книги из ГПНТБ / Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния
.pdfJ |
- оператор отражения: |
|
м а т |
|
рица, |
транспонированная |
к С |
: |
|
|
I |
0 |
Ce(x,t) |
( 1 . 2 7 ) |
|
|
|
|
|
|
\c,(x,t) |
О |
|
д) Взаимная замена временной и пространственных перемен ных.
Сделав замену |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 . 2 8 ) |
в системе ( 1 . 1 ) , легко |
получаем |
уравнения |
для |
H(x',t') |
||
дй |
^ дй. |
|
|
|
( 1 . 2 9 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
ді' |
дх' |
|
|
|
|
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
6(Cix,t))=£=, |
4/ |
^ |
|
|
||
|
|
|
( 1 . 3 0 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
, |
з и |
|
|
Сопоставление |
решения |
задачи |
рассеяния для |
систем |
( 1 . 1 ) и |
|
( 1 . 2 9 ) дает |
|
|
|
|
|
|
и |
It |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 . 3 1 ) |
г д е ' .7 - оператор отражения: {Of)(t)= |
f(-t) |
Из ( 1 . 3 1 ) |
легко |
получить существование £ |
' |
и представ |
|||||||||||||
ления |
|
|
(і |
|
о\1^ оу/т |
4 ут |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
о |
J Л 4 . |
|
її |
\о d. |
|
|
|
> |
( 1 . 3 2 ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
sY2 |
\ I г |
О |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
\о |
Sj\o |
с, |
|
( 1 . 3 3 ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 . |
Принцип |
причинности |
|
|
|
|
|
||||||
|
Решение |
задачи рассеяния |
для системы |
( 1 . 1 ) |
удовлетво— |
||||||||||||
ряет |
интегральныїм уравнениям |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
(х *£) |
,t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и, |
(х, t) = а. |
Гс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
О |
+ I с<(x*t - f , г) и. (х * t - Т, т) dr, |
|
|
|||||||||||||
і |
|
|
|
|
|
^«> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 . 3 4 ) |
|
uz |
(х, |
Ь - az(i-x)+Jcz(x-t |
+ T,'t)uf(x-t-n;,'<;)dz |
t |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
-oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r , (X +1- V, t) |
u2 (x +1- r , T) |
dr, |
( 1 . 3 5 ) |
|||||||
u£ |
(x,t |
j = S£ ({-x) |
-j ce (x -1 |
у- r , t) |
u, |
(x |
-1 •> ї, |
T)dr. |
|
||||||||
Здесь |
a(s) |
= {a.i (s), az |
(^)) |
— вектор, |
характеризующий |
пада |
|||||||||||
ющую |
волну, a |
S(^)-(Bf(3)t§e(e)) |
|
|
|
-рассеянную. |
|
||||||||||
|
Из |
системы |
( 1 . 3 4 ) |
видно, |
что если задан |
вектор |
a.<si , |
||||||||||
то решение |
в момент |
t — tB |
зависит |
лишь |
от значений п о |
||||||||||||
тенциала |
при |
t^£0 |
|
- С |
другой |
стороны, |
если решение |
||||||||||
и-(х,£о) |
|
в |
момент |
t— £а |
известно, то при tbtB |
р е |
|||||||||||
шение |
и.(х,іу |
будет |
з а в и с е т ь |
лишь |
от потенциала |
при t^t0 . |
|||||||||||
Действительно, |
|
и |
(ос, t) |
|
удовлетворяет системе |
уравнений |
|||||||||||
Г a f |
( x , t ) |
= uf№ |
|
t-tcite)-h |
|
\ cf(x+ |
t-т,T)u2(x+ |
|
|
t-?,l)dr, |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
( 1 . 3 6 ) |
|
ue(x,t> |
|
= u.(,(x-i-+to,tt)+ |
|
\ yx-t+r,€)uf(x-t+?,<?) |
|
d€ y |
которая легко получается из (1. . 3 - і ) . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Разложим потенциал |
Сіх^) |
на две части: одну, |
равную |
|||||||||
нулю |
при |
{> |
t д |
, а другую - |
при |
t < t 0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
e(K,t) |
= <„-t)C(x,t)+ |
|
Qit-ta)Clx,t). |
|
|
( 1 . 3 7 ) |
||||||
Пусть |
£>., |
и |
i>„ — операторы |
рассеяния, |
соответствующие |
|||||||||
с л а г а е м ы м |
потенциала, т . е . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
,5. --• 6(&(ta- |
t)C(x,t» |
|
, |
S(e(t-to)Ccx,t)) |
. |
( 1 . 3 8 ) |
||||||
Пусть |
алз) |
..произвольный |
вектор. |
Обозначим |
iS^ а(з) |
через |
||||||||
уйч'^> . Тогда |
при |
t~ta |
|
решение |
задачи |
рассеяния |
с |
полным |
||||||
потенциалом і! падающей |
ночной |
& |
совпадет с |
решением з а д а |
||||||||||
чи рассеяния |
при потенциале |
9(l-ta)L |
(х, |
і) |
и падающей |
волной |
||||||||
и |
. По тогда решения обеих задач |
совпадут при i^-t0 |
,так |
|||||||||||
как |
при этом |
совпадают |
потенциалы. Это приводит к |
равенству |
||||||||||
$а- |
— >5£р |
|
. По |
R = &fa |
, а |
поэтому |
i?=,s! |
|
. Мы при |
|||||
шли к следующему-условию |
причинности |
|
|
|
|
|
||||||||
|
.*tfWj> = £(в(і-Єв) |
Cixj)) |
• S№t0-t)Cix,t>). |
|
|
(і.зо) |
Займемся теперь более детальным рассмотрением условий причинности, связанных с конечной скоростью распространения . ноли.
Пусть |
CL — PJ^CL — 8(S3-J-)CL(S) |
. Это прігводит к тому, |
||||||||
что свободный |
член |
в |
интегральных |
уравнениях ( 1 . 3 4 ) |
равен |
|||||
ну.'ао V- области |
\x\s-Z-t |
|
. Учитывая, |
что систему |
( 1 . 3 4 ) |
|||||
можчо рассматривать |
в |
области \х\£Л-£ |
|
, тогда |
из е е |
|||||
яольтерровости |
по |
t |
|
следует u(xtt)— |
О |
при \x\iJ.-t |
,т . е |
|||
••наченпе потенциала |
|
C(x,t) |
несущественно |
в области |
\x\iX-t |
|||||
№1^))Рл=4([*-8а-&-\х\)](?(сс,ЦРл |
|
|
|
. |
( 1 . 4 0 ) |
|||||
Г'орвршеино |
аналогично |
из системы |
( 3 . 3 5 ) |
получяем |
|
|||||
$''(Ґис,ї»ал |
|
~£''([і-8а-Л-\х-\)]С(я,і))дл |
|
. |
( 1 . 4 1 ) |
Если а~ (Рга.,,0) |
|
, то свободный |
член в системе ( |
1 . 3 4 ) |
|||
равен |
нулю в области |
x+t^-Z |
. |
Поэтому решение |
|
a(x,t) |
|
в этой |
области |
равно |
нулю, а значение потенииала при |
х'Ь^Л- |
|||
несушественно. |
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<РХ |
О |
|
6(C(x,i))\ |
~ |
|
\=й(в(х+*-Л)С<х,Щ |
|
" |
) . |
( 1 . 4 2 ) |
|||
|
|
0 |
|
0) |
|
|
|
[О |
О |
|
Кроме |
этого, |
из |
условия |
u(x,t)= |
О |
при з ? * ! ? 6 - 2 |
\\ асимп |
|||
тотики |
( 1 . 4 ) |
решения |
получаем |
Q^fi^ |
О |
, т . е . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 . 4 3 ) |
Совершенно |
аналогично |
nojr/чаем |
|
|
|
|
||||
|
'О |
0 |
\ |
|
|
|
10 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 . 4 4 ) |
|
|
о |
Л |
|
|
|
0 |
рл, |
|
|
|
|
|
|
QЛ &It Рл |
=0. |
|
|
|
( 1 . 4 5 ) |
Повторяя эти же рассуждения для системы ( 1 . 3 5 ) , получим
О
,Ґ(С(хШ
.0 о
( 1 . 4 6 )
'О 0\
6'1(С(яЛ))\ =4~'(ва-{+х)?(х,+))
оQx
Объединяя ( 1 . 4 3 ) , ( 1 . 4 5 ) , ( 1 . 4 7 ) , и м е е м
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
diag |
£> = |
diag |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.it) |
|
|
|
|
Пусть потенциал |
С'(x,t)~О |
при t-J-%\x\ |
|
|
||||
Тогда |
в |
этой области |
решение имеет вид ut = Sf(x |
* |
t) |
|
|||
и£= |
6t(t-x) |
. Если |
JVL>J. , то величина |
|
= |
|
|||
-txQju.fi |
=,€(Л |
/и.)(3}^ |
|
-характеристическая |
функ |
|
|||
ция интервала |
Х%,/і)) |
будет однозначно определена, |
если |
и з |
|||||
вестно решение |
u(jc,t) |
в |
пересечении |
о б л а с т е й ^ x , t ) : f-d |
» |
||||
Z\x\^n^(x,i):ju.-t |
|
|
. С другой |
стороны, решение в о б |
|||||
ласти |
^(x,i):ju-t»\jc^ |
|
зависит от потенииала |
в |
этой |
о б |
|||
ласти |
и значения |
а |
. Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: i . 4 d ) |
3 . |
Принцип |
причинности и факторизация |
оператора |
||||||||
|
рассеяния |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если |
потенциал |
С(х, |
t)=-0 |
, то рассеяния |
нет, и опе |
||||||
ратор |
рассеяния |
_ " = _ " |
|
. При "малых* C(xtt) |
е с т е с т в е н |
||||||
но ожидать, что и оператор рассеяния мало |
отличается от Ї . |
||||||||||
Если рассмотреть |
интегральные |
уравнения |
( 1 . 3 4 ) задачи н е |
||||||||
стационарного |
рассеяния |
в |
пространстве векторных ^функций . з а |
||||||||
висящих от х |
|
и |
t |
, |
с |
нормой \\a(x,t)\\s = sup V |
{\a1ix,b)\t+ |
||||
+ \ue(x,t)\i)dx |
|
, |
то |
при условий |
* |
|
|||||
|
|
+ 0 ° |
г |
t°° |
|
|
|
|
|
|
|
max |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 . Э 0 ) |
легко доказать, что для этих уравнений сходится метод по следовательных приближений, что позволяет получить следую щую оценку
|
|
|
|
|
|
\\3(C(X,t))-I\\±bp. |
|
|
|
|
|
|
|
( 1 . 5 1 ) |
||
Используя этот факт, докажем следующий принцип причинно |
||||||||||||||||
сти |
для оператора рассеяния |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Л е м м а |
|
1 . 1 . Если |
Рл^Рла.-0 |
|
|
|
, |
то |
Рха |
= |
0 |
|||
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть Р^а^ |
О |
ш |
Тогда |
найдется |
|||||||||
такое Л0>, 2 |
. |
, что П(д |
2 ) а |
~ ^2 |
-2 а |
~ ^ |
|
|
|
' а п^>к |
||||||
любом |
&>Q |
П(1 х * д ^ а ^ ° |
' |
И з |
|
Р а |
в е |
н с т |
в а |
|
Рл^Рлаг0 |
|||||
потучаем |
6Рха |
= Qх& |
|
, где |
|
|
|
|
|
• |
. Учитывая, |
|||||
что |
П - . |
(t— О |
, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ЗРла=0л6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 . 5 2 ) |
|
В |
равенстве |
( 1 . 5 2 ) согласно |
( 1 . 4 0 ) |
и |
( І . 4 І ) |
можно |
считать |
|||||||||
оператор рассеяния зависящим лишь от потенциала, |
определен |
|||||||||||||||
ного |
вне двух |
конусов: Л, = {(.x,t): |
|
t-£>A£\\ |
|
|
|
|||||||||
и |
A " 2 |
= {(x,t) |
|
: J.„-tї\х.\} |
|
|
|
|
, |
т . е . считать |
||||||
|
|
|
|
|
& = 6§[-Ва-МлП-в(А-І-\ЩС(Х,Ь). |
|
|
|
|
|
( 1 . 5 3 ) |
|||||
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Рх6(У}-ва-1-1±1)-ва0-£-Ш)]^(х,Ща |
|
|
|
|
|
|
= |
0.{±34:) |
||||
Применяя |
к |
равенству ( 1 . 5 4 ) |
оператор |
її |
f |
* |
„ . и |
учиты |
||||||||
в а в . . |
C L 4 9 ) , |
получаем |
|
|
|
|
|
<л-,л,*т |
|
|
||||||
п |
|
|
|
gmia+8--t-\*\)\i-e(t-i-]x\)-eae-t-\x.\^ |
|
|
|
|
* |
|||||||
* * * M n ( |
^ t f * 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 . 5 5 ) |
Используя непрерывность ( 1 . 5 1 ) » , делаем вывод, что при до—
статочно малых |
дг |
в равенстве |
( 1 . 5 5 ) оператор >3> |
отли |
||||||||||
чается |
от |
/ |
на |
оператор |
по |
норме, |
строго |
меньшей |
|
1 |
. Но |
|||
тогда из |
( 1 . 5 5 ) |
следует |
П(J |
х |
+ |
ffi-)a~° |
• |
^'го |
П Р ° - |
|||||
тиворечит |
выбору |
|
J-o |
. Т е м самым лемма |
доказана. |
|||||||||
Н&рпду со |
свойством |
оператора |
рассеяния, |
данного |
в л е м |
|||||||||
ме 1 . 1 |
.очень |
важными являются |
свойства |
( 1 . 4 8 ) . |
В |
совокуп |
ности они определяют принцип причинности оператора рассеяния .
Принцип |
причинности: Вели |
ib -оператор рассеяния |
н е |
стационарной |
задачи рассеяния для |
системы ( 1 . 1 ) , то для |
л ю |
бого -I |
|
|
|
1)Qxdiag6P^0,
2 ) |
Pxdiag |
$~'Qx-0 |
, |
|
|
( 1 . 5 6 ) |
|
•3) Из fz3Pza=0 |
|
следует Рг |
а |
= О |
|
||
Сформулированный |
принцип |
причинности |
приводит к очень |
в а ж |
|||
ному |
свойству факторизуемости оператора |
рассеяния, если |
и з |
вестна общая структура оператора рассеяния, а именно, если
известно, |
что оператор |
ї> |
отличается |
от Z. на оператор Гиль |
||||||
берта-Шмидта . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Т е о р е м а |
1 У . 1 . |
|
Оператор рассеяния |
iS* |
допускает |
||||
следующую |
факторизацию |
|
|
|
|
|
||||
1) |
diay£=I+W+ |
|
, |
|
|
|
|
|
( 1 . 5 7 ) |
|
2 ) |
diag |
£+W_ |
, |
|
|
|
|
|
( 1 . 5 8 ) |
|
3 ) |
= |
Bj-'d+bJ, |
|
|
|
|
|
|
( 1 . 5 9 ) |
|
з') |
d=a+A+r'<i+Aj. |
|
|
|
|
|
(і.бо) |
|||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Равенства |
( 1 . 5 7 ) - ( |
1 . 5 8 ) - ( 1 . 5 9 ) |
||||||
эквивалентны принципу |
причинности на основании |
результатов |
||||||||
г л . 1 |
(см.формулы |
1 . 1 3 , |
|
теорему 1 . 1 ) . |
|
|
|
|||
|
Покажем, что |
если |
выполняются условия |
( 1 . 5 7 ) |
и ( 1 . 5 8 ) , |
|||||
то_ (1 .. 59 ) |
эквивалентно |
|
( 1 . 6 0 ) . |
|
|
|
|
|||
|
Действительно, |
из |
( 1 . 5 7 ) и ( 1 . 5 8 ) получаем |
существо— |
||||||
ванне (dt'ag .57" |
и |
|
(diag |
|
. Если |
А - п р о и з - |
вольный |
матричный оператор •' A = [ |
|
) |
, суще - |
|
|
|
\ аг1 |
a s e |
J |
|
ствует |
А' |
и существуют (diag А)~* |
и |
(diag |
A"1) f |
то легко получить следующее замечательное тождество :
|
|
|
A^(d;agA)6A-'ff(dmgA4y', |
|
|
|
( 1 . 6 1 ) |
|||||
Пусть |
имеет место |
представление |
( 1 . 5 9 ) . |
Положим |
||||||||
|
|
1 |
+ А+=б(1+ |
|
|
е>+)в(diag |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 . 6 2 ) |
|
|
f+A_=G(I+ |
|
|
BJG(diagd-frf. |
|
|
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ A+ |
y'(l+Aj=(diaf |
|
6)Є(І+ |
3+)~f(I+ |
B_)6(dicLg |
й'ОІ |
1 . 6 3 ) |
|||||
По из |
( 1 . 5 9 ) |
получаем (І+В+У* |
(І+а_у |
= 6"' |
|
. Под |
||||||
ставляя |
это значение |
в |
( 1 . 6 3 ) |
и учитывая |
( 1 . 6 1 ) , |
имеем |
||||||
( 1 . 6 0 ) . |
Совершенно |
аналогично |
из ( 1 . 6 0 ) |
получаем |
( 1 . 5 9 ) . |
|||||||
Следует отметить, что результаты теоремы 1У . 1 были |
||||||||||||
сформулированы и доказаны в главе И ( см . теорему |
П . 2 ) с |
|||||||||||
использованием |
операторов |
преобразования. |
Вышеприведенное |
доказательство проясняет физический смысл факторизуемости оператора рассеяния; факторизуемость оператора рассеяния выражает физическую причинность.
§ 2 . Описание операторов рассеяния нестационарной' задачи рассеяния для гиперболической системы на всей оси-
|
Рассмотрим |
нестационарные задачи |
рассеяния |
для |
с и с т е |
|||||||||
мы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ди(х,&) |
|
du(x,t) |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
( 2 . 1 ) |
||
|
dt |
- |
6 — |
+ L(x,t)u(X,t) |
|
-<х><х< |
+ °°, |
|
||||||
|
|
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
'/ |
О |
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 2 ) |
|
|
|
|
6={ |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-I |
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
различных потенциалах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
/ |
0 |
|
C,(X,t)\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
?(x,t)^\ |
|
|
|
|
I |
, |
|
|
|
|
( 2 . 3 ) |
|
|
|
|
\Cg(x,t) |
|
0 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяющих |
условию, |
что |
C£^&,t) |
|
(к-1,2) |
комплексно- |
||||||||
значные |
измеримые по х |
и t |
функции, |
удовлетворяющие |
||||||||||
оценкам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
— г |
; |
|
|
|
|
( 2 . 4 ) |
|
|
\CA(*,t)\i |
|
|
ТГ> |
|
|
к=/,2; |
|
|||||
где |
£><7 |
фиксированно, |
а постоянная |
|
С |
может |
з а в и с е т ь от |
|||||||
C(x,t) |
. Совокупность |
операторов |
рассеяния |
таких |
задач обо |
|||||||||
значим |
через |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ближайшая основная задача - дать описание класса ойера- |
|||||||||||||
торов ^ 5 J - £ |
, т . е . дать |
Необходимые |
И достаточные |
условия |
||||||||||
того, что заданный оператор Т |
является |
оператором рассеяния, |
||||||||||||
или |
более |
точно, |
что |
/ ^ { ^ / ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Отметим наиболее |
важные |
свойства |
операторов |
рассеяния |
|||||||||
из класса |
{ ^ } ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'• |
||
|
1 . |
О ц е н к и . |
Оператор рассеяния |
J |
имеет обратный |
|||||||||
і? |
, |
при этом |
F-S-1 |
|
и |
f/=S~f-r |
|
|
|
являются |
матрич- |
ными интегральными операторами Гильберта-Шмидта, ядра к о торых удовлетворяют оценкам
\Flt,s) |
| & |
|
|
|
|
|
№ |
- ф |
|
|
|
|
( 2 . 5 ) |
||
(эти опенки |
установлены |
в гл.П с м . ( 2 . 9 2 ) ) . |
|
|
|
|
|
||||||||
П. К о в а р и а н т н о с т ь . |
Если |
6> |
оператор |
рассеяния |
|||||||||||
из класса •[_?}•_ |
, то при любом |
х |
оператор |
J~ Sff", |
|
так— |
|||||||||
же является |
оператором |
рассеяния |
из класса |
|
\o)t |
|
|
|
|||||||
(Этот |
факт |
установлен в |
§ 1 |
настоящей |
г л а в ы ) . |
|
|
|
|
||||||
III. П р и ч и н н о с т ь . |
Всякий |
оператор |
рассеяния |
из |
к л а с |
||||||||||
са |
допускает факторизацию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
diag |
S=.[+W+, |
diag |
&"1 - |
1+ |
W_ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 6 ) |
|
|
|
|
6= |
(І+А + ГГ(І |
+ A_) , |
|
|
|
|
|
|
|
|||
где A+ , W + |
и |
A., |
W _ |
- матричные интегральные вольтерров- |
|||||||||||
ские операторы с переменным верхним и соответственно |
ниж |
||||||||||||||
ним пределами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(Условие Причинности подробно обсуждалось |
в |
§ |
І |
настоящей |
|||||||||||
г л а в ы ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основной |
результат,, |
который |
будет |
доказан |
, |
заключается |
|||||||||
в том, что свойства 1 , I I , 111 являются |
определяющими |
для о п е |
|||||||||||||
раторов рассеяния |
из класса { > ! > } с |
• А именно, |
справедлива |
||||||||||||
следующая |
основная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
^ Т е о р е м а |
|
1 У . 2 . |
Пусть оператор |
/*" |
имеет |
обратный |
|||||||||
_г~ |
. При этом F-g*-I |
|
и if=f~'-I |
интегральные |
опера |
||||||||||
торы, ядра которых удовлетворяют оценкам ( 2 . 5 ) . |
Если при |
||||||||||||||
любом |
гх |
оператор ^ р _Г |
|
удовлетворяет |
условию |
при |
|||||||||
чинности ( 2 . 6 ) , |
т . е . существуют интегральные |
вольтерровские |
|||||||||||||
операторы Гйльберта-Шмйдта |
А+(Я) |
, Vt^fceJ |
и |
AjX) |
,W„rx), |
||||||||||
такие, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
diag fffA= |
Г+ W+(±), |
ГK = I+ w-<*)> |