Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 192 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Перейдем теперь к краткой характеристике содержании работы.

Первая глава посвящена факторисашіи фредгольмовых операторов. Здесь излагаются с доказательством основные результаты М.Г.Крейна по факторизации фредгольмовых опе раторов. Важное место отведено двусторонне факторизувмым операторам. Отмечается, что понятие двусторонней фактори—

зуемостн важно

даже в

матричном

случае

и может

привести

к ряду

новых содержательных

результатов.

Во второй главе рассмотрена прямая

и обратная

н е с т а

ционарная задача

рассеяния

для гиперболической

системы

( 1 )

как

на

всей

оси,

так и

на

полуоси.

Обычно в м е с т о

системы

( 1 )

рассматривают

систему вида

дф

- 6

дф

і —

—

h Vtfi ,

( 1 3 )

г-

1°

dec

где

= |

0 ]

. Это, так

называемая,

двухкомпонентная

система уравнений

Дирака.

Однако,

как

легко видеть,

простая

замена

^ = | ^ - ^ )

и.

сводит

( 1 3 )

( 1 ) .

Наряду

и з

ложением общего алгоритма решения обратной задачи в § 2 рассмотрены различные примеры, в частности, очень важный


случай	кососимметрнческого ( cf(oc,£)					=-cg (л,	і )	) по
тенциала,		приводящего к			унитарному	оператору	рассеяния.
В третьей			г паче	изучается прямая и обратная нестацио
нарная	задача		рассеяния		на полуоси	для возмущенного		урав
нения	струны
д'и	д*и
jj-2 -	~ г	+ с{л,і)и.		= 0,	u(O,t)=0,	Oix<	+ °o .	( 1 4 )

Строгая постановка задачи рассеяния сформулирована с при влечением нестационарных условий излучение Фока, являю щихся обобщением условий излучения Зоммерфельда. Следует отмстить, что в стационарном случае, когда возмущение л о кализовано в конечной области, теория рассеяния для волно

вых уравнений подробно изучена П.Даксом	и Р.Филлипсом [З] .
Обратная задача для уравнения (1.4)	изучается анало
гично случаю гиперболической системы ( 1 )	на полуоси. В а ж

ным при атом является свойство двусторонней Факторизации операторе рассеяния пля задачи (Л А).

1 D

И четвертой главе дается полное описание операторов рассеяния нестационарных задач рассеяния, рассмотренных в главе П. Здесь в § 1 подробно научается принцип ковари

антности и	принцип причинности			и е г о		с в я з ь	с фактори-
эуемостыо оператора рассеяния. Так как используемое в
настоящей	работе	определение		оператора		рассеяния несколь
ко отличается от определения, даваемого формализмом								а б с т
рактной теории рассеяния,			т о в	9	4 проводится		сравнение
этих определений.		Оба определения			приводят к		унитарно	э к
вивалентным операторам.			Оператор		рассеяния, принятый			в
настоящей	работе,	с о о т в е т с т в у е т			абстрактному		оператору
рассеяния в	трансляционном представлении					невозмушенного
уравнения.

Г Л А В А	1
ФАКТОРИЗАЦИЯ	ОПЕРАТОРОВ
Факторизация операторов	играет	важную роль		в р е
шении обратной задачи теории рассеяния,		В	настоящей	главе
излагаются результаты М.Г.Крейна	[ 2 ] по		факторизации

фредголймовых операторов и, повицнмому, ряд новых резуль татов по свойствам операторов, допускающих двустороннюю факторизацию.

9 1 . Определение и простейшие

свойства

некоторых

операторов

Рассмотрим гильбертово пространство N и совокупность

векторнозначных

функций

fiat)

, определенных

на

всей

оси

- о о < . * - < + с т о

со

значениями в

, для

которых

СЮ

\f(x)\'da:<

+ °° .

( 1 . 1 )

—оо

Совокупность

в с е х

таких функций

fc-x)

образует

гильбертово

пространство

<*>, + со ; /V _)

со скалярным произве

дением

+ тс

(f,$)=

f(ec)-g(x)afx,

( 1 . 2 )

где при фиксированном

х.

f(X)-д(сс) обозначает

скалярное

произведение

в Л?

В пространстве bg(-°аг

+оо-ъ

рассмотрим

такие

опера

торы:

1 . Оператор

Pj[

проектирования

на полуось

~r>J

f!>f(a:)=e(x-J)/,(x)=.

.если

JC>J.

(1..Я)

, если .г-і Л

1!. Оператор

Qj^

проектіфования

на полуось X <

.если

.т>„?

г .

если

( 1 - 4 )

/(•т.)

. г < . /

111. Оператор	сдвиге	'lа
	Та/(х)	= f(x*a)	.	( 1 . 5 )
1 У. Оператор	отражения .7
(JF)(*)=f(-.v).				( 1 . 6 )

V. 1ЛольтЕ.рровскнй оператор с пе|)еменным верхним пре

делом будем снабжать индексом "плюс"

	K^f(ar.\=J		Л + (sr.s)f(s)ds			,		(J..7)
		-	ОО
где ядро	A ' ^ f ^ v S )	при фиксированных				л	ч S	является	о п е
ратором	в /V .
V I .	ІЗольтерроискнй оператор с переменным нижним								пре
делом будем снабжать			индексом		"минус"
	К_ f(X)	=	к_ (,Vy Й > /'бг;			,			( 1 . 8 )
			l'.v
здесь	K_(&.s)	~	ядро	оператора		^ _
Очевидно, что каждый				интегральный			оператор А с		ядром
Л (а:, а ) однозначно		представим			в виде	суммы		вольтерровскнх

операторов с переменным верхним и нижним пределами. Эти

слагаемые будем	обозначать	А+ и А _ соответственно, т . е .
	А = А у	+ А _ .
Рассмотрим	теперь простейшие свойства операторов

1 - У Г . Связь между проекторами	Р^ и ^ дается равенства
ми:
з - ' - * * *	.
	( 1 . 9 )
Р Р — Р • Р - Р	Q • О = /?

Связь между проекторами и оператором сдвига дается равен ствами:

р Т ~ Т Р

J. а а Л+* •

( 1

1 0 )

Q, Т = Т Q ,

С в я з ь между проекторами и оператором отражения:

- л

( 1 . 1 1 )

С в я з ь между оператором сдвига и оператором отражения:

^ = J r - a •

( 1 - 1 2 )

С в я з ь между проекторами и вольтерровскимн операторами:

Г: ассмотрнм также		с в я з ь	между		вольтерровскимн			о п е
раторами.
Пусть	заданы операторы		ДГ+	,	/Г_ ,	R'	,	R_
Тогда, если	существуют	указанные		операторы,		то

- {l+KJ{-l ( L . 1 4 )

являются вольтерровскимн операторами с переменным в е р х

ним пределом,		а
К .	.	U + * _ > " ' - І	( 1 Л Ь )

вольсерровскнмп операторами с переменным нижним предо* пом.

'tnpn произведении1 определяются равенствами

1 Л

(A_ RJ+ (x,s) = \ K_ (je,t) R^Ct.s)

dt,

	В с е	приведенные		выше свойства непосредственно				с л е
дуют	из	определений,		поэтому	их	доказательства	не приво
дятся.
	Для	простоты в		дальнейшем		ограничимся рассмотрени
ем только интегральных операторов, являющихся							оператора
ми Гильберта-Шмидта.				В частности, если интегральный				о п е
ратор			+ 00
			K(x,s)fCs')Cis					( 1 . 1 7 )
			-ВО
является		оператором Гильберта-Шмидта , в bg(-°°,					+ °°-t	/\f) t
то
		j	\K(x,s)\Sdxds<+			•*> ,		( 1 . 1 8 )
где	\K(x,s)\		— обозначает		норму оператора		K(~x,e~i	в /V.
	Л е м м а		1 . 1 .	Пусть К+	к	К_ —вольтерровские интег

ральные операторы, являющиеся операторами		Гильберта—Шмид
та . Тогда существуют операторы (I-f-K^)	'	,	и
			( 1 . 1 9 )

(Г+К_)~'= Г + R_ ,

где А?+ и -.вольтерровские операторы Гильберта—Шмидта.

Д о к а з а т е л ь с т в о .	Так как операторы Kt и	А_	_
вполне непрерывны, то для	существования ('/> Л', ) и	И	і К)

достаточно доказать, что еоответотвукmine однородные урав

нения имеют только тривиальные решения. Рассмотрим

одно

из

этих

уравнений

f(x)i-

(a~,x)f(s)ds

О.

(:1 . 2d

Из

( 1 . 1 8 )

легко получаем

существование

такого -Х„ ,

что

dec

dsS I

K(jc,s)\Z

( 1 . 2 1

ІГз

( 1 . 2 0 )

имеем

\f(jc)\Zdjz

da:

/С+ (лг,.5)||Л^;|

-оо

ж .

cLx

\K+(a:f*)\Zds

| ^ ) | ^ .

5 .

( 1 . 2 2 )

Учитывая

( 1 . 2 1 ) ,

получаем

из

( 1 . 2 2 ) ,

что

f(ay) = 0

при

* а: 0

. С другой стороны, если

f(&)

решение

( 1 . 2 0 )

f(x)

= 0

при Ж

а.

, то из

( 1 . 2 0 ) получаем

аа.

of а:	o r « \| * ( * , . s ) \|		\f(s)fds	.
			'д.		( 1 . 2 3 )
					( 1 . 2 3 )
Из ( 1 . 1 8 )	следует	существование		$~0 такого,	что при лю -
Г	4<к\	ds\K(jc,s)\		<- .	( 1 . 2 4 )

1 6

Тогда

из

( 1 . 2 3 ) делаем вьишд, что

f(x~)~0

при X£ а ч-с?е,.

Учитывая,

что

при

-ж ^ сс0 ,

f(x)=0

, поэтому

fCoct^O

и при

сс і

х0+

гРа

. В силу

независимости

от

о.

повторяя этот

процесс, получаем, что f(-oc)^=0

. Таким

о б

разом,

существование (£ + К^.)~/

доказано. Обозначая

=. (Г + К +

( с м .

1 . 1 4 ) ,

легко получить,

что

т.е.

является

произведением ограниченного

оператора

( I

+ К+У*

на

К+ - оператор

Г . - Ш, а

значит

, и

сам является оператором Г . - Ш .

Лемма

доказана.

Замечание к лемме 1 . 1 . Учитывая, что

при любом \Z

операторы

Кf

< получаемые из вольтерровского

операто

ра К+

с переменным верхним пределом путем домножения

слева,

справа

или с

обеих сторон на

или

являются

вольтерровскими операторами с переменным верхним преде

лом,	а	аналогичные		операторы	^_,Л	— вольтерровскими
с переменным нижним пределом, на основании леммы									1 . 1
делаем		вывод,	что при условии,		что Х+	и	К_ - и н т е г р а л ь
ные вольтерровскне операторы Гильберта-Шмидта,								с у щ е с т в у
ют операторы
([+ К+ jy'-I			+ R+U), (i+K_t2T'=I				+ £_(Л),		( 1 . 2 5 )
где	R+	(Л) ,	R_ (£)	_ вольтерровскне операторы				Г . - Ш . с о
ответственно с переменным верхним и нижним пределами,
ядра	которых допускают равномерную по					<2	оценку
				+ °о
					k*(£,s)dtds<		+ оо .		( 1 . 2 6 )
При	этом, если			- 0 0
			([+К+У'=1+К+		,				( 1 . 2 7 )

ГОС. ПУБЛИЧНАЯ

НАУЧНО-ТСХІ Н-ІЧЕСЙАі
і- • і г- піЛі-\-гт / л	r<tn

								( 1 . 2 8 )
Л е м м а	1 . 2 .	Пусть		задано уравнение
	u.(i)**h(t)+(Au)(t)							( 1 . 2 9 )
в пространстве С (.В)		непрерывных				вектор-функшій		со з н а ч е
ниями в банаховом пространстве					3	. Если	относительно		нормь
	x\u(t)\\~SUp			\uU)\				( 1 . 3 0 )
справедлива	оценка
	\|\|Л«\|(т і \^ctct)\\u\\zde,							( 1 . 3 1 )
где	f-oO
	f-oO
	-DO
то для любой	правой	части		h-Ct)cC(B)			существует и
единственно	решение	уравнения			( 1 . 2 9 ) из		пространства		;
для которого	справедлива		оценка
	\ и < ' > \ 3 * \ \ А \ [ - е " °							( 1 . 3 2 )
Д о к а з а т е л ь с т в о			. Существование решения					легко	по

лучаем методом последовательных приближений. Действитель

но, для этого надо	показать, что ряд
a-h\	+ Ah+	. . . + Апк	+ . . .		( 1 . 3 3 )
сходится. Построим мажорантный ряд
Ы г * Щ г +		- + \ \ л П	Ч г + -	.	( 1 . 3 4 )

Используя оценку ( 1 . 3 1 ) , пол}чаем мажоранту для р я да ( 1 . 3 4 )

II Л Н

uCtydt^

... +

п-1

adroit,

\ «(tg)dt

*Lt,jdt

( 1 . 3 5 )

Но

ряд ( 1 . 3 5 )

сходится^и его сумма

равна

( 1 . 3 6 )

в чем легко убедиться дифференцированием по Т.

Таким образом,

ряд

( 1 . 3 3 ) сходится,

т . е . уравнение

( 1 . 2 0 )

имеет

решение.

Одновременно

мы

получили

оцен

ку

( 1 . 3 2 ) .

Перейдем

теперь

доказательству

единственности

р е

шения

уравнения

( 1 . 2 9 ) .

Для этого достаточно показать ,

«то

однородное

уравнение

( 1 . 3 7 )

имеет

лишь тривиальное

решение.

Учитывая

( 1 . 3 1 )

.получаем

• Г

\\Аи\\г

« j

* < г ; * * .

\\а\\г

( 1 . 3 8 )

( 1 . 3 9 )

С другой стороны, согласно условию

теоремы, ое.(Т)

—сум

мируемая функция.

Поэтому

найдется

такое

число

, что

( 1 . 4 0 )

<<< < Предыдущая 12 / 192 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ