Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Аналогичный

результат справедлив,

если

известны

ядра

опе

раторов

У2і

Т е о р е м а

II . 4

. Система интегральных

уравнений

( 2 . 1 1 6 )

однозначно разрешима

при любых х

и t

произвольных

правых

частях

kf(£,),

Є Lг

. Обозначим

решение

с и с

темы

( 2 . 1 1 6 )

при nf=F~gf(t-x,e,+x),

Лг=£>

через A (x,tfe,) =

-а

(х,£,&,)

- 8

, :а решение этой же системы при

h- -

{/(t+x,q-x)

через Л

(х,і,^)=

О- ,

А,.,

j \

• Тогда потенциал

(

е,<*>*>\

(х,£,£,)=

C(xt)=\

\Ct(x,t)

]

по формулам

о I

определяется

4 . Восстановление нестационарных потенциалов специального вида

а) Кососимметрический потенциал.

Рассмотрим важный		случай		кососимметрического			потенци
ала
6(x,t)	= -£*<x,t)	,т . е .		С/х,0=-Сг(х,0		.	( 2 . 1 1	7 )
Л е м м а	2 . 6 . Оператор		рассеяния		£>	унитарен	тогда	и
только тогда,	когда потенциал		СLoc,t)		-кососимметрический.
Д о к а з а т е л ь с т в о		, Пусть		C(X,&)=-C*«JC,t)
Тогда интеграл энергии
	^uJLxjtf+^lJbifyx						( 2 . 1 1 8 )

на	решениях		да	да	ґ		постоянен.
на	решениях	системы ^7 -		— о ^— + С (ос, t )и			постоянен.
Действительно,			Е~(и,и)	и
д£	Ida	\	I ди\	( да	\ (	ди	\

( 2 . 1 1 9 )

где

(-да

, и

,.ди\

)=0

силу кососимметрич-

- I

е > —

]

и , Ь

—

дл

dccj

да

(

, .

_ 4

ЕР

•

носі-й

оператора

а ' + ( а >

< - " / - ^

силу

кососимметричности

^Г7*дг, О .

Если

u(x,t)

— решение задачи

рассеяния,

то при

и(сс,і)

=-T.a(t)

+ О СО

, а при

Поэтому

£ =

(|а, W | Z

+ \<xz(s)|

(|4(^|2H4^I

1 2 0 )

т.е.

[I а || = )|£||

. Н о

S =

За.

. Поэтому

- и з о -

метричен, а в силу существования

i S - '

получаем,

что

—

унитарен

^ " W .

( 2 . 1 2 1 )

Наоборот, пусть

и!э -унитарен.

Тогда

силу факторизации

( 2 . 9 4 )

£ =

. ( 2 . 1 2 2 )

а из

( 2 . 9 3 )

получаем

£*=

?х

[1+Н?(сс))(Т+

К*(Х)Т'%

( 2 . 1 2 3 )

Приравнивая	( 2 , 1 2 2 )	и ( 2 . 1 2 3 ) , имеем
(I	+ Н*(х))(Г	+ Л_ (х)) = Г ,

Отсюда легко

получаем, что

H?(jc,t,t)+Aj*,tt)=0,

K*(x,t,i)

+ At(ai,t,t)=0.

(2 . 1 - 25 )

В частности,

(x,t.t)+АчгШ,t)=0,

К_г{

(х,t,і)+Ь+іг(я,t,t)=0,

( 2 . 1 2 6 )

H+is(x,

t, t) + A_2fcx, t,i) = 0,

K42(,x,t,t)i

g f (x,

t,t) = 0.

Выражая

Cf(x,t)

и С^(л,і)

через значения

ядер

операто

ров преобразования на диагонали из

( 2 . 1 2 6 ) ,

получаем Cf(x,t)=

z^-Cs(x.,

. Лемма

доказана.

Восстановление

кососимметрического'потенциала

по и з

вестному

оператору

рассеяния

упрощается,

ибо в

силу

унитар

ности

оператора

рассеяния

iffZ

— F^

, ff^ = F*

, и поэтому

на основании

теоремы

I I , 3 и 11.4 получаем

резуль

тат:

Т е о р е м а

I I . 5 .

Кососимметрический

нестационарный

потенциал однозначно

восстанавливается по одному из коэффи

циентов

отражения ^

или

б)

Симметрический

потенциал.

ctCa:,i)=

c t ( j c t t ) .

( 2 . 1 2 7 )

Согласно

п. 2

1 гл . 1 У рассмотрим

оператор

					\0	J
Г д е			— о		є с т ь оператор рассеяния			для сим—
метрического			потенциала		С(зс,£)
^	Оператор		3	є с т ь	оператор рассеяния для потенциала
C(x,t)		— & С it,л.		)	. Если	C(x,t)	симметрический,
то	С	кососимметрический, и поэтому				для е г о	восстановления
согласно предыдущему пункту а) достаточно знать								либо
(?г^		. Учитывая,		что
								( 2 . 1 2 9 )

получаем следующий результат.

Т е о р е м а П . 6 . Для восстановления симметрического нестационарного потенциала достаточно знать один из коэффик. циентов отражения и один из коэффициентов прохождения, т . е .

достаточно знать		<$1£ или	6^	и £>i f	или		З г г
в )	"Четный*	потенциал.
Т е о р е м а		ГІ.7. Пусть с1		(сс,£)	= -С^(<Х.,-£)			.	Тогда
для восстановления такого потенциала достаточно								знать	один
из коэффициентов		отражения	£>	или
Действительно, в силу			пункта в ) §		1	г л . 4 в		этом	случае
		3 = eJ£~'Je .						( 2 . 1 3 0 )
И ПОЭТОМУ, ЄСЛИ ИЗВебТНЫ			t$fg И		,	T O	Jgf		легко
через них выражаются; \/{i—Jei{Cf					и
Тогда в	силу теоремы ГІ.З		и П. 4	получаем		справедливость тео—

ремы

11.7.

Т е о р е м а

П . 8 .

Пусть

. cf(x,t

с£(-x,ij

Тогда

матрица

оператора

рассеяния

"дважды

симметрична": ^ > н — ^ г і І ,

«3/ г

—

, и поэтому для нахождения

потенциала

доста"-

точно

знать коэффициент прохождения и отражения.

Доказательство

следует

из

пункта

в)

1 г л . 1 У,

ибо для

рассматриваемых потенциалов

выполняется

т о ж д е с т в о

( 2 . 1 3 1 )

г )

Вырожденный

потенциал.

Пусть

det

, т . е .

CiCx,t)-Cg(x,i)=0

Рассмотрим

простейшие

случаи.

I .

с^х^О^О

при

Х<0

ш.

Ct(x,t)

= 0

при

t<0

сг(л,і)=0

при

х>£>;

сЛх,і)

= 0

npnt>0;

( 2 . 1 3 2 )

II. C1(X,t)-0

при

JC>0

1 У .

cf(x,t)=0

при

t>0,

Cg(x,t)=0

при

x.<0\

Cz(X,t)=b

прч

t<0.

этих

случаях

система

уравнений

ди.

=6-T-+C(x,i)u

( 2 . 1 3 3 )

допускает точное решение, что приводит к явной связи опера тора рассеяниі." и потенциала. Приведем соответствующие в ы р а жения

і .	#„ = о ,	К , - о ,
		2Z
	•оо	( 2 . 1 3 4 )

п.

( 2 . 1 3 6 )

'4-5 J**,

F,< а , < * Н

1У.

-s

ЛІ	' г	CLS(^)CL^ ,	( 2 . 1 3 7 )

В случае Ш можно			выразить	Ffg	через	, а	в случае	1 У
Fz1	через	{/^	, используя следующую			легко	доказываемую
лемму,
	Л е м м а	2 . 7 .	Пусть & —				— матрица	с
операторными		коэффициентами.		Если	существует		, о

и S" =

( 2 . 1 3 8 )

Используем лемму 2 . 7 в случае LII.

Учитьгоая, что 522 — T+F 22 —Т имеем

\0	I
Поэтому	Fiz	= -	У / 2						Переходя
к обратным		операторам		в равенстве		£ =	1		Уа\-*(~Го
к обратным		операторам		в равенстве		£ =	O	i l	\F„I
получаем	также		#1 = -	F	и V n		O	i l	\F„I
получаем	также		#1 = -	F	и V n	= - F	2f	У
Рассмотрим			случай	1 У .	2Z		2f	12
Рассмотрим			случай	1 У .	В э т о м ' с л у ч а е

Ги Ггг/ \ f f

Поэтому	в	случае	1 У	F£/ = - &if , F^ - - УІГ FiZ	и
*t -	F	-V	— -	F

§ 3 . Прямая и обратная нестационарная задача рассеяния для гиперболической системы на полуоси

	Рассмотрим на полуоси					•> О	систему уравнений
			аи„	дио
где	( r e , t)		—измеримые комплекснозначные						функции и
				С
При	х=0		рассмотрим		граничное		условие
			и,(О^)		= иг(0,г)		.				( 3 . 3 )
	1 . Нестационарная задача рассеяния
	Задача	рассеяния		для	системы		( 3 . 1 )	с граничным			у с л о
вием	( 3 . 3 )	ставится следующим' образом.						Требуется		найти р е
шение системы			( 3 . 1 ) ,	удовлетворяющее условию					( 3 . 3 )		и при
з с — к ^ о о			имеющее	следующую,			равномерную		по	t	.асимп
тотику
	u,(x,&)=a(x*t)			+ 0(f)		,	+				( 3 . 4 ) .

г де aix + t)		- заданная падаюшая				волна.
Л е м м а	3 . 1 .		Для	любой непрерывной, равномерно					о г
раниченной функции			(з)	существует		и единственно		реше
ние нестационарной задачи рассеяния ( 3 . 1 ) - ( 3 . 3 ) - ( 3								. 4 ) .При
этом, если	a(j)	= 0		при	s •<• J-	, то при	Х.+1	і J-	u.t(x,i)-
и i±z(x,t)-0		. При jc-f-t-00			справедлива		асимптотика,
равномерная	по	t

и,(л,і)=		би-л)		+ 0(О ,		х-* +			( 3 . 5 )
где
	"О					°0			( 3 . 6 )
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Легко	доказать,	что		задача ( 3 . 1 ) -
( 3 . 3 ) - ( 3 . 4 ) эквивалентна					следующей системе			интегральных
уравнений	задачи		рассеяния
a,(x,t)=	a (JC+f)		+
			_ 0 0						( 3 . 7 )
			_ 0 0
uz(x,t)	= a(t-jc)		+
X			"О
X
Систему	( 3 . 7 ) перепишем				в виде
uf{x,t)-a(x+t)		+	ci(x	+ t-r>t)ue(x*-		t-T,		TjdT,
			t-x						( 3 . 6 )
			cf(i	-x	-т,т)a (t-л-Т,		Г)	dr	+
ce(T-t+x,T)ui(T-£-f					je,?)dT.

i-x

Существование

и единственность

ограниченного

решения-сис

темы интегральных уравнений ( 3 . 8 )

следует из ее вольтер -

ровости

по переменной

на основании леммы

1 . 2

г л . 1 .

Рассмотрим систему ( 3 , 8 ) при

x + t^X

. Если

a(s)=0

при

то

свободный

член

в ( 3 . 8 )

равен

нулю при

A+t£rJl

и поэтому

при

/.+

<? Л

и,г(л,і)^.Оуі

u£(xJ)-0.

Если

функцию 6(s)

определенную равенством

( 3 . 6 ) ,

подстадить

во

второе

уравнение

( 3 . 7 ) , то

получим

оо

и.г(х,і)

= S(t~X)-

I cg(yy

6-x+y)uf(y,

t-x+y)dy.

( 3 . 9 )

Из этого равенства следует ( 3 . 5 ) . Лемма доказана.

Функция

S(t-jc)

представляет

собой

отраженную

волну.

Таким образом, решение задачи рассеяния

при х-*-+о°

асимп

тотически

представляет

падающую и отраженную

волгы:

uf(x,t)

= a(x

+ t) + ОСП

( 3 . 1 0 )

аг(х,£)=

Set-*,)*

0(0

х-> + °°.

Каждой

Аункцни GL(s)

(-сю<s<-*oo)

задающей

падающую в о л

ну a.(X+t)

однозначно соответствует

функция 8(s)

(-oo<s+°°))

определяющая отраженную волну. Оператор 3

переводящий

a(s)

S(J) ,

называется

оператором рассеяния

нестационар

ной

задач

рассеяния

на

полуоси

для системы ( 3 . 1 )

гранич

ным

условием

( 3 . 3 )

Si<s) = $acs> .

( 3 . 1 1 )

Интегральные

уравнения ( 3 , 7 ) можно

преобразовать

учетом

( 3 . 6 ) так,

чтобы

они не содержали функции а

А именно,

легко получить систему

интегральных

уравнений

( 3 . 1 2 )

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ