книги из ГПНТБ / Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния

тел» R*~\St,j\

ij^i

(

6i,j~°

n I J , 1 < / > /

) "

C-~¥ij\\

(

^ V =

^

" P " ' V

) , т . е . пред-

ставлено в виде

Л = ^ - Г _

( 2 . 1 )

А =

( 2 . 2 )

имеет место тогда и только тогда, когда

обратная

после ­

довательность ее миноров отлична от нуля. т . е .

Ъ=

**\\*^\\?^ -

к+

<*0.

( 2 . 3 )

Ы

л

Факторизацию ( 2 . 1 ) будем называть правой, а ( 2 . 2 )

-

левой.

Если матрица

А Допускает правую

и левую

фактори­

зацию (множители

могут быть различны),

то говорят,

что

Матрицы,

допускающие

двустороннюю

факторизацию, о б ­

ладают рядом интересных свойств. Остановимся,

на

некото ­

рых из них, что будет

полезно

при рассмотрении

контину -

альных аналогов.

Пусть

А

- квадратная

матрица. Рассмотрим

равенст ­

во

А^=У,

( 2 . 4 )

где

. ,<хпУ,

у = (у,,...

— в е к т о р ы

из £ П

Если

в равенстве

( 2 . 4 )

х

считать

известной

в е ­

личиной, то у

всегда

однозначно определен. Если считать

у - и з в е с т н ы м , то

сс -однозначно определен, если

А —

невырожденная матрица. Однако компоненты

х и

у

м о ж ­

но разбить

на две группы

-

' и з в е с т н ы е *

и

"неизвестные"'

следующими

способами

(2.Г>)

При этом <5,

или

£

будем

считать

заданными,

а

другой

из векторов-искомым.

Если при любом таком разбиении компонент -Г

и у

н е ­

известные компоненты однозначно определены через

и з в е с т ­

ные, то будем говорить, что

Л — разделительно

обратима.

Легко доказать,

что

А

-разделительно обратима

т о г ­

да и только

тогда,

когда

А

допускает двустороннюю

<Ьак—

торизацию.

Разделительная обратимость матрицы допускает простую

интерпретацию на языке линейных многополюсников.

Пусть

-х. -

входной

сигнал. Тогда

tj = А -х

-выходной

рипей А

. Обратное

включение

многополюсника

означает,

что

у

-входной

сигнал,

а зс

-выходной. При

этом

матрица

т а ­

кого

многополюсника

равна

A"f

.

Если £,

считать входным

сигналом,

а

^ -выходным,

то

это

означает

разделительное

ник

А

допускает ранее указанные

разделительные

включения,

то

его

матрица

А

• допускает

двустороннюю

факторизацию.

Отметим, что обычно в электротехнике сигнал

в

к

- к а ­

нале (входной &к^сс^.

,

выходной

^

представ ­

ляют В

ВИДЄ

З к

=

|cZA| • Є1

<-Ук~Ук,о')

,

Г Д Є

<рк

в

~

произвольная начальная фаза, зависящая от выбора

начала

о т ­

счета . Это приводит к тому, что две унитарно

э к в и в а л е н т ­

ные матрицы

А

и

DAD~Y

,

где

Л -

диагональная

уни­

тарная матрица,по существу определяют один и тот

же

много ­

полюсник.

Рассмотрим следующую постановку обратной спектраль ­

ной задачи в линейной алгебре. Рассмотрим

в с е

значения Л- ,

при которых

матрица

А - <£ї

не допускает

двустороннюю

факторизацию.

Эти

значения

будем

называть

системой

р а з ­

делительных

(факториэаиионных)

собственных

значений.

Системи факторнзацнонных

собственных значений с о в ­

падает с системой собственных

значений прямой и обрат­

заключается в

восстановлении

матрицы

А по

ее

системе

факторизатюнных собственных

значений.

Здесь, повндимому, имеет место следующий результат:

симметрическая матрица А восстанавливается

по

системе

собственных значений прямой

и обратной

последовательно­

сти главных миноров однозначно, с точностью

до

диагональ­

но унитарной

эквивалентности.

Рассмотрим еше одну, на первый взгляд,

и с к у с с т в е н ­

ную задачу. Однако, как будет

видно

из

дальнейшего,

ее

континуальный

аналог существенен в

решении

обратной

н е ­

зоны: "верхнюю" и "нижнюю". В верхнюю отнесем все

э л е ­

менты, стоящие над главной диагональю, а в

нижнюю -

под

главной диагональю. Элементы на диагонали

разобьем

на

верхние и нижние произвольно. Вопрос, о котором пойдет

речь, заключается в следующем.

Пусть

у

матрицы

А

известны все

верхние

элементы,

а у матрицы A~f

— в с е нижние. Когда

по

этой

информации

можно

восстановить

А

? Ответ следующий. По верхним

элементам

матрицы

А

и по нижним

элементам

матрицы

А'1

матрица

восстанавливается однозначно

тогда и

т о л ь ­

ко

тогда,

когда

она

допускает

двустороннюю

факторизацию.

§

3 .

Факторизация

фредгольмовых

операторов

О п р е д е л е н и е

1 . 1 .

Будем говорить,

что

оператор

А

в

пространстве

Z 2

( - эт

. +

0 0

; ^ }

суммируемых

с

квадратом

функций

на

всей оси

допускает

правую

факто­

ризацию,

если

существуют

такие операторы Гильберта-Шмид­

та

К+

и

К_

,

являющиеся вольтерровскими

с

переменным

верхним и

соответственно

нижним пределами,

что

А =

- С Г + * + Х 7 +

Kj

, з д е с ь

I

-

единичный

оператор.

Если

имеет место

представление

А =

Х / + А+ ) ,

то

будем

говорить,

что

оператор

А

допускает

левую фак—

торизашпо.

Пели оператор

А

допускает

праную

факторизацию,го

согласно лемме 1 . 1

существуют операторы

(1

+K^)'f

{Г+К_)

1

и,

следовательно,

существует

А " '

,

который

равен A~f—(I+ К_)

'(I

+ К+У*

,

а

значні,

оператор

А

допускает левую факторизацию . Аналогично получаем,

чго

если

оператор

А

допускает

левую

факторизацию,

то

суще ­

ствует

А " '

,

и он

допускает

правую

факторизацию.

Л е м м а

3 . 1 .

Прямая

и обратная

факторизация

единст­

венна.

Д о к а з а т е л ь с т в о

. Пусть,

например,

оператор

А

д о ­

пускает

две

правых факторизации

А — ( J /- K^f))(

Li

К ( 1 ) )

11

Л — (Ґ+

К^*)(Г

+ К (

* ,

Тогда,

приравнивая

эти

в ы р а ж е ­

ния,

получаем

(1+к У хг + kL°)=а+*

?xi+ к[е))-

о

д

)

Умножая слева ( 3 . 1 )

на

(2> К (

+Ъ ~* и справа

на

(1+К(_г))

,

которые

существуют

согласно лемме 1 . 1 , получаем

(Г+ К^)-'(1+К(?)^(1+К^){1+

К<Р)'.

( 3 . 2 )

В равенстве ( 3 . 2 )

слева

стоит

сумма единичного

опе ­

ратора

н вольтерровского

с

переменным

верхним

пределом,

а в правой части ( 3 . 2 )

— сумма единичного

оператора

и

вольтерровского с переменным нижним пределом.

Следова

-

тельно, каждая из частей равенства ( 3 . 2 )

равна

единичному

оператору.

Но

тогда

л +

+

и

л_

=

А _

, т . е .

правая факторизация единственна. Аналогично доказывается

единственность

левой факторизации.

Т е о р е м а

3 . 1 .

Пусть 3— интегральный

оператор Гиль­

берта-Шмидта в-

С - ° ° ,

+0

0

;

АО

. Тогда

при любом

*Z

существует

и единственно

в

Lg

решение

уравнения

+

f-J

& (х,л)

у

(s) &s

— Л\т>)

д

л я

любой

правой части

t(oc)eLg

тогда и только тогда, когда оператор

1+ &

допускает

пра ­

вую

факторизацию.

Однозначная

разрешимость

уравнения

у (3?)

[ &

(д\ s)

у

) с/,ч = f(tr)

'фи

любом

*2

эквнва -

при

условии, что оператор

Ii-3—(It-R_)(I

+

R+).

Таким образом, левая факторизация оператора

J+B

приводит

к

однозначной

разрешимости

уравнения

оО

1/(Х)

+

В

)у

(s)ds

-

f(x)

( 3 . 1 О)

'1

при

любой

правой

части

т€

Ьг

Наоборот,

пусть уравнение ( 3 . 8 )

разрешимо

при

л ю ­

бом

Л

и любой правой

части

fie

L

. .

Рассмотрим

уравнение

y№

+

&(&,t)y(t)dt

= -

6>(J-jr)3(ccyJ)A

,

( 3 . 1 1 )

-оо

которое имеет смысл при любом

И.єН

почти

для в с е х J-

,

ибо

3(х,Л)А

почти

для

в с е х

J.

является

суммируемой

с

квадратом вектор-функцией по -х

е

(-<*>,

+ *°)

,т.е.

правая

часть принадлежит

(

- +

<*» ;

А/) .

y(>x,A)k

,

Обозначим решение

уравнения

( 3 . 1 1 )

через

величину

9(d~3:)u(jc,d)

-

через

R_l&,J-)

,

а

*[В>(сс,Л)-

у(ас,Л)\

— через

К^іа:,^)

.

Легко

заметить,

что ядра R_(a:,J.)

и

K+(a?t,l)

являются

ядрами Гнльбер.

та—Шмидта.

Покажем,

что

т* в = а+ к^а>

R_yj'.

( 3 . 1 2 )

Действительно, y(sc,JL)--R_(-xA)-K+(x,l)+

&(X-J)3(X,J),

Подставляя это

выражение в

( 3 . 1 1 ) ,

получим,

учитывая

произвольность

h€

/V

,

что

В(л<Л> + R_(x,J.)

+ J

SU,t)R_(t,Jl)dt-К+{аг,Л).

( 3 . 1 3 )

-сто

Ііпи

в операторной

форме

В + /г__ /-3R_=

/Cf .

( 3 . 1 4 )

(ПВХІ+RJ-

.

( 3 . 1 5 )

Умножая справа ( 3 . 1 П )

на оператор

(T-i R_ )

, к о т о ­

рый существует согласно лемме 1 . 1,получаем

( 3 . 1 2 ) .

Т а ­

ким образом, из разрешимости при любом •Х и

f

у р а в н е ­

ния ( 3 . 8 )

следует

правая факторизация

( 3 . 1 2 )

оператора

Совершенно аналогично, предполагая разрешимым у р а в ­

нение ( 3 . J 0 ) ,

получаем,

что операторное уравнение

у(х) +

B(j:,s)y(s)cLsв(сс-Л)В(л

Л.)

( З Л О )

однозначно

разрешимо почти для в с е х

U.

Пусть

у (А, Л) — решение

( 3 . 1 6 ) .

Обозначая

( 3 . 1 7 )

получаем

' у(я,Л)

= Я+(я:,Лу-К_(ят2у

+ вМ-х)В(х,Л)

. ( З Л 8 )

Подставляя

( 3 . 1 8 )

в ( 3 . 1 6 ) ,

имеем

5(x,t)R+(t,JL)dt=

К

(x,J).

Пли в операторной

форме

1

В + R++8R+=K_

.

( 3 . 1 9 )

Из последнего

равенства

получаем

I+B^(Z+K_Xr+R+y\

( 3 . 2 0 )

т.е. левую

факторизацию

оператора

I+B

. Теорема

д о ­

казана.

Фактически

при цоказательстве

теоремы

1.1

построен

алгоритм факторизации оператора

I * В

. Этот результат

сформулируем

отдельно.

Т е о р е м а

1 . 2 .

Пусть оператор

А — Т+В

доггуска-

ет

правую факторизацию

А=(1-К^)~у

(1~К_)

. Т о г ­

да

для любого

Л

существует интегральный оператор

Г

:

Д

Гл

{I+BQ^r'&^&U+Q^ey'.

( 3 . 2 1 )

Операторы

и К_

— однозначно

восстанавливаются по

формулам

( 3 . 2 2 )

где

(£,s)

•- ядро

оператора

/j

.

Д о к а з а т е л ь с т в о

. Обозначим

(7-/ff )"'= I+R

y

(I-KJ=

T+ R_.

Тогда

из правой

факторизации оператора

Т+ 3

=(I+R

R_)

получаем

( 3 . 2 3 )

Отсюда с учетом замечания к лемме 1 . 1 следует

существо ­

вание

операторов

(1+

ЗЦ^У*

и

(I

+ Q^3)~*

,

а

также

равенства

( 3 . 2 4 )

Из ( 3 . 2 4 )

легко

получаем

( 3 . 2 5 )

Обозначим

через

оператор

а + в я л у 1 з = г л ,

( з . 2 6 )

Тогда из тождества

3(1

+ Q^B)

-

(I'+

BQ^)5

,

действуя

на него слева

оператором

(2> &

Q

,

справа ( J +

Q^B)'1

получаем

Гл

= В(1+в^ВУ'.

( 3 . 2 7 )

Непосредственно

из

( 3 . 2 6 )

и ( 3 . 2 7 )

получаем

( 3 . 2 8 )

{

I

, 5 Q J

i r U l - r j L

Q 1

а также уравнения для

:

Г

2 =

3 - Г

л 4 и В

>

( 3 . 2 9 )

ги

=

* - * 4 л С і

•

(з.зо)

Из равенства

( 3 . 2 6 )

или из

( 3 . 2 9 ) легко

заключаем,

что

почти для

всех С t,s ) существует

r^(t,s)

, а

из

( 3 . 2 7 )

или ( 3 . 3 0 ) , что

почти

для в с е х

(t

,sj

существует

Г^({,з).

Обе эти функции являются ядрами Г.-Ш.

Подставим

( 3 . 2 8 )

в

( 3 . 2 5 ) ,

и полученные

равенства

запишем в

терминах

ядер