книги из ГПНТБ / Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния
.pdfт . е . с |
учетом |
( 4 . 1 0 ) , |
( 4 . 1 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
wtujtj |
= uao)wt |
. |
|
|
|
|
|
|
(4.18) |
||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ruo<V |
= K ( |
t o ) r - |
|
|
|
|
|
|
( 4 . 1 9 ) |
|||||
|
Таким |
образом^ оператор |
рассеяния коммутирует с полу |
|||||||||||||||
группой |
Uglt) |
. |
Учитывая |
этот факт и определение |
( 4 . 1 4 ) |
, |
||||||||||||
( 4 . 1 5 ) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
r=%'lt0)WJt0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 4 . 2 0 ) |
|||
|
Пусть полугруппа |
&B(t) |
допускает |
трансляционное |
пред |
|||||||||||||
ставление, т . е . существует |
такое |
изометрическое |
отображение |
|||||||||||||||
Ь |
пространства И |
в |
пространство |
|
L2{~°°, + |
°°; |
N) с у м м и |
|||||||||||
руемых |
с |
квадратом на всей |
оси вектор-функций |
|
с о |
значениями |
||||||||||||
в некотором гильбертовом |
пространстве |
N |
, |
что |
Hg(t) |
перехо |
||||||||||||
дит |
в оператор сдвига на |
t |
. Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ВиеШ&-'=Т±. |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 4 . 2 1 ) |
||||
|
Уравнение ( 4 . 2 ) в этом |
трансляционном |
представлении |
|||||||||||||||
примет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
dulx,t) |
da(x,t) |
/ |
^ |
|
|
|
, |
|
|
|
( 4 . 2 2 ) |
||||
|
|
|
—~ |
|
= — |
|
|
+ - |
VU)u(xJ) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
dt |
|
Ох |
|
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
u(x,t)-5(fi(t) |
|
,V(t) |
= |
|
BVa)3"/. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Оператор |
рассеяния для уравнения |
|
( 4 , 2 2 ) |
обозначим |
ч е |
||||||||||||
рез |
& |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оператор |
б |
унитарно |
эквивалентен |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Рассмотрим |
задачу |
Коши для ( 4 . 2 2 ) |
с |
начальными |
дан |
||||||||||||
ными при |
{ ~О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
и(.х,0)-ид(.т.) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
( 4 . 2 л ) |
1 7 0
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
uix,t) |
|
|
решение |
задачи |
Коши ( 4 . 2 2 ) - ( 4 . 2 3 ) , |
д о с т а |
||||||||
точно быстро |
убывает |
по |
норме |
|| • || |
при |
+\t\->oo . |
|||||||||
|
Тогда решение |
u(ct,t) |
уравнения ( 4 . 2 2 ) |
можно в ы |
|||||||||||
разить через |
р(-т,£) |
по |
формулам |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
u(X,t) |
= |
u(JC + £>0)A |
|
p(jc-tt-V,t)d.€r |
|
|
|
( 4 . 2 4 ) |
||||
|
|
|
U{3c,t) |
= |
u(0,x |
+ t)- |
\p(y,x+t-y)d<[j. |
|
|
|
( 4 . 2 5 ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Из формул ( 4 . 2 1) |
и |
( 4 . 2 5 ) |
получаем |
асимптотику |
|
|
|||||||||
u(x,£)-u(xf-t,0)-f- |
|
|
pbc+t-T&ctt+Oa), |
|
£-* + <*>; |
( 4 . 2 6 ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
°0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р(Х^-£-1Г,Г)с£т+0(П, |
|
£-*-<*>; |
|
|
(4.21) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
ю |
|
|
|
|
|
|
|
|
U(X,t) |
= U(O,xH)-\p(uxf-t-y)dy |
|
+ 0«), |
гс-±+°°; |
|
|
( 4 . 2 8 ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Ґ |
|
|
|
|
,« |
w |
, |
( 4 . 2 Я ) |
|
а(я,і) |
= и(0,зг+і)і.\р(у,з;*t-y)dy |
|
+ ОН), |
||||||||||||
|
л |
|
|
|
|||||||||||
Согласно |
определению-оператора рассеяния |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
(-1,0) |
+ |
p(s-T,ridf\ |
|
= ute,0) |
-t- jp(j-rX)dT. |
|
|
( 4 . 3 0 ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
С npyroll |
|
стороны, |
из |
( 4 . 2 4 ) , |
полагая |
.Т.-О, |
£~.п |
|
, |
имеем |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
-.s |
|
|
|
|
|
|
|
u(0,s) = u(s,P) t p(s-ryT)d€. |
(ЛЯХ) |
Поэтому, учитънзан ( 4 . 3 1 ) ,
0 -°° ° О
Аналогично |
получаем, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
а(0,х+t)+jp(y,x |
|
f £ y j |
d y - = u ( x + p(X+t-T,l) |
d ? . |
( 4 . 3 3 ) |
||||
Таким |
|
образом, |
асимптотики |
( 4 . 2 6 ) - ( 4 . 2 9 ) |
принимают |
||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(.x,t)=($a)(cctt) |
|
+ОН) , |
г*-*^<*>. |
|
|
||||
и(х,£) |
|
= a(x+t) |
+ P(i) |
|
t |
г - • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И . 3 4 ) |
u(cc7t)- |
|
a (a- |
+ 0(f) |
г |
-ж |
> |
|
|
|
где |
|
|
|
(7 |
|
|
|
|
|
Обозначим, через |
- опера-тор |
переводящий |
функцию |
||||||
C3.CS) в IL(0,S) |
, а ч°ро-ч |
(Vf |
~оцврл(г»р пороводчщий {yin,)( s) |
||||||
в u(0,s) |
. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 4 . 3 5 ) |
|
|
Операторы |
M+ |
будем называть операторами преобразо |
||||||||||
вания. Эти операторы |
играют большую роль при решении |
о б |
|||||||||||
ратной задачи восстановления |
V(t) |
по |
$ |
|
|
|
|
||||||
|
2 . Случай гиперболической системы |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Гиперболическая |
система |
уравнений, |
которая |
изучалась |
||||||||
в |
§ 1 г л . I I , м о ж е т быть записана |
в |
виде |
( 4 . 1 ) , |
( 4 . 2 ) , если |
||||||||
в |
качестве |
Н в з я т ь |
/>^(-00, + оо j |
Ег) . Операторы |
А0 |
и |
V(t) |
||||||
имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ах |
|
О |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
= i\ |
--/ |
|
|
|
|
|
( 4 . 3 6 ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
дх |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
Cflx,t)\ |
|
|
|
( 4 . 3 7 ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
^(x,t) |
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
трансляционное |
представление |
|
Ua(t) |
|
|||||||
|
Для этог о введем унитарный оператор в Lt |
f-«>) + "°; |
Е е ) |
||||||||||
|
|
В=\^ |
J |
, |
|
|
|
|
|
|
( 4 . 3 8 ) |
||
где 3 — оператор отражения (tff)(t)— f(~t) |
. |
I - т о ж |
|||||||||||
дественный |
оператор. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Тогда исходная система примят вид |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ди |
ди |
/ |
—V(flu |
|
|
|
|
( 4 . 3 Q ) |
|||
|
|
— |
= |
4- |
|
|
|
|
|||||
|
|
dt |
дге |
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
r/xS)j/uf(-xJ) |
/ . |
( - 1 . 40) |
\r/x,t) |
(1 і \u9i |
rrj)) |
Оператор |
рассеяния |
$ , |
рассмотренный |
в |
В 1 г л . I I , я в |
||||||
ляется оператором |
рассеяния |
в трансляционном |
представлении |
||||||||
( 4 . 3 9 ) . |
Оператор |
«5* |
и оператор рассеяния |
р |
, |
определен |
|||||
ный в п. 1^являются |
унитарно |
эквивалентными, |
а |
оператор 3 |
|||||||
осуществляет |
эту эквивалентность. Таким образом Л |
|
|||||||||
|
|
|
|
6 ^ 5 Г В Ч . |
|
|
|
( 4 . 4 1 ) |
|||
3. Случай гиперболической системы на по;гуоси |
|
||||||||||
Рассмотрим задачу |
рассеяния на полуоси х> О для гипер |
||||||||||
болической |
системы |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ди. |
|
ди |
|
|
|
luJx.tf |
|
|
|
|
|
|
|
— |
*d(x,t)u |
|
, |
и-\ |
J |
|
|
( 4 . 4 2 ) |
|
dt |
|
дх |
|
|
|
у \ujx,t) |
|
|
|
|
|
с граничным условием |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
14,(0,*)= |
|
иг(0,і). |
|
|
|
( 4 . 4 3 ) |
||
Эта задача |
подробно изучена |
в § 3 гл.П. |
|
|
|
|
|||||
Рассмотрим гильбертово пространство И—L£(0,°°'•, |
Е. ) |
||||||||||
двухкомпонентных |
вектор-функций,определенных |
и суммируемых |
|||||||||
с квадратом |
на полуоси |
|
0^х^+"а |
|
|
|
|
||||
Рассмотрим задачу |
Коши для невозмутенной |
системы |
|||||||||
ди |
|
ди |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ъ=вТх |
|
> |
|
«,<W- |
|
|
|
( 4 . 4 4 ) |
|||
|
|
|
uf(x,0) |
= |
ff(x), |
|
|
|
|
||
|
|
|
UgU,^)^ |
|
fg (P) . |
|
|
|
|
||
Решение |
этой |
задачи |
имеет вид |
|
|
|
|
||||
|
|
|
u.t(xj)^-a |
|
(.ті |
і >. |
|
|
|
|
и^(хУ)- |
a(f - г) , |
где функция а связана с начальными данными равенством
|
|
|
( 4 . 4 6 ) |
Рассмотрим |
изометрический оператор & f отображающий Н в |
||
( - , |
+• |
оо ) |
f определяемый равенством ( 4 . 4 6 ) ; |
В\ |
|
\=G(jc)P(X) |
+ d(-x)/!j-jc). |
|
|
|
|
( 4 . 4 7 ) |
||||||
Обратный |
оператор |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
& |
f~\ |
|
|
)еН. |
|
|
|
|
( 4 . 4 8 ) |
|
Пусть |
ZI |
(() |
— полутруппа |
операторов, |
переводящая |
данные К о - |
||||||||
um(ff,f£) |
|
|
при і-О |
в |
решение" uf(x,£h |
Ue(JC,i) |
|
задачи |
||||||
( 4 . 4 4 ) . |
Из |
( 4 . 4 5 ) - ( 4 . 4 б ) |
получаем |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
BUe<t)B-'=T£ |
|
|
, |
|
|
|
|
( 4 . 4 9 ) |
||
т.е. |
трансляционное представление |
Ue(t) |
|
|
|
|||||||||
|
Оператор рассеяния |
$ f |
рассмотренный в |
§ 3 |
гл . П, я в л я |
|||||||||
ется обычным оператором рассеяния в |
трансляционном |
пред |
||||||||||||
ставлении. |
Е г о |
с в я з ь с |
оператором |
рассеяния f |
дает |
унитар |
||||||||
ный |
оператор 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
( 4 . 5 0 ) |
Отметим, |
что в |
трансляционном представлении |
возмущенное |
|||||||||||
уравнение |
( 4 . 4 2 ) |
имеет |
вид |
|
|
|
|
' |
|
|||||
|
|
= |
|
|
|
+ v(3rit)a(~sc,T), |
|
^.rr-^ + то } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 4 . 5 1 ) |
|
V(x,t>= |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2(-x,ir) |
, |
x<o. |
|
|
|
|
|
4 . Случай возмущенного уравнения струны на полуоси |
||||||||
|
Задача |
рассеяния |
для уравнения |
|
|
||||
дг |
|
д г |
|
1 |
|
|
|
|
( 4 . 5 2 ) |
|
|
+ сіх,Щи(х,і)-0, |
|
u(0,t)=0, |
0&х< + °° , |
||||
dt2 |
дх* |
' |
] |
|
|
|
|
|
|
может |
быть истолкована согласно общей с х е м е п . 1 . |
|
|||||||
|
Действительно, рассмотрим |
невозмущенное уравнение |
|||||||
|
— |
- |
— = |
0 , |
u(0,t) |
= 0, |
0±х< |
+ ~> . |
( 4 . 5 3 ) |
|
at |
|
дхг |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим гильбертово пространство Н двухкомпонент— ных вектор-функиий; определенных при Oix-iv-oo норма к о торых определена равенством
г |
|
|
|
|
|
|
f£(x)] |
I |
г |
2 dx-> |
|
|
|
|
|
fdx)\ |
dx\ |
( 4 , 5 4 ) |
||
|
|
|
|
"О |
|
|
Рассмотрим |
задачу |
Коши для ( 4 . 5 3 ) |
с начальными у с |
|||
ловиями при і - О і |
|
|
|
|
||
|
U(x,0)=ff(x) |
|
, |
|
( 4 . 5 5 ) |
|
|
ди |
(X,0) = f |
(X). |
|
( 4 . 5 6 ) |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
Решение |
такой задачи |
имеет вид |
|
|
u(x,t) = а(х +1)-a (t -х.)
г де функция О, связана с начальными данными равенством
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 4 . 5 8 ) |
|
Легко |
Показать, что |
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
2 |
+ р ° |
|
|
|
l a |
|
|
|
|
|
|
|
|
\a(x.)\z |
cix |
- |
Z |
|
|
( 4 . 5 9 ) |
||
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим полугруппу операторов |
U0U0) |
, |
переводящую |
||||||||
данные |
Кошп |
(ft) |
П Р И |
£~0 |
|
в данные |
Коши |
решения |
||||
и(Я,{) |
|
при *• |
t = t a . |
|
|
|
|
|
||||
|
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 4 . 6 0 ) |
Тогда |
из |
( 4 . 5 7 ) , |
получим |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
gf |
(х)=а( |
to+x) |
- a |
(t0-a:)^ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.63) |
|
|
дг(х) |
~CL'(tg + x)-a'(tB~x.) |
, |
|
|
|
|||||
т . е . |
полугруппа Zl0 |
(І) |
является |
унитарной |
в Й |
|
||||||
|
Переходя |
согласно |
( 4 . 5 8 ) |
о т / ^ ' J |
к функции Д.^ (л^лег— |
|||||||
ко |
с учаем |
|
|
|
|
|
\&е) |
|
|
' |
||
получ£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
И |
= a(x |
+ t„)=7r. |
alt). |
|
|
( 4 . 6 2 ) |
|||
Таким |
образом^ отобра |
|
е |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
•ображение |
|
|
|
|
|
^ \ 3 —>~ а(х)
с о г л а с но |
( 4 . 5 9 ) |
является изометрическим; обратное |
о т о б |
||||||||
ражение |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
||
/ f4 |
|
|
Iа(х} |
- |
а(-л)\ |
|
|
|
|
|
|
\№1 |
|
|
|
|
( 4 . 6 4 ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В с е |
гильбертово |
пространство Н |
отображается |
3 |
в |
||||||
Le(-°a |
, + ° о ) |
|
,а |
полугруппа |
Ua(t) |
при этом |
переходит |
||||
в простой |
сдвиг. |
Т е м |
с а м ы м построено |
трансляционное |
пред |
||||||
ставление |
110 |
it) . |
|
|
|
|
|
|
|
||
Оператор рассеяния |
«5> , рассмотренный в .гл.Ill, является |
||||||||||
обычным |
оператором |
рассеяния в |
трансляционном |
представле |
|||||||
нии. Е г о |
с в я з ь |
с |
оператором рассеяния |
дает |
унитарный |
||||||
оператор |
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возмущенное уравнение ( 4 . 5 2 ) в трансляционном пред-? ставлений имеет вид
duiXyi) da(x,t)
dt
г д е
с(.т,і), х>П
•Cfx,tJ , |
*<0. |
Таким образом, операторы рассеяния, рассматриваемые в настоящей работе, соответствуют трянгпяпнонному представленииневоэмушенного уравнения.
1 7 Я
|
|
|
|
Л и т е р а |
т у |
р а |
|
|
|
|
|
1 . Агранович З.С., Марченко В.А., Обратная задача теории |
|||||||||||
рассеяния, |
Изд. Харьковского |
университета, Харьков, |
1 9 С 0 . |
||||||||
2 . |
Гохберг |
И.П., Крейн М . Г . , Теория |
вольтерровых |
операто |
|||||||
ров |
в гильбертовом пространстве |
и ее |
приложения, |
ИздГНаука" |
|||||||
Москва, |
1 9 6 7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 . |
Лаке |
П.Д., |
Филлипс Р . С , |
Теория рассеяния, |
Изд . "Мир", |
||||||
Москва, |
1 9 7 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 . |
Нижник Л.П., Задача рассеиванил при нестационарном |
в о з |
|||||||||
мущении, |
ДАН |
СССР, т. 1 3 2 , |
№ |
1 , 1 9 6 0 . |
|
|
|
|
|||
5 . |
Нижник |
Л.П., Задача неупругого рассеивания, |
ДАН |
С С С Р , |
|||||||
т . 1 4 0 , № 3 , |
1 9 6 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
6 . |
Нижник Л.П., Корректная задача без начальных данных для |
||||||||||
волнового |
уравнения, УМЖ, № 6, |
1 9 6 8 . |
|
|
|
|
|||||
7 . |
Нижник Л.П,, Обратная задача |
нестационарного |
рассеяния |
||||||||
для |
гиперболической системы уравнений, Сб.'Линейные |
и н е |
|||||||||
линейные |
краевые задачи", Изд. |
Института математики |
АН |
||||||||
У С С Р , Киев, |
1 9 7 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
8 . Нижник Л.П., Обратная задача нестационарного рассеяния,
ДАН С С С Р , |
Т . 1 9 6 , № 5 , |
1 9 7 1 . |
|
|
|
|||
9 . |
Нижник Л.П., Нестационарная задача рассеяния для уравне |
|||||||
ний |
Дирака |
на |
полуоси, С б . " К р а е в ы е |
задачи |
математической |
|||
физики", Изд. |
Института |
математики |
АН У С С Р , Киев, |
1 9 7 1 . |
||||
1 0 . |
Нижник Л.П., Обратная задача нестационарного рассеяния |
|||||||
для |
уравнений |
Дирака, УМЖ, т . 2 4 , в ы п . 1 , |
1 9 7 2 . |
|
||||
1 1 . |
Романов В.Г ., Некоторые обратные задачи для уравнений |
|||||||
гиперболического типа, Изд . "Наука", |
Сибирское отделение, Но |
|||||||
восибирск, |
1 9 6 9 , |
1 9 7 2 . |
|
|
|
|
||
. 2 . |
By Т.Ю., Омура Т . , Квантовая |
теория |
рассеяния, |
Изд. |
||||
"Наука", Москва, |
. 1969 . |
|
|
|
|