книги из ГПНТБ / Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния

и аналогично

и Л 8 )

где

§ i

и

^

определены

равенствами

( 1 . 2 4 ) ,

( 1 . 2 6 ) .

Первая компонента a,f(s)

вектор-функции

О-(з)

опреде ­

ляет падагошуга справа волну и^0(х,£)

= £1^(я:Л)г

UM(st,t)=0.

Вторая компонента ag(s)

вектор-функции

а(з)

определяет

падающую

слева

волну

u i 0 (ж,

t)

= О, и.гп(я,£)

= а.

Т а ­

ким образом, вектор-функция

сг.(3)

определяет падаюшую

вол—

ну. Совершенно

аналогично

6i

(s)

определяет рассеянную В Л Є Б О

волну

Bi(vc+t')

,

а

(з)

-

рассеянную вправо волну 8^ (if-Jr)

О п р е д е л е н tie

. Оператор

S

, переводящий

вектор -

функцию

а

(6)

, которая определяет

падающую волну,

в в е к ­

тор-функцию

,

которая

определяет

рассеянную

волну,

б у ­

дем

называть

оператором рассеяния

для

системы уравнений

( 1 - 1 6 > -

Согласно

этому

определению

о (3J — о а. Сз)

( т

е_

ctt(s)

( 1 . 2 9 )

a£(s)

Таким

образом,

оператор

рассеяния

і!з

является

м а т ­

ричным

оператором;

Операторы

S^g

(к,

f=/,2)

играют

роль

операторных коэффициентов

прохождения

и отражения:

6ff

— коэффициент

прохождения

справа,

^SZ "

. к о э

Ф Ф и ц и е н т

прохождения

слева,

Отметим, что при r ^ s

C g s О , 8(3)

= a (S) , а оператор

р а с ­

сеяния равен единичному оператору. Оператор рассеяния

$

будем

рассматривать в

пространстве

Z/g суммируемых с

к в а д ­

ратом

вектор-функций.

да І (я,*)

ди.сх.і)

-

•ю^х,*

СС, і)иги(х,і)о ( х, о ,

( 2 . 1 )

даЛх,і)

даг(хЛ>

,

дх

+ C2(X,t)U,(X,t)

где

\сллЛ)\

—

к = <,2 . ( 2 > 2

)

Нестационарная

задача

рассеяния

для системы

( 2 . 1 )

р а с ­

смотрена

з § 1 .

Приведем з д е с ь интегральное

уравнение

( І . 2 2 )

для

ре—

•пеняя задачи нестационарного

рассеяния

cf(x+t-7rv)

и (х+1-7,1)

dr, ( 2 . 3 )

u.g(Jc,t)

= a.eU-.x)t

J c t

( x ~ t +

ґ,т)

a1(x-t+Ti?)dT.

— o o

Если

учесть выражения

( 1 . 2 4 ) ,

( 1 . 2 6 )

для отражен­

ных волн,

то уравнения ( 2 . 3 ) можно

переписать в виде

U1(x,t)-eilxH)'-

Cf(x+-b-TJT)ug(sc+t-T,'Z)dr,

'6

( 2 , 4 )

Г

ug(x,t)

= ez(і~3tj-

с (JC-t-ht,T)

uf (х- t + ?,Vdr.

1 . Операторы

преобразования

Рассмотрим специальные интегральные уравнения ( 2 . 3 )

и ( 2 . 4 ) , считая свободные члены

в этих уравнениях произ­

Л е м м а

2 . 1 .

Существует

и единственно

в

простран­

стве равномерно ограниченных функций решение

иі

(ж

. і) ,

u.g

системы

интегральных

уравнений ( 2 . 3 )

при

любой

правой

части

а і (з

) , <2£ (з) є

С ( Є)

. Это решение

представимо в

виде

где функции

H^g

Csc,

t,£,)

(£,£=/,2)

при

фиксирован­

ном x

суммируемы

с

квадратом по

переменным

t и

в

области

£, ^

t

. При

этом

" , ^ , * . 0 = ! * , ( * , i J j ,

rte/(xtttt)

= t C g ( x , t ) .

( 2 . 6 )

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Существование

и единственность

решения

системы

( 2 . 3 )

по

существу

приведено в

д о к а з а т е л ь ­

стве леммы

1 , 2

г л . 1 .

Докажем поэтому

представление

( 2 . 5 ) .

Поцставляя ( 2 . 5 ) в

систему ( 2 . 3 )

и учитывая

произ­

вольность

функций

& i

и

, получаем

следующую

систему

уравнений

для Н

к р {

ж

, І ' .

с^х+і-ї.ї)

Hgf(jc+t-r,Zr

£,-t +1)

ctT,

с (х- UTJ) Н (Л- t+

t^+t-Ddt

1

( 2 . 7 )

В в е д е м фушшии И (зс, t, t,)

посредством р а ­

венств

~

/ (x-t£-t

£,-x+t\

(x-t +

с.(-х-t+ т.t)//

с

11

cf (x+ t-r,t) Н£г(х+

t-r,

-і, Ю

dr,

t,+x+t

( 2 . 1 0 )

Системы уравнений ( 2 . 9 ) и ( 2 . 1 0 ) будем

рассматривать

прд; фиксированном £,

относительно

функций

Hif

,

и

Н^

,

W 2 2 по первым двум

переменным.

Применим

лемму

1 . 2

г л . 1 .

мерно ограниченных решений ( 2 . 9 )

и

( 2 . 1 0 ) . Учитывая,

что

свободные члены

по

£,

допускают

оценку

вида

-

,—- ,

делаем вывод, что и решение по параметру

В,

допускает т а ­

кую

же

оценку. С другой стороны, мажорируя интегралы,

с т о я ­

щие

в правых

частях

уравнений ( 2 . 9 )

и ( 2 . 1 0 ) ,

легко

получа­

ем,

что

решение

при

фиксированном

х

по

t допускает

оценку

. Но тогда

Н ^

(x,t.£,)

допускает

оценку

, т . е .

Н,р

является суммируе-

мым

с

квадратом

ядром,

а,

следовательно,и

(х,£,£)

по

t

и

£,

суммируемы

с

квадратом.

Л е м м а

2 . 2 .

Существует

и

единственно

в

пространстве

равномерно ограниченных

функций

решение

u.i(x,t)y

u g

( x y t )

системы

интегральных

уравнений

( 2 . 4 )

при

любой

правой

части

К„МЮ=-гС,(х-у

. J - J

Ifr+t-Wg/a

+ t- ( 2 . 1 3 )

/-V

Если ввести функции Кnm(jc,t,&,')

равенствами

'Ка,(я,Ш=Кп1(хАЬ-*\

Кпг<х^&=Кпг(х,££+аО,

( 2 . 1 4 )

то система ( 2 . 1 3 )

примет вид

СО

а также

Kft(sc)

Kp(x)

KJx)=

( 2 . 1 8 )

где

(п,т=<,2)ш

( 2 . 1 9 )

Введем

матричный

оператор

сдвига

Si-

о

ІУ

( 2 . 2 0 )

\

х

\о

г Л

1

где Тх

обычный

оператор

сдвига:

TxP(i)-

f(t+sc)

.

Представление ( 2 . 5 ) решения

uf (x,t)

г ив (х,t)

запи ­

шем в

операторном

виде,

обозначая

век гор

=

u(x,t),

( 2 i 2 1 )

Wg

(*,*)/

а вектор с компонентами

a f t

a g

через

а

I

) = a ( t )

( 2 . 2 2 )

)=6(t)

•

( 2 . 2 3 )

Тогпа ( 2 . 5 )

примет вид

u(x,t)=[f+Н+(х)]

f^aCt)

.

(2.24)

Представление

( 2 , 1 1 )

решения

примет

вид

u.(x,t)=\mI+Kjx)\^.6(t).

( 2 . 2 5 )

Следует

отметить,

что

представления

( 2 . 5 )

или ( 2 . 2 4 )

реше ­

ния позволяет характеризовать оператор 1+ Н+ (ж)

как о п е ­

ратор,

переводящий

решение невоэмущенной

системы

и

(хt)~-

— i/„Cl(t)—\

I в

решение возмущенной системы

u(x,t)~

~\и

(х

t)j

'

К

0 Т О Р о е П Р И

t^*--^o

приближается

к

реше ­

ние ( 2 . 1 1 )

или ( 2 . 2 5 )

показывает,

что оператор

1+

К_(х.)

переводит

решения невозмушенной

системы Ji. S(t)~

(

1

^* * ^ )

в решение

возмущенной

системы,

которое

при с - > + оо

асимп ­

тотически

приближается

к

S(t)

. И з вышесказанного

следует, что операторы

Н+

(х)

и

К_ (х)

играют

роль.ана-

теории

рассеяния.

Если

учесть с в я з ь

между

рассеянной

волной и падающей,

даваемую

равенствами

( 1 . 2 4 )

, ( 1 . 2 6 ) , т о

уравнения ( 2 . 3 ) и

( 2 . 4 )

можно преобразовать к

виду

оО