книги из ГПНТБ / Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния

Учитывая,

что при фиксированных (x,t)

r.(x,t,t.)—>

о

а также однозначную разрешимость уравнений

( 2 . 4 2 ) ,

д е л а ­

ем

вывод,

что существует

предел,

когда

h

О

,

выражения

L

Л

(х,

t,&)

и

п.

+

&т

I

A+(*,t.Z)=-e>(*,t)\(a,t:b),

Z*t.

( 2 . 5 4 )

k+o

1

Аналогично

из уравнений

( 2 . 4 3 )

получаем

существова ­

ние

tint

L

A_(x,t

,ё,)

и

равенство

h-+-o

Л

tin

LЫЬS*,tA)=-C__(x,t-)Ajx,t,b\)

у.

h\>t.

( 2 . 5 5 )

Равенства

( 2 . 5 4 )

и ( 2 . 5 5 )

можно

рассматривать

в

силу

( 2 . 5 0 )

как уравнения

( 2 . 3 7 )

в обобщенном

смысле .

3 .

Согласованность

ядер

А -операторов

на

диагонале

Если

оператор

^=I*F

допусі.ает

правую

факторизацию

^ = И~А+)

f(I-t-A_)

и

h ,

А +

,

А_

— интегральные

операторы с непрерывными ядрами, то существуют значения

ядер

и

А_

на диагонале и эти значения

совпадают

А+Н,{)

= А_и,1).

( 2 . 5 6 )

Действительно, обозначая

(/- А +

/ /

R+

получаем

F-R+

+ А_ •* R

А _

, Отсюда,

в

силу н е ­

прерывности ядер делаем вывод, что R+U,t)

-

b_(t,t)

Но из

определения

R+

следует

R^(t,t)

-

А+

(t,t)

Поэтому

н

А +

(i,t)-

А_ (t,t)

.

Если

ядра

рассматри ­

ваемых операторов не обязательно непрерывны,

то

в

этом, с л у ­

чае о согласованности факторизационных множителей

( 2 . 5 6 )

нельзя

говорить,

ибо не

определены

значения

ядер

на

д и а г о ­

нале.

Однако,

если

/*-

включить

в

семейство

операторов

^х.Т'^-х

• попускаюпшх

правую факторизацию,

то

почти для

в с е х значений

л

можно

говорить

о

некоторой

согпасовян"**-

стп

на діагонале

фактопи.заияоннмх

множителей

Л е м м а

2 . 3 .

Пусть

о п е р а т о р ^ f

f x

допускает

при любом х

правую факторизацию:

<Гг<Гл=(Г+А,(х)Г'(Г+А_(х)).

( 2 . 5 7 )

Тогда

ядра

A^lx,

t,^)

и

А_(х,t,i%)

почти

для

в с е х

аг,О

согласованы

на

диагонале

А +

(х,

t,t)-eA/xJ,t)(J=~\Ajx,{J)-6Ajx,t,t)e](2.58)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Существование для

почти всех(х,

t)

выражений

( 2 . 5 8 )

доказано

ранее (см .

( 2 . 4 7 )

и

( 2 . 4 8 ) ) .

Факторизацию

( 2 . 5 7 )

перепишем

в

следующем

виде;

U + Ai.(x))Se/*

= (I+Aja))£t.

( 2 . 5 9 )

Пусть

aeL£

— произвольный

вектор. Обозначим

ё-та,

в согласно

( 2 . 5 9 )

введем

вектор-функцию

t/(xtt)=(H-Ajx))f8U)

= (I+Ajx))J.

a (t)

( 2 . 6 0 )

Покажем, что в обобщенном смысле v(x,

t>

е с т ь

реше ­

ние с и с т е м ы

уравнений

вида

dv

far

—

= 5

C(x,t)vix,i)

.

( 2 . Є 1 )

dt

дх

Разностным

аналогом

~

-

6 —^

является М.

:

dt

дх

к

і

vf

(х- ktt+k)-

t>T (x,t)

\

МнгНя,і)

= £

\vs(x^A,t;h)-ig{x,oJ.

(

2 ' 6 2

)

Применяя

М/г

к

равенству

V{aj)

= (I

+ Af

(x))'f.6(t),

( 2 . 6 3 )

чоггучаем

Х)\

dt,

+

t+2k.

0

,

\eix-k,t+AA-b>

dt,,

( 2 . 6 4 )

г д е

LK

определено

равенством

( 2 . 4 9 ) .

Учитывая,

что

UmLA

Ax.t

Х)--Cj.x,t)

A

.(x,t

согласно

лемме 2 . 2

( с м .

2 . 5 4 ) .

a

t+ihl

0

h4,{x-k,t+k,b-h.)\{B

Еіпг

-

\

\h

(x*h,iih,S-h),

о

/

\j^-x)J

Из

( 2 . 6 4 )

получаем

tin M. V(x,t)--C.

(x,£)v(x,f.)

.

( 2 . 6 6 )

h-~Q

Совершенно

аналогично

применяя

/V?,

к

равенству

tf(x,

t)-(l*A_

(х))

а (і)

( 2 . 6 7 )

н учитывая

( 2 . 5 5 ) ,

получаем

fin

М гЧх,І)~-С

<x,t)V(x,h.

( 2 . 6 8 )

Сопоставляя

( 2 . 0 6 )

и ( ? . П й ) ,

л«.цлем

П М Р Р П ,

Ч І П почти дня

веет

(x,t)

C+(a:,t)VLx,t)=

C_(x,t) v-(x,t).

( 2 . 6 9 )

Так как при любом фиксированном х

можно подобрать

&СІ)

или eay^o-lt)

таким

образом,

чтобы v-(x,t)

был

про­

извольным вектором

из

L&

(это

простое

следствие

( 2 . 6 0 ) ) ,

то из

( 2 . 6 9 )

делаем

вывод

C+ia:,t)~C_(x,t)

( 2 . 7 0 )

почти

для в с е х

(х,

t)

.

Это

и дает

равенство

( 2 . 5 8 ) .

Замечание

к лемме

2 . 3 . Если выполняются

условия

т е о ­

ремы

1 У . 2 ,

то

потенциал

C(oc,t)

,

определяемый

равенства ­

ми

C(x,t)= Ah+(x,t,t)-6h+(x,t,t)G\

=

[Ajx,t,t)-6Ajx/,t)Cf\>(2.7

1)

имеет

вид

/

о

cf(*,t)\

/

( 2 . 7 2 )

и удовлетворяет

оценкам

\C.ix,t)\*

:

і

А =

.

( 2 . 7 3 )

*

(/+\х\/^«.Ш)^

Действительно,

из

л е м м ы 2 . 3 п о л у ч а е м

равенства ( 2 . 7 1 )

. Из

( 2 . 7 1 ) следует

указанная

структура

С(ж,і)

и

равенства

c,(*,tJ

= -£A+tg(x,i,t)=-

2A^(x,t,t)

;

cs(x,vJ=-M+gf(x,t.t)~

2A-.g/x,t,t).

(2.74)

г де

О

cf(x,t)\

I

0

,

Alfg(x,t,th

I

О,

A^x.t.t)

W*,t)

<>

I

\\J*,t,t)

о )

[А МІ),

о

г і

г <

( 2 . 7 9 )

Д о к а з а т е л ь с т в о

.

Если

выполнены

условия

т е о р е ­

мы

1 У . 2 ,

то верными являются

утверждения

лемм

2 . 1

,

2 . 2 ,

2 . 3 .

В частности,

из

замечания

к

лемме

2 . 3

следует

( 2 . 7 9 )

и оценки

функций

с

(х,і)

и

сг(х,£)

.

Учитывая

также

ные системы

интегральных уравнений

( 2 . 7 5 ) - ( 2 . 7 8 )

имеют

смысл .

Применяя к

правым

частям

( 2 . 7 5 ) - ( 2 . 7 6 )

разностный

оператор

, определяемый

равенством

( 2 . 4 9 ) , и переходя

к пределу

, получим - C(x,t)

А + (X,

t, 4

)

Но согласно

лемме

2 . 2

(см . 2 . 5 4 )

применение

к л е ­

вым частям

( 2 . 7 5 ) — ( 2 . 7 6 )

в пределе И.-*-о

дает ту

же вели­

чину - C(.x,t)

А+ (

х

,

.

Таким образом, левая и правая

части

в ( 2 , 7 5 ) - ( 2 . 7 6 )

могут

отличаться лишь

на решение

Ф(Х,і,

£,) однородного

уравнения

tim

L

<P{.x,t,b,)

= 0 .

( 2 . 8 0 ) •

Учитывая, что L. Ф

е с т ь

разностный

аналог

дифференциально—

г о выражения

—

-о

—

+6

——&

легко получить

обшее р е ­

шение

( 2 . 8 0 )

д і

д

х

д Ь >

Ф(х,і,К)=[

I

( 2 . 8 1 )

где

—

произвольные

функции.

Так как вторые равенства в

( 2 . 7 5 ) — ( 2 . 7 6 )

при

как

слева,

так и справа

дают

равные

величины в

силу ( 2 . 7 9 ) , то

Фіг(і*х,і-.х)=0,

Ф]{(£-хJix)-

О

почти

при в с е х

(X,t).

т . е .

— О

ф=0

Ф

"

'

S i ~

( 2 . 8 2 )

Левая

часть первого

равенства

( 2 . 7 5 )

при любом х.

явля ­

е т с я

ядром

оператора

Г . - Ш . В

с і л у

оценок

( 2 . 8 ) - ( 2 . 7 4 )

т а ­

ковой

же является и правая уасть. Более

того,

при-х-*"-0 0 нор­

ма Г . - Ш . правой части стремится к нулю. Согласно

( 2 . 9 )

||А

-=*• О

при

х-*--

. Таким

образом,

Ф^И+хА+хЬ

как

разность

между

обеими

частями

в

первом

уравнении

( 2 . 7 5 )

должна определить оператор

Г.-Ш,

норма

которого

стремится

к

нулю

при

с с - > - - о о

. Это возможно

только

в

случае

Ф^

О, ибо норма

оператора,

ядром

которого

служит

Фн

(t

+ x,

^-f-x)

, не зависит от

х- .

Совершенно

аналогично

получаем

@

• Таким

образом

Ф(х,

ty£,)=0

,

т . е . равенства

( 2 . 7 5 ) - ( 2 . 7 6 )

дей­

ствительно

имеют

м е с т о .

Доказательство

равенств

( 2 . 7 7 ) - ( 2 . 7 8 )

получаем

из

( 2 . 5 5 )

так же , как

и

( 2 . 7 5 ) - ( 2 . 7 6 )

из

( 2 . 5 4 ) .

5 . Доказательство основной теоремы

Пусть

выполняются

условия

теоремы

1J'.2. Тогда,

с о г л а с ­

но замечанию к лемме 2 . 3

для почти

в с е х

(x,t)

существуют

функции

ci(.x,t)

и

c,(x,t)

\c,(x,t)\<

,

определяемые

равенством

( 2 . 7 4 ) .

Ядра

А —операторов согласно

лемме

2 . 4

удовлетворяют

интегральным

уравнениям

( 2 . 7 5 ) — ( 2 . 7 8 ) ,

в

точности

совпадаю­

щий

с

интегральными

уравнениями ( 2 . 3 1 ) - ( 2 . 3 2 ) ^ ( 2 . 5 6 ) -

( 2 . 5 7 )

гл . П для операторов

преобразования

задачи

нестаинс)-

нарного

рассеяния

с

указанными

выше

Cf(x,t)

t

с£(х,ї)

В силу однозначной разрешимости интегральных уравнений

делаем

вывод, что

А

— операторы

являются

операторами

пре­

образования.

Так

как

условие ( 2 . 7 ) георемы

выражает

опера­

тор f

через А —операторы в точности

так же,

как

оператор

рассеяния £ выражается через отгерятоом преобразования,

д е ­

лаем вывод,

что

/Г-,*}

, т.а.|"есть опп ратор

рягсеячпя

задачи

с потенциалом

Ci(X,{)

,

Cjfx.i

}

,

улопчотпоряютим

1

5 8