книги из ГПНТБ / Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов
.pdfCl)-
Последний питегрял подстановкой yg- —t сводится к гам
ма-функции
со |
|
б2 П4л-3 |
|
|
|
1В dm = |
\ |
f 2 <?-f At |
|
|
■— |
|||
0 2 2 1 « - 3 ^ ( 2 п. + 1\ |
о-' 24п~3 ^ |
|||
]/“ |
[ |
2 / - |
|
] / Т ~ Х |
х (2/г — 1) (2п - |
.3) •, . . •5 ■3 •1 |
в 3* . 2з„_з х |
||
X (2п - 1) |
•(2/1 - 3 ) - . . . - 5 - 3 - 1 < + оо |
|||
при любом конечном /г. |
|
|
Процесс в) |
не дифференцируем, так как интеграл |
|
j”ш-’ (ш) dw |
ю- dm |
т2 dm |
а' + (Р + С0)2 + |
а- (от — т)2 |
|
—оо
расходится.
Вопросы для самоконтроля
1.Что называется спектром колебательного процесса?
2.Какой стационарный случайный процесс имеет дискрет ный спектр?
3.Каким условиям должна удовлетворять корреляционная функция стационарного случайного процесса, чтобы его спектр был дискретен?
4.В какой форме представим стационарный случайный процесс с дискретным спектром?
5.Что называется спектральной функцией стационарного случайного процесса? Какими, свойствами обладает спект ральная функция?
6.Какой стационарный случайный процесс имеет непре рывный спектр?
7.Каким условиям удовлетворяет корреляционная функ ция стационарного случайного процесса с непрерывным спект ром?
8.Что называется спектральным разложением стационар ного случайного процесса с непрерывным спектром?
120
9. Какая существует связь между корреляционной функ цией и спектральной плотностью стационарного случайного процесса с непрерывным спектром?
10.Каково энергетическое истолкование спектральной плотности случайного процесса?
11.Перечислите свойства спектральной функции стацио
нарного случайного процесса с непрерывным спектром.
12.Каково энергетическое истолкование ^спектральной функции случайного процесса?
13.Как найти спектральную функцию стационарного слу чайного процесса с непрерывным спектром по его корреля
ционной функции?
14. Что называют нормированной спектральной плот ностью стационарного случайного процесса и какова ее связь с нормированной корреляционной функцией?
15.Каковы характерные особенности нормированной спек тральной функции стационарного случайного процесса?
16.Какой случайный процесс называется узкополосным? широкополосным? В чем состоят характерные ' особенности
узкополосного и широкополосного случайных процессов?
17.Что называют «белым шумом»?
18.Какая существует связь между спектральной плот ностью процесса £ (t) и «теснотой» статистической связи раз
личных его сечений £ (/,) и £ (12)? |
: |
19.Какая линейная динамическая система называется стационарной и каким оператором описывается работа ста ционарной системы?
20.Как определяется спектральная плотность процесса на выходе дифференцирующего устройства по известной спект ральной плотности воздействия на это устройство?
21.Сформулируйте необходимые и достаточные условия
дифференцируемости стационарного случайного процесса
спомощью его спектральной плотности.
22.Что называют передаточной функцией стационарной линейной системы?
23.Что называют частотной характеристикой стационар ной линейной системы? Как определяется частотная характе ристика по оператору линейной системы?
24.Каково физическое истолкование квадрата модуля частотной характеристики линейной системы?
25.На вход стационарной линейной системы поступает стационарный случайный процесс £ (t). При каких условиях процесс д (7) на выходе системы будет стационарным?
26.Как определить спектральную плотность отклика стационарной линейной системы по спектральной плотности воздействия?
121
27.Как вычисляются характеристики реакции стационар ной линейной системы по характеристикам входного воздей ствия на систему?
28.По какой формуле можно вычислить дисперсию реак ции стационарной линейной системы?
29.Что называют полосой пропускания линейной системы
вэнергетическом смысле и как она определяется?
Упражнения
1. Нормированная корреляционная функция г£ (х) ста ционарного случайного процесса 5 (t) задана выражением
|
1 - |
|
при |
I X I < х0 , |
|
. |
О |
при |
|х |> |
0 , |
|
Найти нормированную спектральную плотность |
(и). |
||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
°е Н |
“ |
— |
--V (1 ~ |
cos <ох0) . |
|
|
|
ivTaШ2 |
|
|
|
2. Спектральная функция стационарного случайного про цесса 5 (t) задана выражением
D |
arctg |
ш — 8 |
ш - 4 - 0 |
Si (*) = |
-------- — -j- arctg |
-------- — |
Найти спектральную плотность и корреляционную функ цию процесса £ (t).
Ответ:
, ^ |
D Г |
а |
а |
W |
w |
«Я + ( Щ_ (3)2 + а2 + |
+ (3)2 J ’ |
К% (х) = De~* zI cos (Зх .
3. Корреляционная функция стационарного случайн процесса задана выражением
. К ф ) = D e ~ ^ . ■
Определить спектральную . плотность . и спектральную функцию процесса.
122
Ответ:
• , |
|
' |
D |
|
|
|
4aJ |
S' (со) — ------- = |
|
|
|||||
|
|
2a |
|
ч: |
|
|
|
s g(со) = |
D |
Ф |
|
(O |
|
+ l |
|
|
|
a У |
= |
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
||
где |
|
|
X |
_ |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ф (x) = |
~ f = |
C |
« |
2 |
d t . |
||
/2 « Jо
4.Навход идеального фильтра с частотной характеристи
кой
|
« ( ; » ) = |
( |
с |
при |
|ш |> |
ш0 |
|
|
|
||
|
|
|
{ |
0 |
при |
|
|
|
|||
поступает стационарный случайный процесс |
£ (t) |
с математи |
|||||||||
ческим |
ожиданием |
тс — 2 |
и |
корреляционной |
функцией |
||||||
/Се(х) = |
%е~№. |
Определить математическое ожидание и дис |
|||||||||
персию процесса на выходе фильтра. |
|
|
|
|
|||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ту = 2С ; |
Dn — |
С2 |
|
|
|
|
||||
|
-------arctg ш0 . |
|
|
|
|||||||
5. На вход фильтра с частотной характеристикой |
|||||||||||
|
|
Ф (гео) = 1 |
I |
|
|
|
|
||||
|
|
-f «о |
|
|
|
|
|||||
поступает стационарный случайный процесс |
£ (t) |
|
с матема |
||||||||
тическим |
ожиданием т? |
= |
1 |
и |
корреляционной |
функцией |
|||||
Къ (х) = 4е~2'~К |
|
|
|
|
|
|
|
(t) |
|
|
|
Определить |
характеристики |
процесса |
па |
выходе |
|||||||
фильтра. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/7^ = 1,. |
К , (т) |
= |
- 1 |
(2е-М _ e-»M), |
Д. |
= - 1 . |
|||||
6. |
Электрическая цепь состоит из источника напряжения и |
||||||||||
последовательно включенных индуктивности L и сопротивле |
|||||||||||
ния R. Напряжение представляет собой |
белый |
шум, спек |
|||||||||
тральная плотность которого равна go- |
' |
|
|
|
|||||||
123
Определить корреляционную |
функцию а дисперсию |
тока |
||||||||
в цепи. |
|
|
|
|
параметры R и L, |
|
|
|
||
Как следует выбрать |
чтобы |
дисперсия |
||||||||
тока не превзошла заданной величины D? |
|
|
|
|||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K t (х) |
|
|
|
D t |
|
LR |
L R > |
~D° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Напряжение на входе L^-фильтра |
(рис. |
19) |
(L = 0, |
||||||
генри, |
Я = 0,2 |
ома) |
представляет собой стационарный случай |
|||||||
ный процесс, |
спектральная плотность которого |
|
|
|||||||
|
s„ Н |
= |
|
20 |
|
В2 |
|
|
|
|
|
- |
24 ш2 + 400 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
Определить корреляционные функции входного и выход |
||||||||||
ного напряжений. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К „ (х) |
= |
~ |
/ cos 4 т + |
-i- sin 4 J х |\ В2 , |
|
|
||||
К,0 |
{-) = |
— |
£~2|т| (cos 4 x + |
3 sin 4 j - |+ 5) |
B2 . |
|
||||
8. Напряжение на входе СЯ-фильтра (рис. 20) представ ляет собой стационарный случайный процесс, нормированная корреляционная функция которого
г,( ( 0 = е~ф| ( < * > 0 ) .
Определить нормированную корреляционную функцию выходного напряжения.
Рпе. 19 |
Рис. 20 |
Как следует выбрать параметры С и R для того, чтобы отношение дисперсии выходного процесса к дисперсии входно го процесса было меньше данного е?
124
Ответ:
Л, N |
|
1 |
ае -“1-1 |
1 |
R C |
|
|
RC е |
|||
|
а |
|
] |
|
|
|
|
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RC < |
|
£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
а(1 — в)
Вкаждой из задач 9— 15 задано дифференциальное урав нение, описывающее работу некоторой линейной стационар ной системы, причем х(() — входной сигнал, a y{t) — выход ной.
Пусть £ (t) — стационарный случайный процесс с характе
ристиками |
т% |
и Ki (х). Требуется найти характеристики |
||||
выходного процесса |
"Ц(?) при установившемся режиме. |
|||||
9. у' ( 0 |
+ |
2у (t) |
= |
х (t)\ |
mi = 2, K i (т) = |
e-M . |
Определить |
. |
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
h n 4, |
Кп (х) |
и £)п . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I, 1<п ( ') = |
~ т е ~ т |
• |
||
|
|
7_ |
|
|
|
|
D4 |
6 |
|
10. y"{t) + у' (0 |
- |
6у(0 |
= |
3x(t); mi |
|
= |
5, |
||||
Определить |
|
|
тп, |
Кг, (т) и О ,,. |
|
|
|
||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
||||||
5 |
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
45 |
|
/Пг, = |
|
К П(Х )= |
е-М |
|
|
||||||
2 |
’ |
24 |
|
|
|
30 |
|||||
|
|
+ |
|
45 |
е-з|,| f |
D, |
3_ |
|
|||
|
|
120 |
|
|
|
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
U . у" (() -f |
Зу' (t) |
+ |
2 y |
(0 |
= |
х ' (0- + |
2 х (0 ; |
||||
Определить |
|
|
|
Ki (т) |
= |
De~*\ . |
|
|
|
||
|
|
ПН, |
Кг, (") и О ,,. |
|
|
|
|||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/Я* = 2, Кг, (х) |
= |
^ |
|
(вт«М - |
«е-Ч4) |
|
, |
Dr, |
|||
+
Щ = 2,
D
1 -|- а
.125
|
12. |
у' |
(t) |
+ |
3y (0 = |
к |
(t)\ |
/^ |
= - 1 , |
f o ( t ) = |
2 e - 3M. |
||||||
|
Определить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
11Ц, |
Sr, (со) |
и |
Dr, • |
|
|
|
|
|
|||
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Щ = |
- ~ Y > |
sч |
№ |
= |
* |
(«a + |
9)2 ’ |
|
Dt> = |
T |
' |
||||
|
13. y '(*) |
+ |
4y' (t) + |
3y (t) |
= * ( 0 ; |
/ne= - 2 , |
^(x)=e-2W . |
||||||||||
|
Определить m,,, |
спектральную плотность |
s’,, (со), |
|
спект |
||||||||||||
ральную функцию .S,, (со) |
и |
р ч. . ... |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тч |
|
2 |
|
■ r |
s |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
’ |
S ti ^C°J |
|
w ( со2 + |
4) (to2 |
+ 1) (со2 + |
9) |
’ |
||||||||
с |
, V |
1/1 |
, |
|
2 |
|
, |
со |
} |
1 |
t |
а |
. |
Т. \ |
|||
^ |
^ |
= |
“ |
(■Т arctg “ “ |
Is arClgT |
+ |
30 arctg Т |
+ |
60 j ’ |
||||||||
14. y”(t) + |
v 2 / ( 0 |
+ |
|
( 0 |
- *' ( 0 -Ь — *(0; |
|||||
|
|
= |
0, |
|
(т) |
= |
De |
2 . |
|
|
Определить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К,,(т) |
И |
А ,. |
|
|
|
||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
е |
N |
|
|
|
D |
_ |
||
* , 0 0 |
УТ |
1 + |
|
|||||||
|
|
|
/ |
т |
' |
|||||
|
У~2~ |
|
|
|
|
|||||
15. у v (t) -ь у (0 |
= |
* v (0 |
+ |
* ,v (0 |
- *' (0 + * |
(0 |
; |
|||
mi = 4, Хе (т) = De~Л3 (а > О, D > 0) . |
|
|||||||||
Определить |
яг,,, |
s,, |
(®), |
спектральную функцию |
Sr, (со), |
|||||
/С, (т) и £>* .
Ответ:
тп — 4 ,
126
|
sn (со) |
|
|
_ |
|
О) |
|
|
|
|
||
|
|
|
D |
е~ ^ |
(1 + 2в3 4 -<0) , |
|
||||||
|
|
|
|
|
2л V 1C |
|
|
|
|
|
|
|
S n (со) = D |
Ф |
|
со |
|
+ 1 |
(1 -ь 2а3) - |
со |
|
||||
|
|
ТС |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
л V 2 |
|
|
|
у |
|
|
|
/Сч(х) = D (1 + 2 а2— 4 а4•&) е ~ ^ , |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
£>ч= D (1 + 2 а3) . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛИТЕРАТУРА |
|
1. |
B e ит ц е л ь |
Е. С. |
Теория |
вероятностей, М., Физматгиз, 1962. |
|
|||||||
2. |
Г и х м а н |
И. |
И., |
|
С к о р о х о д А. |
В . |
Теория случайных процессов. |
|||||
Т. .1. |
М., «Наука», 1971. |
|
Курс теории вероятностей. М., Гостехиздат, |
1954. |
||||||||
3. |
Г н е д е н к о |
Б. |
В. |
|||||||||
^ . - Е м е л ь я н о в |
Г. |
В., Н и к о л а е в |
В. Ф., Т а л д ы к и н А. Т. Теория |
|||||||||
вероятностей и случайных процессов. Л., |
Издательство ВКАС, 1965. |
|
||||||||||
5. |
Л а н д к о ф Н. |
С. |
|
Введение |
в теорию |
вероятностей. |
Харьков, |
нзд. |
||||
Харьковского университета, 1968. |
|
|
|
|
|
|
||||||
6. |
А н г о Ан д р е . |
Математика |
для |
электро- и радиоинженеров. |
М., |
|||||||
«Наука», 1965. |
С. |
Основы.теории случайных процессов. М., «Мир», |
1971. |
|||||||||
7. |
К а р л и н |
|||||||||||
8. |
Ф ел л ер |
В. |
Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1 |
|||||||||
и 2, М., «Мир», |
1967. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1
СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ, ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
И ОСНОВНЫЕ Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И ........................................................ |
|
||
§ |
1. |
Определение случайного процесса |
(случайной функции). |
§ |
2. |
Примеры случайных процессов . |
............................................... |
Законы распределения случайных процессов . . . . |
|||
§3. Основные характеристики случайного процесса
§4. Свойства математического ожидания и корреляционной функции случайного п р о ц е с с а .........................................................
§5. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость слу чайного процесса ......................................................................................
§6. Линейные преобразования случайных процессов. (Общий слу чай) ...........................................................................................................
Вопросы для самоконтроля ...........................................................
Упражнения ................................................................................................
3
I
12
18
27
42.
50'
51
Глава 2
СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ |
56’ |
|
§ 1. Понятие стационарности в узком и широком смысле. Приме |
|
|
ры стационарных |
случайных п р о ц ессо в ...................................... |
56 |
§ 2. Линейные преобразования стационарных случайных процессов |
62 |
|
§ 3. Стационарные процессы, обладающие свойством эргодичности |
67 |
|
Вопросы для |
самоконтроля ........................................................... |
75 |
Упражнения |
* |
76 |
Глава 3 |
|
|
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНЫХ |
79 |
|
СЛУЧАЙНЫХ П Р О Ц Е С С О В ..................................................................... |
||
§ 1. Стационарные процессы с дискретным спектром |
80 |
|
§ 2. Стационарные случайные процессы с непрерывным спектром |
86 |
|
§ 3. Узкополосные |
широкополосные случайные процессы. |
100 |
Белый шум |
|
|
§ 4. Преобразования стационарных случайных процессов линей |
105 |
|
ными стационарными с и с т е м а м и ................................................ |
||
Вопросы для |
самоконтроля ........................................................... |
120 |
Упражнения |
|
122 |
Л и т е р а т у р а ................................................................................................ |
|
127 |
Александр Маркович Чепиль
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ЭЛЕМЕНТАМ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Лит. редактор И. К. Антоненко. |
Техи. редактор Н. А. Шалагина. |
Корректор Ж. В. Жук..
Сдано в набор 1/Х 1973 г. |
Подписано к печати |
1 /X 1973 г. |
Г 881162. Форм. бум. 60X90'/i6- |
Печ. л. 8. Учетно-изд. л. 6,34. |
Зак. 525. |
Для внутриведомственной продажи (цена 33 коп.). |
|
|
Типолитография КВИРТУ
