книги из ГПНТБ / Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие
.pdf-ад-
Если рассеяние результатов, возникающее в процессе самого измерения, монет трактоваться как мера погрешнос тей, допускаемых в измерениях, то неопределенность значений, связанная с природой исследуемого процесса, позволяет лишь судить о статистических закономерностях этого явления и не может называться собственно ошибкой.
Таким образом, следуя одностороннее определению ошиб ки, можно "обнаружить" ее даже в условиях идеального экспе римента, в то время как несовпадение данных будет отражать объективную реальность явления (обсуждаемый вопрос перекли кается с проблемами объяснения результатов, вытекающих из квантового описания микромира, в свое время вызвавших целый переворот в философских концепциях современной физики). Конечно, можно упомянуть класс экспериментов по измере нию абсолютных констант (зарпд, масса, спин элементарннх частиц и т . д . ) , в которых разброс значений приопределении этих величин, по-видимому, нужно отнести к "чистым" ошибкам измерения.
Учитывая сказанное,, становит-тя понятным, что оценка погрешностей наблюдений должна базироваться не на строго детерминированных, а на вероятностных представлениях.
§ 5. Доверительный интервал и доверительная вероятность
в качестве характеристики неопределенности или несовер
шенства в описании измеряемых величин, базирующемся на дан
ной эмпирическом материале., избирают доверительный интервал.
-м -
впределах которого с заданной доверительной вероятностью
можно обнаружить |
значения исследуемой величины. |
К сожалению, |
на практике погрешности методики измере |
ния на всегда поддаются оценке. Поэтому доверительный ин тервал, соответствующий заданной доверительной вероятности, указывает значения величин, наблюдаемые в эксперименте в
условиях |
предлагаемое |
методики |
измерений. |
|
|
|
|
||||||
|
При заданной доверительной вероятности доверительный |
||||||||||||
интервал |
мокно |
вычислить, |
если |
удается |
установить |
распреде |
|||||||
ление |
исследуемых величин. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Действительно, |
мы знаем, |
что |
для данного |
распределения |
||||||||
p(Lj) |
, |
вероятность |
события |
у |
< ij p |
равна |
|
|
|
||||
где ij^- |
Р- |
квантиль. Поэтому |
доверительной |
вероятности |
|||||||||
Р |
сопоставляется |
доверительный |
интервал ур |
« |
у |
< у р |
, |
||||||
который |
вычисляется |
согласно соотношению |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
^ |
и |
|
соответствуют |
квартилям P(iJ |
|
< |
flp )ж |
Pf z |
||||
(см.рис.8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Величина |
|
е |
я , |
_ |
р |
|
|
|
|
( 5 в 3 |
) |
|
называется уровнем значимости, или коэффициентом надежнос ти ( в технике).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
Рис.8. Квантили ij |
- |
распределения |
р ( ^ ) |
|
|
|
|||||||
|
На |
рнс.8 |
значения |
киинтилеК |
К, |
|
соответствуют |
на |
|
||||
копленным |
вероятностям |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
, численно совпадающим с ве |
||||||||||||
личинами |
площадей заштрихований |
областей |
( |
Р2 |
соответст |
||||||||
вует |
вся |
заштрихованная |
область,так |
что |
Р(у |
г ^ |
) = / - Р£ |
) |
|||||
|
Очевидно, |
границы |
доверительного |
интервала |
|
, ^ |
J |
||||||
можно |
смещать |
в стороны |
больших |
или меньших |
значений |
IJ |
* |
||||||
не изменяя |
величины Р |
. |
І. ія |
придания |
большей |
определен |
|||||||
ности,границы |
доверительного интервала |
обычно устанавливают |
|||||||||
таким образом, |
чтобы накопленные вероятности |
P(ij |
< ур)- |
Р1 |
|||||||
и |
Р(у |
* Ур)х |
|
1 ~ Рг |
|
равны |
между собой. В этой |
слу |
|||
чае |
становятся |
одинаковыми |
(в предгчах |
интервала |
, |
^ р ~] ) |
|||||
вероятности отклонений |
у |
в стороны больших и меньших |
|||||||||
значений |
IT |
у |
. Тогда, |
полагая |
Pf |
= 1 - |
Р^ = |
|
|
||
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- чз -
Для |
сиі.'.і'.еїричнік |
распреде. ениіі со |
средним у |
имеем |
|
ур ~ ^ я |
У ~ Уі р |
» и Г І РИ |
= 1~Рг |
= ^2 Д ° и е |
Р и т е л ь н н й |
интервал оказывается симметричным относительно среднего зна ченії
Н і Г ^ ^ ^ - ^ і ) ' 1 - Е- |
(5.5) |
Обычно доверительный интервал указывают в единицах сред него квадратичного отклонения б" . Если последнее из вестно, то можно сделать опое деле шгге суждения о границах доверительного интервала, даже не исследуя характер распре деления результатов. Согласно неравенству Чебышева,
|
P |
f |
l |
y |
- |
# |
v |
i |
• |
|
т . е . интервалу |
^Cj |
± 6cj] |
|
соответствует доверительная |
||||||
вероятность |
не |
меньшая, |
чем |
Р « |
/ - |
*/дг |
. Однако это |
ЗНР- |
||
чение |
Р , |
как пратшло, оказывабх'сн |
очень |
заниженным» |
Так, |
|||||
для нормального |
распределения |
|
|
|
|
|||||
для |
Pfly-yl « |
6 |
) - 0,683 |
* |
0,7. |
||
|
|
|
|||||
Поэтому неравенство |
Чебышева |
монет |
быть |
использовано лишИ |
|||
|
ориентировочных |
оценок. |
|
|
|
|
|
|
Заметим, что в силу традиции, - значение jym o 7^|.соответ |
||||||
ствующее доверительной вероятности |
0,683 |
(уровень значимооти |
|||||
с |
- 0,3), часто называют средней |
квадратичной ошибкой. |
|||||
Для |
нормального распределения |
эта |
величина |
совпадает со сред- |
|||
|
|
|
|
- 'If - |
|
|
|
|
|
|
ник |
квадратичным отклонением. Поэтому |
параметр |
6Ґ |
назы |
||||||
вают |
средней |
квадратичной |
ошибкой |
|
|
|
|
|
||
|
Однако |
и последнее |
время |
принято |
указывать |
интервалы, |
||||
соответствующие |
доверительно!; |
вероятности |
Р |
2 |
|
0,95 |
||||
( Є |
$ 0,05). |
Нелишне подчеркнуть, что в то |
иреми |
как для |
||||||
нормального распределения такой интервал определяется удво
ен, ым средним квадратичным отклонением, |
в реальных распреде |
|||
лениях его границы могут заметно превосходить |
значения, рав |
|||
ные среднему + удвоенная "средняя квадратичная |
ошибка", |
|||
особе |
но |
в случае ограниченной эмпирической информации. |
||
§ |
б. |
Схема эксперимента. Выборочной |
метод |
и задачи |
|
|
С ЧТИСТ ИШ1 |
|
|
Приступая к эксперименту, исследователь ставит сиоей целью выяснение определенных объективных характеристик ин тересующего его явления. К таким характеристикам могут отно ситься, например, данные о распределении какой-либо величины (среднее, дисперсия и т . д . ) .
Как правило, исследователь располагает некоторой пред варительной информацией, позволяющей в той или иной степени спланировать направленное проведение наблюдений. В процессе наблюдений экспериментатор собирает дополнительную информа цию, которая и служит реальной базой для вынесения суждений.
Как бы ни был обширен эксперимент, собираемая информа ция никогда не бывает абсолютно исчерпывающей. Наоборот, обычно (особенно в малоизведанных областях) эмпирическая
- 1*5 -
информация оказывается ограниченной.
Собранный материал может представлять несомненный ин
терес сам но себе . Однако задача статистического |
анализа |
|
аксперименталыюго материала заключается в том (и в этом |
||
состоит его сложность), что на основании |
конечного числа |
|
дан чих приходиться делать выводы (и оценивать их |
достовер |
|
ность) относительно более широкого круга явлений. |
||
Например, ми изучаем угловое распределение |
продуктов |
|
какой-нибудь ядерной реакции. Допустим, |
что, исходя иа неко |
|
торых предварительных соображений, мы измерили интенсивность
выхода продуктов реакции под определенными углами. Этот ма
териал уие представляет определенную ценность. Тем не менее,
задачей исследования является установление условий зависи
мости выхода реакции во всем интервале изменения переменных,
т . е . необходимо, опираясь на ограниченный материал, вынести
суждения о более широкой совокупности явлений.
|
И этой связи |
мы будем |
рассматривать собранный |
материал |
как некую про'іиую группу ИЛИ выборку, представляющую лишь |
||||
один |
из возможных |
вариантов |
наблюдений значений из |
генераль |
ной |
совокупности |
исходной величины. |
|
|
|
Разумеется, |
в силу случайности пробной выборки, суждении |
||
о характере генеральной совокупности, сделанные на ее основа
нии, имеют случайный характер. Теория должна указать, следо
вательно, как наилучшим способом распорядиться накопленной
эмпирической информацией для получения наиболее достоверных выводов, и одновременно оценить степень их надежности.
Наконец, теория должна предсказывать та.сже пути получе-
- k6 -
ния наиболее полезной информации, i . e . выработать методы научного планирования эксперимента.
§ ?. Принцип максимального правдоподобия
Принцип максимального правдоподобия является одной из самых плодотворных идей, лежащих в основе построения методов
статистического |
анализа. |
|
|
|
Кратко |
принцип максимального правдоподобия может |
быть |
||
сформулирован |
следующим образом: |
|
||
Наилучшим описанием исследуемого явления является |
|
|||
то, при котором максимальна вероятность получить |
|
|||
фактически |
наблюдаемые значения измеряемых величин. |
|||
В дальнейшем принцип |
максимального правдоподобия |
будет |
||
иопользоваи для |
различного |
рода статистических оценок. |
При |
|
атом, в качестве исходного материала будет использоваться совокупность экспериментальных данных, рассматриваемых,сог ласно вышесказанному, как случайная выборка конечного объема из генеральной совокупности значений наблюдаемых величин.
Безусловно, никакой ограниченный материал не дает воз можности точно определить параметры генеральной совокупности. Такой материал позволяет лишь указать оценки искомых парамет ров. Теория утверждает, однако, что способ оценок, следую щий из принципа максимального правдоподобия, обладает рядом отличительных свойств, заставляющих,при сравнении различных критериев,отдать предпочтение этому принципу.
Перечислим основные свойства оценок, следующих иа прин ципа максимально го правдоподобия.
|
Прежде |
всего, |
оценки являются состоятельными, т . е . |
||||
сходятся |
по вероятности к соответствующим параметрам. |
|
|||||
|
Пусть, например, в генеральной совокупности оценивается |
||||||
параметр |
(X |
. На основании выборки объема |
П. |
получена |
|||
его |
оценка |
Сі |
. Тогда" при бесконечном |
увеличении |
объ- |
||
ема |
выборки |
вероятность того, что значение |
Q |
отклонит |
|||
ся |
от CL |
на сколь угодно малую величину, |
стремится |
к нулю. |
|||
|
Оценки, базирующиеся на случайном материале, сами яв |
||||||
ляются случайными величинами и имеют некоторое |
выборочное |
||||||
распределение. Однако, оценки являются асимптотически |
зор - |
||||||
мальными и асимптотически эффективными, т . е . кх распределе
ние сходится |
к |
нормальному при |
П — с о |
и |
дисперсия этих |
||
распределений |
при |
М » |
I меньше дисперсий |
любых других |
|||
сценок. |
|
|
|
|
|
|
|
Оценки |
оказываются |
также |
достаточными, |
|
т . е . содержат |
||
максимум информации относительно исходных параметров. |
|||||||
Отметим |
еще |
одно важное свойство статистических оценок, |
|||||
которое, впрочем,не вытекает безусловно из принципа максималь
ного |
правдоподобия. |
Это- |
так называемая несмещенность оце |
||||
нок, |
требующая, чтобы при |
любом объеме |
выборки IX |
ореднее |
|||
оценок по всем |
возмокным |
в генеральной |
совокупности |
значе |
|||
ниям" величин, |
имеющимся |
в |
выборке, совпадало с истинными зна |
||||
чениями параметров |
( о |
процедуре такого |
усреднения см. § 8) . |
||||
|
Если имеется несколько оценок, то обычпо выбирают не |
||||||
смещенную оценку, поскольку в последней отсутствуют систе |
|||||||
матические смещения. |
|
|
|
|
|||
|
Условие несмещенности особенно важно при калом объеме |
||||||
выборки. С помощью |
этого |
требования удается уточнись |
оценки, |
||||
вытекающие из общего принципа.
§ 8. Оценка параметров физических распределений
В большинстве физических экспериментов общий характер
распределений случайных величин можно предсказать |
зарвнее |
||
или на сснованги некоторых предварительных |
измерений, или |
||
с помощью определенных теоретических соображений. |
Неизвест |
||
ны лишь параметры З'^их распределений. Укажем способ |
их оцен |
||
ки, опираясь на метод максимального правдоподобия. |
|
|
|
Пусть в эксперименте исследуетоя величина |
, |
причем |
|
измеренные значения оказались равными Lj t , |
. , |
|
; |
измерения ъезависимы между собой. Если теоретическая веро
ятность наблюдений |
некоторого значения |
и. |
есть о |
( и . , |
|||||
то вероятность |
получения |
в |
опыте |
указанных |
значений |
равна |
|||
|
|
|
|
к |
|
|
|
(8.1) |
|
L f y » f c , - - - > # J - Л р ( ^ , * , Д . . . ) . |
|||||||||
Величина |
L |
называется |
функцией |
правіоподобия |
вы |
||||
борки. Заменим |
теперь в |
L |
параметры |
dtp7... |
на |
их |
|||
оценки
Согласно принципу максимального правдоподобия, наилуч- ими оценками с(ур, . - . являются такие, при которых функция правдоподобия L ' принимает максимальное значение.
|
- |
1\Э - |
|
|
т . е . прі* |
|
|
|
|
% = о ; |
И |
= о > • • - |
(8.3) |
|
Вместо (8.3) часто |
удобтее |
использовать |
уравнения |
|
d8nL _ п |
<)&iL |
п |
|
|
В качестве примеров рассмотрим задачи определения пара метров пуассоновского и нормального распределений.
|
|
8.1. |
Распределение |
Пуассона |
|
|
|
|
||||
|
Для распределения Пуассона функция правдоподобия имеет |
|||||||||||
вид |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*- |
|
|
І |
(Н) |
е |
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
i't |
|
N.! |
|
|
|
(8.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
где |
\) |
- средняя |
|
интенсивность |
процессов, |
N. |
- |
зна |
||||
чения числа |
событий, |
|
фиксируемых |
в |
течение |
времени |
Ь |
. |
||||
|
В соответствии |
с |
(8.4), ^ля |
оценки |
V |
имеем : |
|
|||||
|
| £ i . - |
R |
t * i |
£ W |
j |
. O . |
|
|
(8.6) |
|||
И, следовательно, |
наилучшей |
оценкой |
ї) является |
выбороч |
||||||||
ное |
среднее |
от эмпирических |
интенсивиоптей |
^t/l |
|
, т . е . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
<8 -7 ' |
Оценки V является несмещенной* поскольку