Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Относительно		системы ( 3 . 1 2 )				справедливо		утверждение,		ана
логичное	лемме		3 . 1 .
Л е м м а		3 . 2 .		При	любой непрерывной, равномерно					о г р а
ниченной	функции		8(s)	существует и единственно					ограниченное
решение	системы		( 3 . 1 2 ) .		При	этом,	если	б(б)=й	при s	J-,
то при			u1Cx,t)-D			и	аг(х,£)-	О

2.Свойства оператора рассеяния

	Рассмотрим систему интегральных уравнений, содержащих
первое		уравнение		из	( 3 . 7 )	и второе	из ( 3 . 1 2 ) , т . е .
	u , ( x , t ) =		а(х +1) +		ct(y,x+	t-y)иг	(ух+	t,-y)dy,
					*				( 3 . 1 3 )
	u2(x,t)=		S(t-X)-^		сг(у,і-х+у)иг(і/,			t-t-tyidu.
					X
Решение этой системы уравнений, согласно								лемме	2.3 настоя
щей главы, можно записать, используя операторы									преобразова
ния, в		виде		сто
				сто
и4	(x,t)	= a	ix+1)	+\	(х,	t,t,) а < х + ё,)d£y		+
	і
+	н , j x , t		А)&А-)Ь			,
									( 3 . 1 4 )
					О О
ug{X,ij=		3(t-x)+J			Hf_(x,tA)a-(t>		+ x)d£,	+
	і

-ОО


где ядра	при фиксированном х		являются ядрами Гильберта-
Шмидта	связаны	с потенциалом равенствами

( 3 . 1 5 )

HF_ (XFI;£)=-'^CftyFJ:

+ T-Y) СГІУ,Л

T-Y)DY,

с і ( у , у - х ^ ) с г ( у г Г х ^ ) а ! у .

Используя представление ( 3 . 1 4 ) , граничное условие ( 3 . 3 ) и определение ( 3 . 1 1 ) оператора рассеяния, получаем правую факторизацию оператора рассеяния:

С 7

* н

е + ( 0 )

Н п { 0

^ ' 1

l I +

Н<-

<°)-иг-

{0)~\

•

. ( 3 Л 6 )

Т е о р е м а

I I . 9 .

Оператор рассеяния

нестационарной

з а

дачи

для системы

( 3 . 1 )

на

полуоси

допускает

двустороннюю

факторизацию.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

силу

( 3 . 1 б )

достаточно

доказать

лишь

левую

факторизацию

Из

( 3 . 1 6 )

получаем,

что с у

ществует

оператор

6~f

который

отличается

от единичного

на оператор

Г.-Ш. Положим

( 3 . 1 7 )

где

if - интегральные операторы

Г . - Ш . ,

ядра

которых

будем

обозначать

Из лемм 3 . 1 , 3 . 2

учетом ( 3 . 1 4 )

( 3 . 1 7 )

получаем

следующую

с в я з ь операторов

преобразования

оператором

р а с

сеяния: при

£ і

•» t

HJJX.T.T-)

(X,T,

R?) F(72-X,

Ь, +Х)СІТ}

= О,

( 3 . 1 8 )

а при	t ъ	^
			І-	( 3 . 1 9 )
Определим		вольтерровские операторы		Гильберта-Шмидта А+ ,
В+ ,	А	п В	при помощи ядер

( 3 . 2 0 )

Полагая Jt = 0	, из ( 3	. 1 8 ) - ( 3 . 1 9 )		с учетом	( 3 . 2 0 ) полу
чаем	~
Н(_(0)	+ H1fW)F	=	A+-H^(0),
F*H2J0)	+• Hi+(0)F =		~	Hif(0),	( 3 . 2 1 )
і/ + H	(0) + Hf_ (0)	& =	A_-HfJ0),

Находя	Hj+iO)	из	третьего	уравнения ( 3 . 2 1 )	и	подставляя
в первое	уравнение,		а также	находя ^г_(0)	из	второго

уравнения и подставляя в четвертое, получим, учитывая, что

Fi/~

f/F=-

F-

іґ

следующие

равенства ;

( I M J 5 = ( / M ^

( 3 . 2 2 )

Из ( 3 . 2 2 )

получаем,

что

А+-В+

Л_-В_

ё>^СГ

+ А_У\[

+ А+

) ,

( 3 . 2 3 )

т . е . , ч т о

оператор рассеяния допускает

левую факторизацию.

Теорема

доказана.

3 . Обратная задача рассеяния

Под обратной задачей рассеяния будем понимать задачу

восстановления

уравнения

( 3 . 1 ) ,

г.е. функций Ct(x.,£) и

Сг(х,іг)

по известному оператору рассеяния if>

Из

факторизации

( 3 . 1 6 )

и формул ( 3 . 1 5 )

можно

опреде

лить

по

£>

значение

потенциала

при

л=0

. Для лахожде—

ния потенциала

при любых значениях

ас.

естественно

р а с с м о

треть

задачу рассеяния для системы ( 3 . 1 ) с о

сдвинутым п о

тенциалом

k(x,t)-:.C(x+cc0,t)=\

( 3 . 2 4 )

\ct(*+xa,t) О Г

Обозначим оператор рассеяния задачи на полуоси с потенциа

лом ( 3 . 2 4 )	через £(х0)			.	Учитывая^	что операторы преоб
разования от сдвинутого			потенциала			(эс)	выражаются
через исходные		по формулам
	H(^\x)=Hkt(x+xa);				к=<Л	•	( 3 . 2 5 )
из ( 3 . 1 6 ) .	получаем
З ( х . ) = [/+	Ни(хе)-	Ии№в)]	4	[I	t Hf_ [х,) -HgJxej\		. ( 3 . 2 6 )

На основании теоремы 11.9 делаем вывод, что при любом л^/? оператор Six.) допускает двустороннюю факторизацию. Кроме

этого,

операторы

F(x)

= 6(x)-I

if(x)

= £(xf{-I

( 3 . 2 7 )

являются интегральными операторами Г.-Ш., ядра которых

обозначим

через

F(x,t,t,)

ix^t

Прнх

= 0

F(0,t,£,)

Fit,*,)

&(0,t,t,)=

Vlt,b>

Оказывается,

что и при

sc> О

ядра

F(x,£,£,)

if і х,£,£,)

тесно

связаны

ядрами

F(ttB,)

7 if

(t,£,)

Л е м м а

3 . 3 .

При любом

ос>, О

F(x,t,£,J=

F i i - x ,

£> + х)

при

( 3 . 2 8 )

ifix,t,B,)=i/Ui-xf^~jc)

при

( 3 . 2 9 )

Д о к а з а т е л ь с т в о

. Из

( 3 . 1 8 )

путем

вычитания

полу

чаем;

что при

							( 3 . 3 0 )
Принимая	при		левую часть	( 3 . 3 0 )	з а	ядро	некоторого
оператора	к+(Х)	,	перепишем ( 3 . 3 0 ) в		операторном виде,по
лагая F	-ос	+ х)	ядром	оператора		F	,

H 1 J ^ ' H 2 J X ) -Іґ~ Hi+ ' х ) + Иг,	<•*>] ^ = ( л ) >	( 3 . 3 1 )
отсюда
^(xi~Fx=[l-Ht(x)*HzJx^'f(I^^	їх)),	( 3 . 3 2 )

или
F(x) -Fx=\[-Нп(л)+				Н^(л\~'СГ+			•	( 3 . 3 3 )
Учитывая,	что	правая	часть		( 3 . 3 3 ) е с т ь вольтерровскин				опе
ратор с переменным верхним					пределом,	делаем вывод,		что при
tit,
т.е.
	F<x,£,t,)		=	F(t-x,b+sc>		при	,
Аналогично	доказывается			на	основании	( 3 . 1 9 )	и второе		у т
верждение	леммы.
Замечание к лемме 3 . 3 .					Утверждение		леммы можно			з а
писать в операторном			виде
		F(^=(T^FTX).,
									( 3 . 3 4 )
		У,(*)=(ГХІ/ГХ),			.
Таким образом, если известен оператор						рассеяния &		, то		при
помощи ( 3 . 3 4 )		можно	найти		вольтерровские		срезки	F_ (зс)		и

(ж), а согласно § 4 гл. 1 можно однозначно определить

$(сс)—

I + Fїх)

и множители

в факторизации

( 3 . 2 6 ) .

Это

замечание,

в м е с т е

( 3 . 1 5 ) ,

приводит

к следующей

теореме

единственности

обратной задаче .

Т е о р е м а 11.10 .

Нестационарный

потенциал

в задаче

( 3 . 1 ) - ( 3 . 4 ) однозначно

определяется

по

оператору

рассеяния.

Д о к а з а т е л ь с т в о

'. Пусть существует

два

потенциала ..

cl'kcc.t)

, C^(x,t)

с'"(л^)}

сс^(л,Ь)

которым

с о о т в е т

ствует один

и тот

же

оператор рассеяния.

Согласно

замечанию

к лемме

3 . 3

и формул

( 3 . 1 5 )

получаем

равенства

( 3 . 3 5 )

я;

Полг.гая

^ Ц ^ < ' ' } / , / ) - ^ , . г , ^

^ J = < V , O ^ W ; ( 3 . 3 6 )

равенства ( 3 . 3 5 ) перепишем в виде

		о о									( 3 . 3 7 )
		X
	Рассматривая				(3.31)	как линейные				интегральные	уравне
ния	относительно				Vf и	у^,	, в	силу	( 3 . 2 ) их однородности и
вольтерровости				по переменной х				, делаем вьгеод, ч т о ^ = - \ £ г # .
Таким образом,				C^\x,t)		=	£("(x,t)		,	(к-/,2).
Теорема		доказана.
	По	существу,			при доказательстве				теоремы її. Ї О использо
вана	явная с в я з ь				потенциала с оператором рассеяния,- Эта
с в я з ь приводит				к	нелинейной		системе		уравнений типа ( 3 . 3 5 ) с
известной			правой		частью. К сожалению,					эти нелинейные	уравне
ния	трудно		использовать			в качестве алгоритма нахождения по -

тендиала по известному оператору рассеяния, ибо для них всегда справедлива теорема единственности, но при правых частях произвольного вида теорема существования не имеет места.

Т е о р е м а

11.11.

Пусть

£ = I•*• F— оператор

рассеяния

для

системы

( 3 . 1 )

на полуоси.

Тогда существует

где

интегральные

операторы Гильберта-Шмидта.

При любых

хъО

система

интегральных

уравнений

Уса

( 3 . 3 8 )

однозначно

разрешима в

lip

при любых

правых

частях

Пусть

Н4_ (я, і Л)

я art,)

Ні+

(х, t,£,)

= S(e,)-

решение

системы

( 3 , 3 8 )

при

h,~0

, n z

- -

і/(t*JC,4-x)

(х^,і,)

= а(£>),

H^(x,t,b,)

= 8(£,)

—

решение

( 3 . 3 8 )

/г, = - F ( і - x ,

&,+x)

h z = 0

Тогда

потенциал

уравнении

( 3 . 1 )

однозначно

восстанавливается

по

формула!*

ам

L\ (х, і)

= ZHU

(х,

£,

і) ,

(х,

t)=-

ZH^_ (x,

t,ty

( 3 . 3 9)

Д о к а з а т е л ь с т в о

. Учитывая

лемму

3 . 3 ,

систему

(3 . 38 )

можно

переписать в

виде

- оо

Так как 6 ( x ) - I + F ( x ) ,		dfic)=		1+	ff(x)	допускает
двустороннюю	факторизацию,	то	система ( 3 . 4 0 )			однозначно
разрешима в	силу результатов		§	4	г л . 1 .

С	другой стороны,			ядра операторов преобразования
Ик4 (х,	t,£,)		удовлетворяют			уравнениям	( 3 . 1 8 ) -
( 3 . 1 9 ) ,	которые соответствующей группировкой приводятся
к системе		( 3 . 3 8 )	относительно		(Hf_,	с	правыми
частями	(0Г	- {/(£	+>(., 4	- л ) )	и относительно		(М^,^^)
с правыми		частями	(~F(t-X		°)	. Формулы
( 3 . 3 9 )	следуют из		( Э . 1	В ) .

Г Л А В А

III

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ВОЗМУЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ

СТРУНЫ НА ПОЛУОСИ

§ 1 . Корректная задача бе з начальных данных

Для гиперболических уравнений хорошо изучена задача Коши. Однако в ряде случаев необходимо определить решение уравнения по правой части, не привлекая начальные условия. Так бывает в случае, если изучается решение при больших значениях времени, когда возмущение, вызванное начальными . данными, расходится, и основную роль играют лишь источники волн, являющиеся правой частью уравнения. Такая, ситуация возникает , в частности, при решении нестационарных задач рассеяния. Характерной чертой задач бе з начальных данных является то обстоятельство, что это задачи на непрерывном спектре, и поэтому для корректной постановки задачи прихо дится привлекать некоторые условия на бесконечности, аналог общеизвестных условий изучения Зоммерфельда для уравнения Гельмгольца.1

В настоящем параграфе изучается такая задача без в о з мущенного уравнения струны на .полуоси.

1 . Постановка задачи

Рассмотрим неоднородное уравнение струны dzU(X,t) d*U(x,t)

~й> S T а л )

а также возмущенное нестационарным потенциалом уравнение

		+6(x,{)U(x,t)-p(x,i).		( 1 . 2 )
dt*	/?Хг
Будем	искать	решения	этих уравнений при в с е х - 0 0 < £ < + «»
и О < х. <0	0	, удовлетворяющие граничному		условию
		11(х,Щ	=0	( 1 . 3 )
		I	х~0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ