу) так называемой функции влияния или весовой функции, или им­ пульсной переходной функции системы g (t) — отклика систе­ мы при воздействии на нее единичным импульсом бесконечно малой длительности, например, при подаче на вход системы из­ вестной дельта-функции Дирака 5 (t — t0). Если динамиче­ ская система устойчива, то ее функция влияния g{t) будет абсолютно интегрируемой функцией на всей оси Ot, кроме то­ го. g (0 = 0 при /<0, так как следствие не может опережать причину. Функция влияния стационарной линейной системы всегда представляет собой линейную комбинацию экспонент. С помощью функции влияния процесс т) (t) на выходе стацио­ нарной системы определяется равенством

109.