книги из ГПНТБ / Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния
.pdf
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
. |
Существование и единственность |
|||||||||||
решения |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ucx,t) |
= f(x,i)^^ |
c(y,v)U(t/,T)dr |
|
|
|
( 3 . 7 ) |
||||||||
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
любой правой |
части |
f(x,t)eС'(Ее) |
|
следует |
из леммы |
||||||||
1 . 2 |
г л . 1 . Действительно, |
уравнение |
( 3 . 7 ) можно |
записать |
в |
|||||||||
операторном |
виде |
так |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
U(x) = F(x) |
+ jfU(£) |
f |
|
|
|
( 3 . 8 ) |
|||
где |
при фиксированном Л; |
IL(x) |
и ^ - ^ - в е к т О р - ф у н к ц и я |
со |
|
|||||||||
значениями |
из |
пространства |
ССЕ); tf(x) |
- и (x,t) |
, |
F(x) |
=f(ac,t)l |
|||||||
а оператор Л |
определен |
равенством |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 3 . 9 ) |
|
|
|
|
|
|
k(x,t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
( 3 . 9 ) легкЪ получить оценку |
|
|
|
|
|
|
||||||
\\ЛЩ\ |
=sup |
\\Аи (х)\\ |
*\и>&)\\и\\^ |
Ыё, , |
|
( 3 . 1 0 ) |
||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценка |
( 3 . 1 0 ) позволяет применить |
лемму |
1 . 2 г л . 1 . |
|
|||||||||
|
Будем искать решение уравнения ( 3 . 3 ) в виде |
( 3 . 5 ) . |
Под |
|||||||||||
ставляя |
J(jc,i) |
|
из ( 3 . 5 ) в |
( 3 . 3 ) , |
получаем |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
k(X,t) |
|
|
|
|
|
|
|
||
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dydr. |
|
|
|
|
|
k(x,t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 3 . 1 1 ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем интегралы,стоящие в правой части
c(y,T)<*(T+y)dyd?~
k(x,t) |
O-tt- |
ГГ
=[ d£, |
с(.и,Ь + х-ц)ы.(Ъ + я)с1и |
J. |
J к.* |
|
г. |
ft |
|
( 3 . 1 1 )
( Э . 1 2 )
dydr>
к(я,і)
d&, c(y,T)H„(y,r,£,) |
= |
t+x-y |
|
de, |
c |
|
d. (y, tA* |
^-y) dy dr |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 3 . 1 3 ) |
|
Используя ( 3 . 1 2 ) |
и ( 3 . 1 3 ) , из |
( 3 . 1 1 ) , |
в силу |
произволь |
||||||
ности функции |
ос |
, получаем, |
что при |
&,>і |
|
|
|
|||
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c(yA+x-y)dy+- |
с(у, т) |
(у, г, 4 +х-у) |
dudt, |
|||||
|
л ь |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
Равенство |
( 3 . 1 4 ) |
будем рассматривать |
как |
интегральное |
у р а в |
|||||
нение для |
функции |
H_(tC,ti&>y |
< |
|
|
|
|
|
||
Для |
исследования |
разрешимости |
уравнения ( 3 . 1 4 ) Я |
полу |
||||||
чения оценок |
для |
его решения |
удобно |
р а с с м о т р е т ь функцию |
H({x,t,ti)=H_(jc,tfi,-a:). |
( 3 . 1 5 ) |
С учетом ( 3 . 1 5 ) уравнение ( 3 . 1 4 ) принимает пил
k(x,t)\k[x+ |
|
|
|
|
|
|
( 3 . 1 6 ) |
|
2 |
z |
j |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
В уравнении ( 3 . 1 6 ) |
зафиксируем |
. Тогда |
это |
интегральное |
||||
уравнение |
для |
Н1 |
t, £, ) |
по первым |
двум |
переменным. |
||
Покажем, |
что для уравнения |
( 3 . 1 6 ) |
сходится |
метод по |
||||
следовательных |
приближений. |
|
|
|
|
|
||
Для |
сокращения |
введем |
обозначение |
|
|
|||
Уравнение |
( 3 . 1 6 ) примет виц |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
( 3 . 1 7 ) |
где
( 3 . 1 8 )
\+x-t
2.
Оценим свободный член ( 3 . 1 8 ) с учетом оценки потенциала
\с(у,ї;-у)\а[у4с |
«і/ |
• ( 3 . 1 9 ) |
|
|
(/+\у\)"г(/+\%-у\) |
г
Усилим неравенство ( 3 . 1 9 ) , неравенства ( 3 . 1 9 ) на
du
и+\и\)<+Ч1АЬ,-и\)1+ь
1
При этом получаем оценку
С ДРУГ0 * стороны
со
2 |
+оо |
1+ |
\) - оо |
2 |
Поэтому имеет место оценка
заменяя интеграл в правой части
С,
( 3 . 2 0 )
«Аф
( 3 . 2 1 )
dy
г
4,
( 3 . 2 2 )
\f(a;,t£)\± |
( 3 . 2 3 ) |
Кроме того, если (y,f)e Q (гс, t,£,) |
, то |
СО |
|
с |
|
\c(s,t,-*)\dxit |
( 3 . 2 4 ) |
Для доказательства сходимости метода последовательных при ближений для уравнения ( 3 . 1 7 ) надо показать, что сходится ряд
Q(x,t,b,)
и з
гг
( 3 . 2 5 )
Рассмотрим мажорантный ряд
\f(*JA)\ + ) j \c(y,t)\\f(y,T.e,)\dydr |
+ ...+ |
( 3 . 2 6 ) Учитывая ( 3 . 1 9 ) и ( 3 . 2 4 ) f получаем мажоранту для ряда ( 3 . 2 6 )
^\ayA-y)\dy '+J £ \с(у,г )\dydr
( 3 . 2 7 )
Воспользуемся оценкой |
£ |
|
наложенной на потенциал, а |
интегрирование по Т, |
., тп ,... |
будем проводить на всеіі оси. Тогда получаем мажоранту для ряда ( 3 . 2 7 ) , которая легко суммируется:
|
|
|
|
|
|
f*£ |
d, |
|
|
|
_ f |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 3 . 2 8 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что |
сходится |
мажорантный ряд |
( 3 . 2 8 ) , |
делаем |
||||||
вывод о |
сходимости |
ряда ( 3 . 2 5 ) , |
т . е . сходится |
метод |
последо |
|||||
вательных приближений для уравнения ( 3 , 1 ? ) . |
Таким |
о б р а з о м , |
||||||||
доказано существование решения |
уравнения ( 3 . 1 6 ) . |
Единствен |
||||||||
ность решения легко |
получаем из того факта, что |
уравнение |
||||||||
( 3 . 1 6 ) |
вольтеррово |
по переменной |
х . |
|
|
|
|
|||
Действительно,уравнение ( 3 . 1 6 ) имеет вид |
|
|
|
|||||||
|
H(x)=F(x) |
+ Jh'(x), |
|
|
|
|
( 3 . 2 9 ) |
|||
г д е А^лО.вектор-функция со |
значениями |
в С(Е) |
, |
а |
для опера |
|||||
тора Jf |
справедлива |
оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oC(T)\\H\\zdT. |
|
|
|
|
|
( 3 . 3 0 ) |
||
Поэтому |
можно воспользоваться |
леммой |
1 . 2 г л . 1 . |
|
|
|
||||
Оценки ( 3 . 2 1 ) , |
( 3 . 2 3 ) |
и |
( 3 . 2 8 ) |
позволяют |
оценить |
Hf(x,trb)
Откуда |
следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
її. |
|
|
|
|
|
|
|
, ( 3 . 3 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
J J |
|
|
|
|
|
|
( 3 . 3 3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким |
образом, |
H_lx,t,£,) |
по переменным |
t |
и |
£, |
является |
||||
ядром |
Гильберта—Шмидта. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
С |
другой стороны,опенка |
( 3 . 2 8 ) |
дает |
|
|
|
|
|||
|
|
|
\Н,{х,ЬА>\ |
* e j |
\c(y,£,-y)\dy |
|
|
|
( 3 . 3 4 ) |
||
|
|
|
|
|
%+x-t |
|
|
|
|
|
|
Откуда |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
( 3 . 3 5 ) |
|
\H_(x,t£)\ |
= \Ht(x,t£+*)\4c |
\ \c(y,t,-y)\dy |
|
|
. |
|||||
При |
Sytt |
из |
( 3 . 3 5 ) |
получаем, учитывая оценки |
потенциала |
||||||
С(х, |
t) |
, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\H_(x,tA)\$ |
({+\х\)г |
. |
|
|
|
( 3 . 3 6 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возводя |
неравенство |
( 3 . 3 2 ) в степень |
f-^ |
,а |
неравенство |
||||||
( 2 . 3 6 ) - в |
cteneHb 2&- |
и перемножая |
их,получаем |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|fc >4P*6X'-™(f+\t,+ |
|
|
|
С З - 3 7 ) |
||
|
|
|
(/*\х\)*-*^(1+ |
|
|
*x-tlf''*»'-*> |
|||||
Огстода, |
ярп достаточно малом |
S'<—— |
|
, |
легко получа— |
||||||
еМ; |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.1.16
|
|
\H_(x,tA)\ |
did*,* |
|
|
||
|
|
|
|
dtdt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
( 3 . 3 8 ) |
|
|
|
|
|
|
x->-« |
|
Тем самым |
доказано |
утверждение леммы 3 . 1 . |
|
||||
Л е м м а 3 . 2 . |
Существует |
и единственно в |
пространстве |
||||
С(Е*) |
решение |
|
уравнения |
( 3 . 4 ) : |
|
||
Ji(x,t) |
|
= f,(t-x)±L |
|
|
c(y,'CjJ$(y)Tjdydr |
|
|
при любой |
правой части |
fi(J)e |
С(Е~> . |
|
|
||
Решение этого уравнения представимо в виде |
|||||||
fl>{x,t)r=fi(i-x)+ |
H^(x,£,^)/bCt,-x)d^ |
~ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
( 3 . 3 9 ) |
где при фиксированном х |
оператор Ht |
(х)~ оператор Гильберта- |
|||||
Шмидта, |
а при Х-+ |
+ 00 |
|
|
|
|
|
|
|
\\Н^х)\ |
-*<?, |
д; -у. у- оо , |
( 3 , 4 0 ) |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
этой |
леммы |
полностью |
аналогично |
доказательству леммы 3 . 1 . Приведем лишь интегральное урав« нение, которому удовлетворяет ядро Н+ (х,і,Ь.) при t
сЦ,Х)Н+(і/я£+У'МУ<іуь |
( 3 . 4 1 ) |
Если ввести |
в рассмотрение |
ядро |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 3 . 4 2 ) |
то оно удовлетворяет уравнению |
при |
c%£t--x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
c(y,T)H2(y,T,£,)dydT |
|
|
( 3 . 4 3 ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
2 . |
С в я з ь операторов |
преобразования с |
потенциалом |
|||||||
Из |
уравнений |
( 3 . 1 4 ) |
и |
( 3 . 4 1 ) , |
полагая |
£ |
-t |
, полу |
||
чаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 j |
c(y,t |
+ |
x-y)dy. |
|
( 3 . 4 4 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hf(x,t.t)=£ |
|
c(yj-x*y)dy |
. |
|
( 3 . 4 5 ) |
|||
|
|
|
|
|
и |
|
о |
|
|
|
Применяя к |
( 3 . 4 4 ) оператор |
^ |
- — • |
, а |
к |
( 3 . 4 5 ) - о п е - |
||||
ратор |
— + Л— , |
имеем |
|
|
|
|
|
|||
|
dt |
die |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І — - Н / / > Л О = ; С ^ , |
|
|
( 3 . 4 6 ) |
( 3 . 4 7 )
Формулы ( 3 . 4 6 ) - ( 3 . 4 7 ) выражают потенциал с(х,і) через ядра операторов преобразования.
3 . Связь операторов преобразования с оператором рассеяния
|
Решение |
задачи |
нестационарного |
рассеяния удовлетворя |
||||||
ет |
уравнению |
( 3 , 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
U(x,i) |
= |
a(X,£)-e(t-x)+1- |
C(y,t)u(y,t)ciydf |
. |
|
( 3 . 4 8 ) |
||||
|
Воспользуемся |
леммами |
3 . 1 и 3 . 2 . |
Так как |
свободный |
|||||
член в |
( 3 . 4 8 ) |
есть |
разность |
a(t+x) |
и |
B(t-x) |
, т о |
реше |
||
ние есть разность решения уравнений |
с этими правыми |
ч а с т я |
||||||||
ми. Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
LL(X,t)= a (t+*)Arl-(x,t,£})a(£,-t-x)dt>--e |
|
|
- |
|
||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
•> |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
H+(x,t.£,)6(*,-x)ct£, |
|
|
|
|
|
|||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 3 . 4 9 ) |
|
Будем рассматривать |
функции от |
двух переменных |
* и |
ікак вектор-функции, зависящие от ас со значениями в прост
ранстве |
А, |
і по |
переменной |
і |
. |
Обозначим через |
tl(x) опера |
||
тор, переводящий |
заданную плоскую |
волну асі) |
в |
решение и(х,4) |
|||||
задачи |
нестационарного рассеяния |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
U(x)ct{&) |
= u(x,f) . |
|
( 3 . 5 0 ) |
||
Равенство |
( 3 . 4 9 ) |
можно переписать в операторном |
виде |
||||||
V.(x)a~(I+ H_(x))Txct-(I+ |
|
H+(x>)TxS |
, |
( 3 . 5 1 ) |
|||||
Учитывая определение |
оператора рассеяния |
|
|||||||
|
|
|
|
S=£a |
, |
|
|
|
( 3 . 5 2 ) |
равенство |
( 3 . 5 1 ) |
примет вид |
|
|
|
|
|||
U(x)=(I+ |
|
Н_(х))Т^- |
(1+ Н+(х))Тл£ |
. |
( 3 . 5 3 ) |