книги из ГПНТБ / Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния
.pdf
|
Из |
граничного условия |
u(0^t)-0 |
|
|
получаем, |
что |
|
|
|||||||||||
11(0)— |
О |
|
и поэтому |
из |
|
( 3 . 5 3 ) |
получаем |
важное |
равенст |
|||||||||||
во |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 = (I+Ht(Q))~'(I+H_W)) |
|
|
. |
|
|
|
( 3 . 5 4 ) |
|||||||
Непосредственно |
из представления |
( 3 . 5 4 ) |
следует |
|
|
|
||||||||||||||
|
Л е м м а |
|
3 . 3 . Оператор |
рассеяния |
_> |
нестационарной |
||||||||||||||
задачи допускает правую факторизацию. Существует обратный |
||||||||||||||||||||
оператор |
S~f |
в |
пространстве |
Ьр |
(~оъ+оо) |
|
|
. Имеет |
м е с т о |
|||||||||||
представление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
6 = 1+Г- ? |
|
_ Г ' _ 1 * У , |
|
|
|
|
|
( 3 . 5 5 ) |
||||||
где |
h |
|
н |
і / |
|
— операторы |
Гильберта-Шмидта. |
|
|
|
||||||||||
|
Исходя |
из |
|
равенства |
|
( 3 . 5 4 ) |
введем |
в |
рассмотрение |
о п е |
||||||||||
раторную |
функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
&lx,)= |
(I* |
|
в+(х0))~{(1+ |
Н_ (х)) |
|
. |
|
( 3 . 5 6 ) |
|||||||
|
Л е м м а |
|
3 . 4 , Оператор |
&(х0) |
является |
оператором |
р а с |
|||||||||||||
сеяния нестационарной задачи на полуоси |
|
|
|
с |
граничным |
|||||||||||||||
условном |
|
U(xo,t)-= |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
. |
Задача |
рассеяния |
на |
по чуоси |
л » х 0 |
|||||||||||||
с т т ч щ и а л о м |
c(x,t) |
эквивалентна |
задаче |
рассеяния на |
полу |
|||||||||||||||
оси |
я-ъО |
|
с |
|
потенциалом df(x,t)- |
|
|
|
С<.x+x0^t) |
|
|
|
||||||||
Однако |
непосредственно я з уравнений |
для операторов |
преобразо |
|||||||||||||||||
вания следует, что операторы преобразования Н'^сх) |
|
для п о |
||||||||||||||||||
тенциала |
d1(x,t) |
|
выражаются |
через |
операторы п р е о б р а з о в а в , |
|||||||||||||||
ния |
Н+(х) |
следующим |
образом: Н± |
(х) |
= Н± |
(а: + -х0У |
|
|
||||||||||||
Таким |
образом, |
|
оператор |
рассеяния |
& f |
|
на полуоси |
х ъ х 0 |
||||||||||||
согласно |
( 3 . 5 4 ) |
равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(J* |
Hl,y |
|
(C))-Ul+ |
|
H<f)(0)) |
|
|
|
|
или |
|
gf |
= 6 ( л в |
) |
. ' |
|
|
|
4 . |
Свойство |
оператора |
рассеяния |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Используя |
принцип |
причинности, |
рассмотрим |
ряд свойств |
||||||||||||||
решения нестационарной |
задачи |
рассеяния. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Л е м м а |
3 . 5 . |
Если падающая |
волна |
alt+<&) |
равна |
|||||||||||||
нулю |
в |
области |
i+<x,<J- |
, |
то |
|
и решение |
и<ж,£) нестацио |
|||||||||||
нарной |
задачи |
рассеяния |
равна нулю в этой области. |
Если |
о т |
||||||||||||||
раженная |
волна |
Sd-x) |
равна нулю в области t-joJ- |
|
,то |
||||||||||||||
и решение |
а(х,£) |
|
|
равно нулю в этой области. Если одно |
|||||||||||||||
временно |
a(tr+x) |
= 0 |
при |
t+x*J- |
|
|
и |
6(t~x)=0 |
|
||||||||||
при |
t-x>J. |
|
|
, т о |
|
u(x,t)s.0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
. Первое утверждение следует из ин |
|||||||||||||||||
тегрального уравнения ( 2 . 9 ) , которому |
удовлетворяет решение |
||||||||||||||||||
u(-x,t) |
|
. |
Действительно |
, |
если |
a.{t+x)-0 |
П ри і+х<3- |
, |
|||||||||||
то и |
|
a.(t-x) |
— 0 |
П рц |
t + X'-J- |
|
|
, |
т . е . свободный член |
||||||||||
в уравнении ( 2 . 9 ) равен |
нулю в |
|
области |
t + x |
+ J- |
|
. В |
силу |
|||||||||||
вольтерровости уравнения по переменной t |
|
легко |
заключаем, |
||||||||||||||||
что и |
и(х^)-0 |
|
|
при |
t+sc*-J- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Совершенно аналогично |
из |
уравнения |
( 2 . 1 2 ) |
делаем |
|
в ы |
||||||||||||
вод, |
что |
u(x,t)--0 |
|
П ри |
|
|
|
|
|
|
, если |
|
B(t-x)~0 |
||||||
при |
|
t-x>d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если выполнены оба условия, то решение u(x,t) |
равно |
||||||||||||||||||
нулю |
как - в области |
t+x-'J. |
|
|
% |
так |
и в |
области |
t-x>JL |
||||||||||
Из этого |
факта |
следует, |
что |
|
|
|
\*с-о~^ |
|
|
|
' ^ ч и т ы в а я |
||||||||
также |
граничное |
условие |
u(0,t) |
|
= О |
, |
получаем, |
что |
реше |
||||||||||
ние |
u(x,t) |
|
|
удовлетворяет |
нулевым |
начальным |
условиям |
||||||||||||
по переменной |
х |
при х-О |
. |
Но |
и(х,£) |
е с т ь решение |
в о л |
нового уравнения. В сшгу единственности решения задачи Коши
по переменной |
х |
|
делаем |
вывод, что |
и (X, t)~0 |
. Лемма |
|
доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
Сформулируем |
теперь |
результаты |
леммы |
3 . 5 |
в оператор |
||
ной форме. |
|
|
|
|
|
|
|
Л е м м а |
3 |
. 6 . |
Для любого U. и |
х*О |
справедливы р а |
||
венства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q^UtxyP^O |
, |
|
|
Г 3 . 5 7 ) |
|
|
|
PUxtl(x)&-'Цл=0. |
|
|
( 3 . 5 8 ) |
Если |
Рл5Рха=0 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
то |
|
Рла=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 3 . 5 9 ) |
|||||||
|
Действительно, |
условие |
|
a(t+x) |
|
= 0 |
|
|
при |
|
ї+х<Л |
|
||||||||||||||||
можно |
записать |
в |
виде |
|
a=P^f |
|
; |
условие |
S(i-x)— |
|
О |
при |
||||||||||||||||
і-х>Л |
|
— в |
|
виде |
б-@х9 |
|
|
> И |
Л 1 |
[ |
а -£~*Ял |
|
9 |
|
|
|
; условие |
|||||||||||
u<x,t) |
= 0 |
|
|
|
при |
t+x^J. |
|
|
|
в |
виде Q x - x ^ < |
x |
) a = |
z 0 |
' |
|||||||||||||
условие |
и(х,і) |
|
|
= 0 |
при |
і-х>Л |
|
|
в |
виде |
^ |
Ц(х.)<Х=*0, |
где |
|||||||||||||||
f |
к |
|
д |
произвольны. |
Но тогда |
получаем |
( 3 . 5 7 ) |
и |
( 3 . 5 8 ) , |
|||||||||||||||||||
Е третьем утверждении леммы 3 . 5 |
показано, |
что если |
я и м е |
|||||||||||||||||||||||||
ет вид |
|
P^f |
|
, |
и |
& |
имеет |
|
вид |
@х 9 |
|
, |
то as |
6 s |
|
О |
|
|
||||||||||
|
Условие |
а = Р^-Р |
|
и |
3=$х$ |
|
|
приводит |
к |
уравнению |
|
|||||||||||||||||
Pj^Px^~^ |
|
|
|
|
• Д е и с |
т в н |
т |
е |
л ь |
н о ; |
раз |
&~Qx9 |
|
|
,тоРд& |
— 0 , |
||||||||||||
Но |
В=^Л |
|
, |
что в м е с т е |
с |
услорнем |
а = Р^г |
|
|
дает |
|
|
||||||||||||||||
Pji^Px^ |
|
|
|
|
|
• Наоборот, |
если |
£ |
|
удовлетворяет |
уравне |
|||||||||||||||||
нию |
Px&Pzf~О |
|
|
1 |
т |
о |
п |
р и |
|
а |
= |
Рл^ |
|
функция |
S |
|
имеет вид |
|||||||||||
QJLQ |
|
. Таким |
о б р а з о м , т р е т ь е |
утверждение |
|
леммы |
3 . 5 |
эквива*» |
||||||||||||||||||||
лентно |
|
тому, |
|
что из |
Рх^Рх^~ |
|
|
|
|
|
следует |
|
|
Рх^^^' |
|
|
||||||||||||
|
Т е о р е м а |
|
III . 2 . |
|
Оператор |
рассеяния |
нестационарной |
з а |
||||||||||||||||||||
дачи дпя уравнени» струны на nojr/оси допускает |
двустороннюю |
|||||||||||||||||||||||||||
факторизацию. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Правая |
факторизация |
доказана |
в |
||||||||||||||||||||||
лемме 3 . 3 . Равенство |
|
( 3 . 5 9 ) |
эквивалентно |
тому, |
что |
однород |
||||||||||||||||||||||
ное |
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
y(x)+-J |
F(x,s)y(s)ds |
|
|
- |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 3 . 6 0 ) . |
||||||||||
имеет лишь тривиальное решение. Но тогда |
H+FPX) |
|
|
1 |
с у щ е |
|||||||||||||||||||||||
ствует . Согласно теореме 1 . 1 |
г л . 1 оператор |
S-I+F |
|
допускает |
||||||||||||||||||||||||
певую факторизацию. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
5 . |
|
Восстановление |
потенциала |
по оператору |
рассеяния |
t |
|||||||||||||||||||||
|
Запишем |
равенства |
( 3 . 5 7 ) |
и |
( 3 . 5 8 ) |
в |
|
виде |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
QxU(x)p^x=o, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 3 . 6 1 ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
P3U(x)S-'Q2 |
|
|
|
х |
= 0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 3 . 6 2 ) |
где согласно |
( 3 . 5 3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U(х) |
= (I + Hjx))Tx |
- (I*Н+ |
|
(х)) Тх 6 . |
|
( 3 . 6 3 ) |
||||||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\j+H+lx%~1=I+R. |
їх), |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 3 . 6 4 ) |
Применим |
к |
( 3 . 6 1 ) |
слева |
оператор |
1+ С1л%+ |
(х) |
, а спра |
|||||
ва — Т_х |
, |
|
, Тогда |
получим |
|
|
|
|
|
|
||
\l + QJt+l*№xU&>PjL+*T*.= |
|
|
|
a - |
|
( 3 . 6 5 ) |
||||||
Учитывая |
равенства |
( 1 . 1 0 ) |
и |
( 1 . 1 3 ) |
г л . 1 преобразуем |
|||||||
( 3 . 6 5 ) |
к |
виду |
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
QJL(I^R^))U(x)TxPJL=0. |
|
|
|
|
|
|
( 3 . 6 6 ) |
|||
Отаода, |
привлекая ( 3 . 6 3 ) , |
( 3 . 6 4 ) |
и |
( 3 . 5 6 ) |
получаем |
|||||||
|
|
^ С х > - Г х б Т ж ] Р л ^ 0 . |
|
|
( 3 . 6 7 ) |
|||||||
Умножая |
равенство ( 3 . 6 2 ) |
на |
Тх |
справа и на (.1+ |
PjR_(xS) |
|||||||
с л е в а ? получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
[ Т * Р Х R _ ( л ) ] Р Л U(x)J-'42_ХТ^0 |
|
. |
( 3 . 6 8 ) |
|||||||
Воспользуемся свойствами |
( 1 . 1 0 ) |
и |
( 1 . 1 3 ) |
г л . 1 и |
преобразу |
|||||||
ем ( 3 . 6 8 ) |
к |
виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РЛ(1*Н.(ве)Г' |
|
U(<c)64TAQx |
|
= 0 . |
|
( 3 . 6 9 ) |
||||
Используя |
выражение |
( 3 . 6 3 ) для оператора |
U(x) |
и опреде |
||||||||
ление ( 3 . 5 6 ) |
оператора |
&(х) |
, |
получаем |
|
|
||||||
|
|
PX[^(^)-TX6-<TX\Q1=0. |
|
|
|
|
|
( 3 . 7 0 ) |
В в е д ем операторы |
F(X) |
и У(х) |
равенствами |
|
|
|
|
|||||||||
|
$(х) -1+ |
F(x), |
|
S~'(x) |
= 1+ |
if<x) |
• |
|
|
( 3 . 7 1 ) |
||||||
При этом учитывая, что ^(0)=^ |
|
, |
имеем |
F(0) = F |
|
и |
|
|||||||||
Равенства |
( 3 . 6 7 ) |
и |
( 3 . 7 0 ) , |
|
если их записать для ядер |
|||||||||||
соответствующих |
операторов, примут вид |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
F(x,t,4>~ |
|
|
Ftt-хЛ+х) |
|
|
|
|
|
при |
ЫЕ,, |
( 3 . 7 2 ) |
|||||
if(x,t£)= |
if(t |
+ x, |
|
Ь,~х) |
|
|
|
|
при |
zS*£, |
. ( 3 . 7 3 ) |
|||||
В равенствах |
( 3 . 7 2 ) |
F(X,t,К) |
|
— ядро |
оператора |
F(x) |
, |
|||||||||
•if(x,t,t,) |
- |
|
ядро |
оператора |
?f(x), |
|
F(t,£,) |
|
|
и УС/Д) |
||||||
ядра операторов |
F |
|
и |
if |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, если известен оператор рассеяния 6 |
,то |
|||||||||||||||
известны |
операторы |
F=S~1 |
|
и |
У = <5> ~ / " |
, |
а |
из |
( 3 . 7 2 ) |
|||||||
и ( 3 . 7 3 ) |
определяются |
операторы |
Fix) |
и |
У+(х) |
. |
Учитывая, |
|||||||||
что L>(Xg) |
является |
|
оператором |
рассеяния |
на полуоси |
х^Хд |
, |
то согласно теореме 11.2 он допускает двустороннюю фактори зацию. Применяя далее теорему 1 . 6 гл . 1 , получаем однознач
ный способ |
восстановления |
$(х) |
по F. СХ) и |
(X) |
, д |
|||||
значит и по .S1 |
. Используя далее ( 3 . 4 6 ) - ( 3 . 4 7 ) , |
получаем |
||||||||
способ однозначного восстановления потенциала с(Х,і) |
|
по <5э |
||||||||
Сформулируем |
этот |
результат. |
|
|
|
|
|
|||
Т е о р е м а |
III . 3 . Нестационарный |
потенциал |
c(X,t) |
о д |
||||||
нозначно восстанавливается |
по оператору |
рассеяния |
£ |
. При |
||||||
фиксированных |
х |
и t |
система интегральных уравнений |
|||||||
|
|
|
|
— с о |
|
|
|
|
|
|
имеет единственное |
решение |
Н_(Xj |
і,Л) |
f H+(x,t, |
|
Л) . |
||||
Потенциал c(X,t) |
|
определяется по H_(x,t,Л) |
и |
|
Н^(х,і,Л) |
|||||
посредством |
равенств |
|
|
|
|
|
|
|
Г Л А В А |
1 У |
ОПИСАНИЕ О П Е Р А Т О Р О В РАССЕЯНИЯ
Одним из важных вопросов в обратной задаче теории рассеяния является нахождение необходимых и достаточных условий того, чтобы заданный оператор $ был оператором рассеяния. Настоящая глава посвящена установлению таких условий для случая нестационарных задач рассеяния, подроб но изученных в главе LL.
§ 1 . Потенциал как функциональный аргумент оператора рассеяния
Рассмотрим задачу нестационарного рассеяния на всей оси для системы уравнений
|
da(x,t) |
|
ди(х,і) |
|
|
-<*>< ос<+°о } ( 1 . 1 ) |
||
|
|
-в. |
|
dx |
+ C(x,t)u(x,t), |
|||
|
dt |
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7= |
|
|
, |
C(x,t)- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 . 2 ) |
|
|
|
U+\x\)1^UAt\)1*f' |
|
|
|
|
||
Эта задача подробно изучена в главе |
Ш. Решение задачи |
р а с |
||||||
сеяния |
имеет |
следующую, |
равномерную |
по і асимптотику |
при |
|||
х |
і |
° ° |
: |
|
|
|
|
|
|
|
uf(x,£)-=af(x*tJ |
|
* 0(f), |
|
ug(x,t) |
=8sit-x) |
+ 0(1), |
|
'u.,(x,t) |
= S/x+t) |
*• |
ОН) |
г |
|
|
|
|
( 1 . 3 ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ug(x,t) |
= as(t-x) |
|
+ |
0(1) |
, |
|
|
|
|
|
|||
Кроме |
того, |
справедлива также |
равномернал по X |
асимптоти |
|||||||||||
ка при |
t |
|
± <*> |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
u,(sc,t)-at(x |
|
|
+ i) |
+ От |
, |
|
|
|
|
|
|||
|
| и , f c r . i)=ag(i-x)t- |
|
|
0(0 |
, |
|
|
• |
|
^ |
|||||
|
|
'ul(x,t) |
= |
g,lx+t)+ |
|
0 ( 0 , |
|
|
|
|
|
||||
|
|
ueLr,iS |
|
= 8t(i-x)+ |
|
0(0, |
|
|
|
|
|
||||
Вектор-функиня |
a. cs) |
= (CLj (S), |
а г |
(s)) |
|
определяет |
падаю |
||||||||
щую |
волну |
( а1 |
(х |
+ t), |
a.g (t -x» |
|
, |
а |
вектор-функция S(s)- |
||||||
~(6r |
(S), |
&c (s)) |
|
-рассеянную |
волну |
(Si(Xt), |
8t (t |
-X)) |
|||||||
Оператор |
рассеяния >f> |
переводит |
a(s) |
в |
б(s) : |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 . 5 ) |
1 ак как оператор рассеяния однозначно определяется по - тиншюлом C(x,t) , то потенциал можно рассматрігвать как функциональный аргумент оператора рассеяния
|
|
( 1 . 6 ) |
В этом |
параграфе изучим некоторые |
свойства оператора р а с |
сеяния |
как операторной функции от |
потенциала. |
1 . Принцип инвариантности
Система ( 1 . 1 ) допускает ряд линейных преобразований аргументов, при которых вид уравнений не изменяется, в про исходит лишь некоторое преобразование потенциала. Это приво дит к свпзи между оператором рассеяния для данного потєнці,-
ала и для преобразованного.
а) |
Сдвиг по пространственной |
переменной. |
|
|
||||||
|
Перейдем в системе ( 1 . 1 ) от |
п е р е м е н н ы х ^ , / к |
пере |
|||||||
менным x\t' |
|
при помощи |
сдвига по пространственной |
пере |
||||||
менной |
|
|
|
— Х- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
Хд |
, |
|
|
( 1 . 7 ) |
|
|
|
|
|
t = |
t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда в новых переменных система |
( 1 . 1 ) |
примет вид |
|
|||||||
dacx[V) |
|
du(x\t') |
|
|
t |
|
|
(1 . 8) |
||
|
dt' |
|
—_ |
+ ? ( x ' + x |
і ) й ( я ' г ї ) , |
|||||
|
|
|
ax' |
• |
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x',t') |
= u(x'+x0t'). |
|
|
( i g ) |
|||
Обозначим через |
S~ |
оператор |
рассеяния |
для системы |
( 1 . 8 ) |
|||||
|
|
|
&- -Sidix*xCtm |
|
. |
|
( 1 . 1 0 ) |
|||
Из |
асимптотики |
(.1.4) |
Для решения |
u(x,i) |
и ( 1 . 9 ) |
по/суча- |
||||
ем |
г uf(x', |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і') |
- |
af(x'+ |
t'+xe) |
+ |
0(0, |
|
|
||
|
аг(х[ |
і') |
= af U '-х- х в ) |
О(О |
, |
|
|
|||
|
й^х',?)^ |
|
|
S^x'+t'+x,) |
|
+ 0(f), |
|
( L I D |
Из ( 1 . 1 1 ) и определения ( 1 . 5 ) оператора рассеяния имеем
'Z о \/вЛ |
ft |
о \ [ п |
( 1 . 1 2 )
° r j [ s j
где |
7^. —оператор сдвига: |
7^ f(j) = |
f?(j+so) |
. |
Учитывая, |
что |
E—&CL , из ( 1 . 1 2 ) |
получаем |
с в я з ь между |
d~ |
и & : |
|
|
|
|
|
о |
где |
|
|
|
|
|
|
(Т* |
0 |
|
|
|
Если привлечь потенциал как функциональный аргумент опера
тора рассеяния, то из ( 1 . 1 0 ) и ( 1 . 1 3 ) |
получаем |
|
|
6(С(х+яв,ї)) |
= £ |
. |
( 1 . 1 4 ) |
б) Сдвиг по временной переменной.
Совершенно аналогично предыдущему получаем закон и з менения оператора рассеяния при сдвиге потенциала по времен ной переменной
|
|
6{Cl*,t |
+ te))=T |
6(C(x,t))Tt |
. |
||
|
|
|
|
|
О |
~<<7 |
|
в ) Лоренцов поворот. |
|
|
|
|
|
||
Сделав |
преобразование независимых переменных |
||||||
|
|
х-' = .х |
ch |
(р |
£ j/[ |
р t |
|
|
|
t '•= x |
sk |
(p + і ch |
|
|
|
и полагая |
|
|
|
|
|
|
|
- |
- |
fr- |
|
|
|
-x'skW+i'chij)), |
|
a(x't') |
= e |
u.(x'chw-t'ship |
у, |
Y |
|||
|
|
|
|
|
г • |
( 1 . 1 5 )
(1 . 1 . 8)
if
,( 1 . 1 7 )
легко преобразовать систему ( 1 . 1 ) к виду
да _ дй
С |
(х, t) - |
Л 9 |
С (х, t) |
- C'tx |
cktp-tship^x |
chip-t- tsk |
y>){ і . l p ) |
||
При |
этом |
оператор |
рассеяния £ф |
для |
системы ( 1 . 1 8 ) |
связан |
|||
с оператором |
рассеяния & |
для |
исходной системы |
(.1.1 |
) р а |
||||
венством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
ирас*} |
= \ |
у |
|
)• |
|
( 1 . 2 J ) |
Таким образом, преобразование ( 1 . 1 9 ) потенциала прігеодит к равенству
d(AfC(x,t))= |
U_ip6LC(x,t))Uy>. |
|
( 1 . 2 2 ) |
|||
г ) Отражение |
по |
пространственной и временной |
координате |
|||
Сделав в |
системе |
( 1 . 1 ) |
преобразование |
|
|
|
х ' = £ у |
х , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 . 2 3 ) |
t'=&zt |
|
|
, где . г , = ± / , |
£ е |
= ± / , |
|
приходим к следукТщим |
равенствам |
|
|
|||
|
|
6(C+(-x,t))=e6l?(x,t))et |
|
( 1 . 2 4 ) |
||
|
|
і* С- С(л,-£» |
= 5 JS'f(C(set |
№Є, |
( 1 . 2 5 ) |
|
где |
|
|
ч ? |
/ |
|
|
|
|
|
5 = 1 , |
^ / » |
|
( 1 . 2 6 ) |