книги из ГПНТБ / Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния
.pdfui (x,t) |
- B1 (se + t)- |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
( 2 . 2 7 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Системы уравнений |
( 2 . 2 G ) |
и |
( 2 . 2 7 ) |
аналогичны ( 2 . 4 ) и |
|
|||||
( 2 . 3 ) с заменой переменных |
х. |
и ^ |
местами. Поэтому отно |
|||||||
сительно систем ( 2 . 2 6 ) |
и |
( 2 . 2 7 ) можно |
сформулировать |
р е |
||||||
зультаты, аналогичные леммам |
2 . 1 , |
2 . 2 . |
|
|
||||||
Л е м м а |
2 . 3 . |
Существует |
и единственно равномерно |
о г |
||||||
раниченное |
решение |
и, |
(л, |
t) |
, |
и.г(х,{) |
|
системы ( 2 . 2 6 ) |
при |
|
любой правой |
части |
а,^) |
, |
3£(^)€: С(£) |
. Решение с и с т е |
|||||
мы ( 2 . 2 6 ) |
представимо |
в |
виде |
|
|
|
|
t
( 2 . 2 8 )
где |
при фиксированном ас по |
і |
и £, |
функции |
Ln |
(3ctt£) |
{.ii = i,2 |
||
суммируемы |
с квадратом в области |
<* |
& |
, a |
L n 2 (х, |
|
|||
(п- |
f,2) |
суммируемы |
с |
квадратом |
в области |
t . |
|||
При |
этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
— , (/t,m=/,2J,(2.29)
/,£ |
6 * . |
j |
|
|
, |
Lgi(3i,t,i)=-£c£(sr.,t). |
2 ' |
|
( 2 . 3 0) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Существование |
и единственность |
||||||||||
решения |
систомы |
( 2 . 2 6 ) |
непосредственно |
следует |
из леммы |
||||||||
1.2 |
г л . 1 . Если |
искать |
решение |
системы |
( 2 . 2 6 ) |
в |
виде |
||||||
( 2 . 2 8 ) , |
то после |
подстановки |
( 2 . 2 8 ) |
в |
( 2 . 2 6 ) |
получаем |
|||||||
систему |
интегральных |
уравнений для |
/, |
|
(sc, |
|
|
||||||
I |
t |
+>\ |
^ |
/ |
|
*>+* |
' |
|
2 |
|
|
|
( 2 . 3 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x-t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
S. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 3 2 ) |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
ввести |
функции |
L |
(зс, |
t,&>) |
|
равенства!* |
|||||
йп1(л,1Л)=1л1(л,Ь,%-хХ |
Lnl{xttjo~Lng(x,tA+&t |
|
( 2 . 3 3 ) |
||||||||||
то системы ( 2 . 3 1 ) и |
( 2 . 3 2 ) примут вид |
|
|
|
|
||||||||
Lt1(*AS> |
= J |
|
|
|
Lgf |
|
|
t-c/r£,)dy, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Щ+x-t |
|
|
|
( 2 . 3 4 ) |
|
|
|
/ |
(L+x-t |
£>-*+t\ |
|
|
|
|
|
|
-x+ t,&,)dy , |
^bt+x; |
|
|
?- л |
г |
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 3 5 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t-л. |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Системы |
( 2 . 3 4 ) |
и ( 2 . 3 5 ) |
однозначно |
разрешимы |
в |
про |
||||||
странстве равномерно |
ограниченных |
по я |
и г " , функции, |
что |
|||||||||
следует из леммы 1 . 2 |
гл, 1 . Оценки |
на решение, |
обеспечиваю |
||||||||||
щие |
суммируемость |
с |
квадратом |
ї>ппг |
|
и |
Lп / п |
по t |
|
, £, , |
|||
легко получить аналогично, как и в лемме 2 . 1 . Покажем, как |
|||||||||||||
получить более |
точные |
оценки |
( 2 . 2 0 ) . |
|
|
|
|
|
|||||
|
С этой |
иелыо |
введем новые |
неизвестные в |
системе |
( 2 . 3 4 ) - |
|||||||
( 2 . 3 5 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
I c+x-t |
£,-x |
+ t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, ( 2 . 3 6 ) |
||
|
Р , |
, . |
Г |
|
* |
(x+t-t, |
X+t+ё, |
|
|
||||
Относительно |
этих |
неизвестных |
системы |
( 2 . 3 4 ) |
и ( 2 . 3 5 ) |
при |
|||||||
мут |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7) |
|
|
|
Г * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с2(У' |
У ~ х * i } S" Ц' У " л |
* *> Ь ) dy , |
|
|
г
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 3 8 ) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
его |
|
|
|
|
|
Оценим вначале свободные члены |
h f |
, tig |
учитывая, что |
||||
|
. ^ л : , ^ | 4 с С / + | л | Г " * - ( / + | * | > |
|
|
||||
Из |
( 2 . 3 9 ) |
и ( 2 . 4 0 ) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
too |
/ |
| |
|
|
|
|
|
Г Г |
b-x-t |
у- |
( 2 . 4 1 ) |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
•і-і |
|
|
|
|
|
|
( V |
|
|
|
|
.(,2.42) |
|
|
|
|
|
|
|
of, |
|
|
1ы |
|
|
|
|
У- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, |
что (/+1у\)п |
+ |
|
|
|
|
|
из |
( 2 . 4 1 ) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 4 |
|
|
( 2 . 4 3 )
С другой |
стороны, |
|
(1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
поэтому |
из |
( 2 . 4 3 ) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1+ Ї + І + Х |
U Є |
|
|
|
|
|
|
|
г \> |
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 4 4 ) |
|
Сопоставляя |
( 2 . 4 3 ) |
и ( 2 . 4 4 ) , |
имеем |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 4 5 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
HAW |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 4 6 ) |
|
где |
с |
|
не зависит от |
се |
, |
і |
и |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Исходя |
из ( 2 . 4 2 ) , |
оценки |
( 2 . 4 3 ) , ( 2 . 4 4 ) |
и ( 2 . 4 6 ) |
м о |
|||||||||||
жно |
получить и для |
/z С-г, г?, 4.). |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
теперь |
уравнения ( 2 . 3 7 ) |
в |
пространстве |
р а в |
|||||||||||
номерно |
ограниченных по л; |
и t |
функций. |
Переменная |
играет |
||||||||||||
роль параметра. Согласно лемме |
1 . 2 |
г л . 1 |
существует |
ограни |
|||||||||||||
ченное |
решение системы |
( 2 . 3 7 ) . |
Учитывая, |
что свободный |
член |
||||||||||||
имеет |
по £ |
оценку |
( 2 . 4 5 ) , |
делаем вывод, |
что |
равномерно |
пол* |
||||||||||
и t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
оценку |
|
( 2 . 4 7 ) |
для |
|
в |
правую |
часть второго |
|
||||||||
уравнения ( 2 . 3 7 ) |
и производя |
оценки, |
получаем |
|
|
\Є (jc,t,£,)\4: |
( 2 . 4 8 ) |
Подставляя |
( 2 . 4 8 ) |
в правую часть первого уравнения ( 2 . 3 7 ) |
и производя |
оценки, |
получаем |
j |
\(<tly()(/+ly-x-*\)(f+\2y-x-t\)] |
||||
-оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ 2 . 4 9 ) |
Подставляя |
оценку |
( 2 . 4 9 ) |
во |
второе |
уравнение системы |
2 . 3 7 ) , получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 5 0 ) |
|
|
|
|
d 4 |
|
Используя |
оценку |
( 2 . 4 6 ) , |
из |
( 2 . 5 0 ) |
получаем |
f с |
- |
а |
< |
|
|
|
|
|
с |
|
г. |
|
|
|
( 2 . 5 1 ) |
Полагая <х = 0 |
в ( 2 . 4 9 ) |
и ( 2 . 5 1 ) |
и учитывая ( 2 . 4 6 ) , а |
также, что |
/ |
|
t_ |
|
|
получаем
\L (°-1< *•)\ * |
— |
: |
, Y (om\± |
T~ • |
|
|
|
|
Аналогично |
получаются оценки для |
<f |
f |
£ |
из системы |
|
||||||||
( 2 . 3 8 ) . |
Получеьные |
оценки |
( 2 . 5 2 ) |
с |
учетом |
( 2 . 3 6 ) |
и ( 2 |
. 3 3 ) |
||||||
приводят |
к |
( 2 . 2 |
9 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л е м м а |
2 |
. 4 . |
Существует |
и единственно |
равномерно |
о г |
||||||||
раниченное |
решение |
U._l(.x,i), |
иг(я:,і) |
|
|
системы |
( 2 . 2 7 ) при |
|||||||
любой правой |
части |
^(5), |
^(J) |
е C(F) |
. |
Решение |
системы |
|||||||
( 2 . 2 7 ) |
представимо |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
g |
= |
аг (t-x) + J MSj(л, t,$) gf(*+ k)<tb + |
|
|||||
|
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
при фиксированном ее |
по переменным і |
|
и £, |
функции |
||||
МП1 (•X,t,e>) |
(,n=~f,2) |
суммируемы |
с |
квадратом в о б |
|||||
ласти |
|
i |
a Функции |
Мnt(ccft,£,) |
(п=*,2) |
|
суммиру |
||
емы |
с |
квадратом |
в области |
. При этом |
|
||||
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
Кт<0'*М£ |
|
7П |
Т |
• |
Г |
* , |
2 . 5 4 ) |
Mfe(*,t,t) |
= -£c,(a:,0, |
Mgf(x,e,t)=:±cg(cc,t,0. |
( 2 . 5 5 ) |
Д о к а з а т е л ь с т в о |
. Существование |
и |
единственность |
||||||
решения |
системы |
( 2 . 2 7 ) |
следует |
из |
леммы |
1 . 2 г л . 1 . Под |
|||
ставляя |
( 2 . 5 3 ) |
в |
( 2 . 2 7 ) , |
получаем, |
учитывая |
произволь |
|||
ность функций |
S1 |
и а.£ .систему интегральных |
уравнений для |
||||||
Мпт(х.Ш |
(п,т |
= Аг) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
( 2 . 5 6 ) |
|
|
|
|
xt |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. ' г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X-h-t-b, |
|
|
|
|
( 2 . 5 7 ) |
|
Введем в м е с т о функций Мпт |
|
новые |
функции |
||||||
Mnf(x,tA)=Maf(x,t£-x), |
Mntlx,tA)=Mai(x,t£+*), |
( 2 . 5 8 ) |
|||||||
Системы |
интегральных уравнений |
( 2 . 5 6 ) |
и |
( 2 , 5 7 ) перепишем |
|||||
с учетом |
( 2 . 5 8 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 5 9 ) |
f fe+x-t £,-x+t
( 2 . 6 0 )
|
Существование |
и единственность |
равномерно |
|
ограничен |
||||||||||||||
ного |
решения |
|
системы |
( 2 . 5 9 ) |
и ( 2 . 6 0 ) |
следует |
из |
леммы |
|||||||||||
1 . 2 |
г л . 1 . Оценки по t |
и £, |
для решения, |
обеспечивающие |
его |
||||||||||||||
суммируемость с квадратом, получаем аналогично, |
как и в |
||||||||||||||||||
лемме |
2 . 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Оценки |
( 2 . 5 4 ) |
получаем |
аналогично |
|
оценкам |
( 2 . 2 9 ) |
||||||||||||
леммы |
2 . 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 . |
С в я з ь |
опэраторов |
преобразования |
с |
оператором |
|
||||||||||||
|
|
рассеяния |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Оператор |
рассеяния |
S |
нестационарной |
задачи |
|
рассеяния |
||||||||||||
определен |
в |
§ |
1 посредством |
равенства |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a,(s) |
|
|
|
|
|
|
|
||
S(s) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 6 1 ) |
|
Приравнивая |
правые |
части |
равенства |
( 2 . 2 4 ) |
и ( 2 . 2 5 ) , |
полу |
|||||||||||||
чаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 6 2 ) |
|
Учитывая, |
что |
согласно |
|
лемме |
1 . 1 |
*~л.1 существует |
[І+/\_ Cxi] ' |
||||||||||||
a <^c'i |
— |
у |
из равенства |
( 2 . 6 2 ) |
и определения |
|
оператора |
||||||||||||
рассеяния |
получаем |
очень |
важное |
представление |
для |
операто |
|||||||||||||
ра рассеяния |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
S = - Г |
|
|
|
~ ' [ / f / / + f « j ] . £ . |
|
|
|
|
|
|
( 2 . 6 3 ) |
||||||
|
Иное |
представление |
получим |
используя |
леммы |
2 . 3 , |
2 . 4 . |
||||||||||||
Действительно, |
приравнивая |
правые |
части |
|
равенств |
( 2 . 2 8 ) и |
|||||||||||||
( 2 . 5 3 ) , получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
t
1 t |
2 |
( 2 . 6 4 ) |
- oO
o O
= S0(t-x)+ |
Ls/(x,t,£)at(x+£,)d£,+ |
L„lx,t,&,)6j.b,-x)dK |
. |
|||
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 0 5 ) |
Перенеся в с е |
члены с |
<2, и ct-s в |
|
левую |
часть, а члены с Sf |
|
и 6„ в правую часть |
равенств |
( 2 . 6 4 ) |
и ( 2 . 6 5 ) , |
получаем |
||
о О |
|
|
|
СО |
|
|
a/x+ti+JLH(x,t,£,)af(x+tyd£,-
( 2 . 6 6 )
Ь,(х,£,ё,)а.^х+КМ£, + a(t-x,) + Mgi(x,t,^)as(^x)d£,=
Mix,tX) |
біх+ШЬ |
+ e9tt-*) + |
\L„(.*,t&)6-it,-*)db>. |
Равенства |
( 2 . 6 6 ) запишем в операторной форме. С этой |
||
целью введем |
матричные |
вольтерровские |
операторы |
LH(x) |
ft |
|
|
( 2 . 6 7 ) |
|
|
|